小學教學研究案例——開放題教學研究

1、教學研究案例開放題教學研究課題：面積相等的多邊形1. 課題及其說明（1）課題 作與下面四邊形（如圖1）相等面積的多邊形。（2）關于本課題 在教學中，在66格子點的板子上作四邊形ABCD，并提示問題。該問題有多種答案。作為“具有相等面積的多邊形”，可以考慮到三角形、四邊形、五邊形、六邊形。在四邊形中也有正方形、長方形、梯形、平行四邊形。 圖1如果將連結格子點的最小的正方形看作單位1的話，就考慮到如下的各種情形。根據四邊形ABCD面積為10的條件來解決問題。如果考慮面積為10的多邊形的話，可以想到底邊為5高，為4的三角形、寬為2長，為5的長方形、底邊為5，高為2的平行四邊形、組合圖形等多種情形。先

2、不求四邊形ABCD的面積，例如，把以四邊形的對角線為一邊作2個三角形，在與對角線平行的直線上移動三角形的頂點，采用等積變形的方法。改變四邊形ABCD（梯形）面積公式中的數值，作新的表達式，制作符合該表達式的圖形的方法。例如，用公式（3+2）42可以求出給定圖形的面積。將該式改變?yōu)?0+5)42,并作符合該式的圖形，就得到三角形。如果關注該過程就能夠整體上看到圖形的面積公式。進而，如果再考慮該問題的發(fā)展的話，例如，根據格子點數目的變化，可以得到更多的解答。另外，如果把制作圖形限定在三角形和四邊形的話，還能夠進行不同目標的教學。另外，根據學年，可以論及皮克定理，并更好地引起學生學習算數的興趣。2.

3、預想到的反應及其考察（1）預想到的反應 當解決該問題時，預想到2種解決方法。其一，根據面積為10的條件，可以作面積為10的多邊形。首先，作長方形。能夠作如圖2的長方形。再靈活地思考后可以作右邊的長方形。 圖2其次，作平行四邊形。如果根據底邊和高相應相等的平行四邊形的面積相等的事實，能夠構造如圖3的平行四邊形。 圖3作梯形。例如，如圖4的梯形。圖4作組合圖形。例如，如圖5。 圖5作正方形。由于在教學中沒有a=10的a，有不少學生想不能制作正方形。但是，提出“究竟能否制作正方形呢？”這個問題的時候，可以去考慮如圖6的正方形。即使是不求面積，從圖形性質出發(fā)，可以制作相等面積的圖形。 圖6把最初的四邊

4、形看做長方形、三角形和被分成兩個三角形來考慮。從如果兩個三角形的底邊和高分別相等的話面積相等出發(fā)，如圖7，可以作各種多邊形。 圖7利用面積公式，建立新的表達式后，將改變該表達式中的數值，建立新的表達式，考慮作符合該表達式的圖形。四邊形ABCD為梯形，因此用下面的表達式求出它的面積：（3+2）42=10改變其中的數值后得到以下表達式。a.(2+3)42=10b.(1+4)42=10c.(0+5)42=10把b和c用圖形表示后得到如圖8的結果。 圖8（2）關于反應例的考察 首先，根據面積為10的條件來考察作多邊形的情形。學生對的作長方形的反應最多。但是，作在傾斜位置上作長方形的學生較少。66格子點

5、的板子上，只能作一種圖形。但是增加格子點的話，也可以作別的傾斜的長方形。的平行四邊形被容易發(fā)現。面積為10的平行四邊形就是底邊為5高為2或者底邊為2高為5的平行四邊形。但是，在66的格子點中只限于圖形中的那個平行四邊形。當格子點為7的時候可以作兩個平行四邊形。的梯形中的作圖有兩種情形，即考慮梯形面積公式作圖和數方格數作圖。根據公式來作圖時，不改變高，上底和下底之和為5的情形和高為5而上下底之和為4的情形。的組合圖形中，數方格的數來作圖。例如，首先作面積為10的十字形的圖形。學生將這個圖形進行改變來作各種各樣圖形。專注于增減部分圖形來開展作各種形狀的活動。的正方形的構造者很少。但是，介紹之后，能

6、夠啟發(fā)學生的轉換思維。上述作面積為10的多邊形的活動，能夠培養(yǎng)學生動態(tài)地思考圖形的能力，同時也能夠加深對面積概念的意義的理解。其次，不求面積來考慮作相等面積的多邊形的情形。的情形，無論是哪個反應例，都是從給定圖形的一部分的三角形出發(fā)。由于等底等高的三角形的面積相等，因此一般與底邊平行的直線上取頂點來構造多邊形。在所構造的圖形中，也有凹形的五邊形和六邊形，由于頂點的位置的不同而能夠制作三角形，這為讓人驚奇。的情形，從求面積的表達式出發(fā)，也許提出“改變這個表達式的一部分，不考慮符合這個表達式的圖形是不可以吧？”的質問。由于這個質問的提出，能夠培養(yǎng)學生整體上思考面積公式的能力。作為發(fā)展性問題，可以考慮到皮克定理的介紹。在這種情形下，給出公式“（周上的點數）2+（內部的點數）1”，對于