運(yùn)籌學(xué)課堂作業(yè)――生產(chǎn)與銷售計(jì)劃

1、運(yùn)籌學(xué)-機(jī)械產(chǎn)品生產(chǎn)與計(jì)劃摘要：機(jī)械產(chǎn)品的生產(chǎn)與計(jì)劃問(wèn)題，是我們經(jīng)常討論的整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題；在廠家各種資源有限的條件下，如何確定生產(chǎn)、銷售、存儲(chǔ)方案，使得預(yù)期獲得的利潤(rùn)最大，是本文所需要解決問(wèn)題。文中，我們著重討論產(chǎn)品生產(chǎn)的設(shè)備分配、與產(chǎn)品市場(chǎng)銷售數(shù)量的問(wèn)題。首先，我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、提出假設(shè)，然后建立數(shù)學(xué)模型，求解模型，分析并驗(yàn)證結(jié)果最后得出結(jié)論。通過(guò)LINGO11進(jìn)行編程求解。關(guān)鍵字：整數(shù)線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)模型；LINGO11編程 一、 問(wèn)題的提出 合理利用現(xiàn)有的人力，資源，時(shí)間等，使獲利最大，這就是生產(chǎn)計(jì)劃的線性優(yōu)化問(wèn)題。 例:某機(jī)械加工廠擁有車床、立鉆、水平鉆、鏜鉆、刨床5種設(shè)備，設(shè)備臺(tái)數(shù)

2、如表1所示生產(chǎn)5種產(chǎn)品（產(chǎn)品編號(hào)為產(chǎn)品1產(chǎn)品5）。每件產(chǎn)品的利潤(rùn)（元/件），以及在生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí)需要占用各設(shè)備的加工工時(shí)（小時(shí)）如表2所示，：表1 設(shè)備臺(tái)數(shù)設(shè)備名稱車床立鉆水平鉆鏜鉆刨床臺(tái)數(shù)104542表2每件產(chǎn)品的利潤(rùn)（元/件）和生產(chǎn)單位產(chǎn)品需要占各設(shè)備加工工時(shí)（小時(shí)） 產(chǎn)品設(shè)備12345利潤(rùn)60100304050車床0.50.7-0.3立鉆0.10.2-0.3-水平鉆0.20.60.08-鏜鉆0.050.03-0.070.1刨床-0.01-0.05注釋：表中短劃線表示這種產(chǎn)品不需要相應(yīng)的設(shè)備加工。為了保障設(shè)備的正常運(yùn)行，該廠制訂了一個(gè)一月份到六月份的設(shè)備檢修計(jì)劃如表3所示；任何一臺(tái)設(shè)備在某

3、個(gè)月被檢修，該設(shè)備全月不能用于生產(chǎn)。表3 設(shè)備檢修計(jì)劃月份一月二月三月四月五月六月設(shè)備檢修臺(tái)數(shù)1臺(tái)車床1臺(tái)車床1臺(tái)車床1臺(tái)車床1臺(tái)立鉆1臺(tái)水平鉆1臺(tái)水平鉆1臺(tái)立鉆1臺(tái)鏜床1臺(tái)水平鉆一臺(tái)刨床此外，經(jīng)過(guò)對(duì)往年的數(shù)據(jù)分析，已大致預(yù)測(cè)出每個(gè)月每件產(chǎn)品的市場(chǎng)銷售量上限如表4所示。表4 產(chǎn)品的市場(chǎng)銷售量上限（件/月）產(chǎn)品月份12345一月20005000150015004000二月3000250010005002000三月150030005005002500四月10001500200025001000五月50050025005005000六月2500250050015005500生產(chǎn)過(guò)程中，為了避免貨物堆

4、積，假定每種產(chǎn)品的最大庫(kù)存量為100件，庫(kù)存費(fèi)用為每件每月5元，在一月初，所有產(chǎn)品都有50件庫(kù)存；而在六月底，每種產(chǎn)品要求仍保留50件庫(kù)存；工人每天開兩班，每班8個(gè)小時(shí)；（1）如何制定一個(gè)包含這五類產(chǎn)品六個(gè)月的生產(chǎn)-庫(kù)存-銷售計(jì)劃，使獲得利潤(rùn)最大？其中對(duì)利潤(rùn)影響最大的銷售量是哪些？在保持最優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃不變的前提下，這些市場(chǎng)銷售上限提高的幅度是多大？如何采用促銷手段來(lái)提高市場(chǎng)銷售量，促銷費(fèi)用應(yīng)如何控制?（2）哪幾個(gè)月種哪些產(chǎn)品的最大庫(kù)存量對(duì)增加利潤(rùn)構(gòu)成限制？庫(kù)存費(fèi)用的變化是否會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)化生產(chǎn)-庫(kù)存-銷售計(jì)劃變化？（3）哪幾個(gè)月哪些設(shè)備的能力是緊缺的，哪些設(shè)備的能力是冗余的？列出增加設(shè)備能力的優(yōu)先

