第6講 概率模型.ppt

1、第6講 概率模型,6.1 傳送系統(tǒng)的效率 6.2 報(bào)童的訣竅 6.3 隨機(jī)存貯策略 6.4 軋鋼中的浪費(fèi) 6.5 隨機(jī)人口模型,確定性因素和隨機(jī)性因素,隨機(jī)因素可以忽略,隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn),隨機(jī)因素影響必須考慮,概率模型,統(tǒng)計(jì)回歸模型,馬氏鏈模型,隨機(jī)模型,工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺(tái)數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。,背景,在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑,6.1 傳送系統(tǒng)的效率,問題分析,進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工

2、作臺(tái)，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。,可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。,工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會(huì)一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同。,模型假設(shè),1）n個(gè)工作臺(tái)均勻排列，n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；,2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的；,3）一周期內(nèi)m個(gè)均勻排列的掛鉤通過每一工作臺(tái)的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)的掛鉤都是空的；,4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可

3、將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。,模型建立,定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n,若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則 s=mp,為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個(gè)方便？,設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則 p=1-q,如何求概率,設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則 q=rn,設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則 r=1-u,u=1/m,一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過每一工作臺(tái)的上方,模型解釋,若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù)n, 則,傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）,定義E=1-D

4、(一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）,提高效率的途徑：,增加m,習(xí)題1,當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時(shí), E n/2m E與n成正比，與m成反比,若n=10, m=40, D87.5% (89.4%),6.2 報(bào)童的訣竅,問題,報(bào)童售報(bào)： a (零售價(jià)) b(購(gòu)進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià)),售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c,每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？,分析,購(gòu)進(jìn)太多賣不完退回賠錢,購(gòu)進(jìn)太少不夠銷售賺錢少,應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量,每天需求量是隨機(jī)的,優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n),調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天需求量為 r 的概率 f(r)

5、, r=0,1,2,準(zhǔn)備,求 n 使 G(n) 最大,已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c,求解,將r視為連續(xù)變量,結(jié)果解釋,取n使,a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢,6.3 隨機(jī)存貯策略,問題,以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫(kù)存決定是否訂貨，供下周銷售。,（s, S) 存貯策略 制訂下界s, 上界S，當(dāng)周末庫(kù)存小于s 時(shí)訂貨，使下周初的庫(kù)存達(dá)到S; 否則，不訂貨。,考慮訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購(gòu)進(jìn)費(fèi)，制訂（s, S) 存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小,模型假設(shè),每次訂貨費(fèi)c0, 每件商品購(gòu)進(jìn)價(jià)c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)c3 (c

6、1c3),每周銷售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r),周末庫(kù)存量x, 訂貨量 u, 周初庫(kù)存量 x+u,每周貯存量按 x+u-r 計(jì),建模與求解,（s, S) 存貯策略,確定(s, S), 使目標(biāo)函數(shù)每周總費(fèi)用的平均值最小,平均費(fèi)用,訂貨費(fèi)c0, 購(gòu)進(jìn)價(jià)c1, 貯存費(fèi)c2, 缺貨費(fèi)c3, 銷售量 r,s 訂貨點(diǎn)， S 訂貨值,建模與求解,1）設(shè) xs, 求 u 使 J(u) 最小，確定S,建模與求解,2）對(duì)庫(kù)存 x，確定訂貨點(diǎn)s,若訂貨u, u+x=S, 總費(fèi)用為,若不訂貨, u=0, 總費(fèi)用為,建模與求解,最小正根的圖解法,J(u)在u+x=S處達(dá)到最小,I(x)在x=S處達(dá)到最小值I(

7、S),I(x)圖形,建模與求解,6.4 軋鋼中的浪費(fèi),軋制鋼材兩道工序,粗軋(熱軋) 形成鋼材的雛形,精軋(冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度,粗軋,鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布,均值可以調(diào)整,方差由設(shè)備精度確定,粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定,切掉多余 部分,粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定,整根報(bào)廢,問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小,背景,分析,設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為 l， 粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為 ,記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 xN(m, 2),切掉多余部分的概率,整根報(bào)廢的概率,存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小,P,建模,選擇合適的目標(biāo)函數(shù),粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度,粗軋N

8、根,選擇合適的目標(biāo)函數(shù),粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度,得到一根成品材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度,更合適的目標(biāo)函數(shù),優(yōu)化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）,建模,粗軋N根得成品材 PN根,求解,求 z 使J(z) 最?。ㄒ阎?）,求解,例,設(shè)l=2(米), =20(厘米)，求 m 使浪費(fèi)最小。,=l/=10,求解,6.5 隨機(jī)人口模型,背景,一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件,一個(gè)國(guó)家或地區(qū),平均生育率平均死亡率,確定性模型,一個(gè)家族或村落,出生概率死亡概率,隨機(jī)性模型,對(duì)象,X(t) 時(shí)刻 t 的人口, 隨機(jī)變量.,Pn(t) 概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)

9、的期望和方差,若X(t)=n, 對(duì)t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè),1)出生一人的概率與t成正比，記bnt ;出生二人及二人以上的概率為o(t).,2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt ;死亡二人及二人以上的概率為o(t).,3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。,bn與n成正比，記bn=n , 出生概率； dn與n成正比，記dn=n，死亡概率。,進(jìn)一步假設(shè),模型假設(shè),建模,為得到Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).,事件X(t +t)=n的分解,X(t)=n-1, t內(nèi)出生一人,X(t)=n+1, t內(nèi)死亡一人,X(t)=n, t內(nèi)沒有出生和死亡,其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人， ),概率Pn(t+t),Pn-1(t), bn-1t,Pn+1(t), dn+1t,Pn(t), 1-bnt -dn t,o(t),一組遞推微分方程求解的