5、順序。如果增加一臺(tái)某種緊缺設(shè)備，該工廠的生產(chǎn)狀況會(huì)發(fā)生怎樣的變化？（4）現(xiàn)有的設(shè)備檢修計(jì)劃是否合理？列出不合理因素。（5）建立最優(yōu)化檢修計(jì)劃模型，使在這半年中完成表3中各種設(shè)備檢修臺(tái)數(shù)，讓每種設(shè)備被安排在最合理的月份檢修，對(duì)利潤(rùn)影響最小。比較設(shè)備檢修計(jì)劃優(yōu)化前后，效益變化的情況。二、問(wèn)題的假設(shè)和符號(hào)的說(shuō)明 1、問(wèn)題的假設(shè) 假設(shè)1：每班8小時(shí)都能正常生產(chǎn)，不考慮上班前后的準(zhǔn)備工作和清理工作。假設(shè)2：每個(gè)月有22各工作日，不考慮工作日的不同。假設(shè)3：每個(gè)月末所有產(chǎn)品都完成加工工序，沒(méi)有任何一件產(chǎn)品只完成其中一部分。假設(shè)4：同一種設(shè)備所有性能相同。假設(shè)5：產(chǎn)品的生產(chǎn)不會(huì)隨檢修方案的改變而受影響。2、

6、符號(hào)說(shuō)明為第i個(gè)月第j種產(chǎn)品的產(chǎn)量,。為第i個(gè)月初第j種產(chǎn)品的庫(kù)存量,。為第i個(gè)月第j種產(chǎn)品的銷售量,。為第i個(gè)月第j種產(chǎn)品的銷售量上限,。為第i種產(chǎn)品每一件的利潤(rùn),。為生產(chǎn)一件i產(chǎn)品所需要j設(shè)備的工時(shí),。為第i個(gè)月在第j種設(shè)備的總加工工時(shí),。為第i個(gè)月第j產(chǎn)品的銷售量上限修改閥值，取值0或1；。三、問(wèn)題的分析 運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)中的整數(shù)線性規(guī)劃模型，將問(wèn)題中各種因素?cái)?shù)學(xué)量化，就生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。對(duì)于設(shè)備工時(shí)的約束：每生產(chǎn)一件第j產(chǎn)品，需要占用設(shè)備車床、立鉆、水平鉆、鏜床、刨床工時(shí)分別為，若第i月五產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量分別為時(shí)，就共占設(shè)備車床、立鉆、水平鉆、鏜床、刨床工時(shí)，。對(duì)于銷售的約

7、束：始終有第i個(gè)月第j種產(chǎn)品銷售數(shù)量不大于市場(chǎng)銷售數(shù)量的上限，即，。對(duì)于產(chǎn)品庫(kù)存的約束：第i個(gè)月底第j種產(chǎn)品的庫(kù)存量應(yīng)等于生產(chǎn)量與月初的庫(kù)存量之和減去銷售數(shù)量。其中，問(wèn)題中要求一月初五種產(chǎn)品月初庫(kù)存量為50，六月底每種產(chǎn)品庫(kù)存為50件，即，。四、模型的建立和問(wèn)題的求解1、制定六個(gè)月的生產(chǎn)-庫(kù)存-銷售計(jì)劃, 使六個(gè)月的總利潤(rùn)最大；通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，我們得到模型如下目標(biāo)函數(shù) 約束條件2、運(yùn)用LINGO11軟件求解model:sets: Month/1.6/; !六個(gè)月份;Product/1.5/; !5種產(chǎn)品;profit/1.5/:p; !5種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)p(j);tool/1.5/; !5種

8、設(shè)備;Produce(Month,Product):x,y,z,volume; !5種產(chǎn)品每個(gè)月的生產(chǎn)量x(i,j),存儲(chǔ)量y(i,j),銷售量z(i,j)，市場(chǎng)銷售量上限volume(i,j);link(Product,tool):cost; !每產(chǎn)品占沒(méi)設(shè)備工時(shí)cost(i,j);Dxfxd(Month,tool):check; !每月每設(shè)備檢修計(jì)劃check(i,j);endsets !目標(biāo)函數(shù); max=sum(Produce(i,j):p(j)*z(i,j)-price*sum(Produce(i,j):y(i,j); !產(chǎn)品市場(chǎng)銷售約束;for(Produce(i,j): z(i,

9、j)=volume(i,j); !每月產(chǎn)品庫(kù)存量限制;for(Produce(i,j): x(i,j)+y(i,j)-z(i,j)=100);!一月初每件產(chǎn)品庫(kù)存為50;for(Produce(i,j)| i#eq#1:y(i,j)=50); !庫(kù)存-生產(chǎn)-銷售關(guān)聯(lián)約束;for(Produce(i,j)| i#le#5:y(i+1,j)=y(i,j)+x(i,j)-z(i,j); !六月底每件產(chǎn)品庫(kù)存為50;for(Produce(i,j)| i#eq#6:y(i,j)+x(i,j)-z(i,j)=50); !產(chǎn)品、庫(kù)存、銷售整數(shù)限制;for(Produce:gin(x);for(Produc

10、e:gin(y);for(Produce:gin(z); !產(chǎn)量約束;for(Dxfxd(i,j): sum(tool(k):x(i,k)*cost(j,k)=check(i,j)*352); data: !這里是數(shù)據(jù); p=60 100 30 40 50; price=5;check=9 4 4 4 29 3 5 4 29 4 5 3 29 4 4 4 210 3 5 4 110 4 5 4 2;cost=0.5 0.7 0 0 0.3 0.1 0.2 0 0.3 0 0.2 0.6 0.8 0 0 0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0 0.01 0 0.05;volume=20

11、00 5000 1500 1500 4000 3000 2500 1000 500 2000 1500 3000 500 500 2500 1000 1500 2000 2500 1000 500 500 2500 500 5000 2500 2500 500 1500 5500;enddataend模型求解結(jié)果如下圖1：圖1 LINO11求解優(yōu)化模型結(jié)果其中，求得最大利潤(rùn)；最優(yōu)化計(jì)劃生產(chǎn)-庫(kù)存-銷售模型的生產(chǎn)量、庫(kù)存量、銷售量分別如表5、表6、表7所示：表5 一月份六月份5種產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃 產(chǎn)品月份12345一月份12781920014503950二月份1930229005002000三月份

12、1371247515002500四月份1000150038525001000五月份60060016005005100六月份340245027715505450表6 一月份六月份5種產(chǎn)品的庫(kù)存計(jì)劃 產(chǎn)品月份12345一月份初5050505050二月份初00000三月份初00000四月份初00000五月份初00000六月份初底100501005005005010050表7 一月份六月份5種產(chǎn)品的銷售計(jì)劃 產(chǎn)品月份12345一月份132819705015004000二月份1930229005002000三月份1371247515002500四月份1000150038525001000五月份50050

13、016005005000六月份390250022715005500五、模型可行性分析1、對(duì)求解結(jié)果的分析：在銷售計(jì)劃表格中可以發(fā)現(xiàn)，第一月份第六月份5種產(chǎn)品、第四五月份產(chǎn)品1產(chǎn)品2、第六月份產(chǎn)品2都達(dá)到了市場(chǎng)銷售飽和，如果適當(dāng)提高相應(yīng)產(chǎn)品在對(duì)應(yīng)月份的市場(chǎng)銷售量上限，都有可能增加利潤(rùn)；而對(duì)于當(dāng)月相應(yīng)產(chǎn)品的銷售量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于市場(chǎng)銷售量上限，提高市場(chǎng)銷售上限值不會(huì)影響利潤(rùn)；通過(guò)模型求解報(bào)告窗口（Reports Window）可以證實(shí)，提高上述月份中的產(chǎn)品單位銷售量上限（這里不考察整數(shù)約束條件），都能使利潤(rùn)增加。其中第四月份、第五月份第2產(chǎn)品對(duì)利潤(rùn)影響最大(銷售量上限每增加一個(gè)單位利潤(rùn)增加77個(gè)單位)；如

14、截圖2所示，圖中DUAL PRICE值對(duì)應(yīng)市場(chǎng)銷售約束不等式右端增加單位1，利潤(rùn)增加值；圖2 更改優(yōu)化模型上限值得到優(yōu)化結(jié)果在最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃不變的前提下，分析市場(chǎng)的銷售量上限提升的幅度，首先我們考察不帶整數(shù)約束的原模型；直接利用LINGORANGE作靈敏度分析，我們可以看到如下報(bào)告截圖3：圖3 市場(chǎng)銷售量上限提高幅度的分析從以上的數(shù)據(jù)，我們可以得出銷售量上限在什么范圍內(nèi)變化可以保持最優(yōu)解不變，如下表8：表8：市場(chǎng)銷售量上限提高幅度的分析上限值允許增加允許減少上限值允許增加允許減少1-12000INF6734-11000154010001-25000INF30284-2150051315001-3

15、1500INF14504-32000INF16151-41500153714504-4250086025001-5400011345984-51000439310002-13000INF10705-150025405002-22500INF2105-250018145002-31000INF10005-32500INF9002-45008505005-450024205002-520005609515-55000162050003-11500INF1326-12500INF21103-23000INF5226-225002426813-3500INF5006-3500INF2723-45002

16、0855006-415001396715003-5250012151176-555005661516在存儲(chǔ)計(jì)劃表格中，可以發(fā)現(xiàn)只有六月份初產(chǎn)品1、產(chǎn)品2庫(kù)存達(dá)到了最大庫(kù)存，說(shuō)明其最大庫(kù)存量對(duì)增加利潤(rùn)構(gòu)成了限制。存儲(chǔ)費(fèi)用的變化控制在如下表9范圍內(nèi)，對(duì)最有生產(chǎn)計(jì)劃不影響；表9：存儲(chǔ)費(fèi)用的變化幅度存儲(chǔ)價(jià)格允許減少允許增加存儲(chǔ)價(jià)格允許減少允許增加1-1-4-1582INF1-2-4-255INF1-3-4-355INF1-4-4-4535INF1-5-4-555INF2-155INF5-155INF2-255INF5-255INF2-35555-355INF2-455INF5-455INF2-555INF5-55