區(qū)間估計(jì)及運(yùn)算.ppt

1、第四節(jié) 區(qū)間估計(jì)的計(jì)算與原理,一、兩種主要的估計(jì)方法 點(diǎn)估計(jì)是指根據(jù)抽取到的具體樣本數(shù)據(jù)，代入估計(jì)量得到的一個(gè)估計(jì)值。 區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上估計(jì)出總體參數(shù)一個(gè)可能的范圍，同時(shí)還給出總體參數(shù)以多大的概率落在這個(gè)范圍之內(nèi)。,二、為什么要區(qū)間估計(jì)呢？ 在上述警察逮捕人數(shù)的例子中，你計(jì)算得出均值為15.6人，你的上司可能會(huì)問，這一均值的確是15.6嗎？ 你的回答將是不知道。但是，你的計(jì)算告訴你，這一均值的最優(yōu)估計(jì)值是15.6。 你的上司可能又會(huì)問了，15.6這一估計(jì)值到底有多好？ 也就是說，這一均值估計(jì)量包含多大的誤差？,回答上述問題的一個(gè)辦法是抽取很多的樣本，計(jì)算每一個(gè)樣本的均值，然后向上司展

2、示均值估計(jì)量的變化范圍。不過，這種辦法顯得有些笨。 如果你想把這一問題處理得更加高明些，你就應(yīng)該計(jì)算所有樣本均值的平均誤差。均值的標(biāo)準(zhǔn)差有一個(gè)專門的名稱：均值標(biāo)準(zhǔn)誤差。,關(guān)于區(qū)間估計(jì) 設(shè) 為總體x 的未知參數(shù)， 為來自總體的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，對(duì)于預(yù)先給定的一個(gè)充分小的正數(shù) ，我們構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：,使得,則稱區(qū)間 為總體參數(shù) 的區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間。 稱為置信區(qū)間的置信度，也稱置信概率、置信系數(shù)或置信水平， 稱為置信下限， 稱為置信上限。,三、置信區(qū)間的含義 若獨(dú)立地反復(fù)多次抽取容量相同的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，每一個(gè)樣本都確定一個(gè)隨機(jī)區(qū)間 ，在這些區(qū)間中，包含總體參數(shù) 真值的約占 ，或者說有 的隨機(jī)

3、區(qū)間 會(huì)包含總體參數(shù) 的真值。例如，若 ，獨(dú)立地反復(fù)抽取容量相同的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本1000次，在得到的1000個(gè)隨機(jī)區(qū)間中，不包含總體參數(shù) 真值的大約有50個(gè)。,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（一）總體均值的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì) 總體均值的區(qū)間估計(jì)根據(jù)已知條件不同，有不同的計(jì)算方法。 1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值的區(qū)間估計(jì),1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值的區(qū)間估計(jì) （1）重復(fù)抽樣的條件下 設(shè) ， 已知， 為來自總體的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則 的抽樣分布為,在重復(fù)抽樣的方式下，總體均值的置信度為1-的置信區(qū)間為,其中， 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布水平的雙側(cè)分位數(shù)。,例一

4、： 假設(shè)參加某種壽險(xiǎn)投保人的年齡服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為=7.77歲。從中抽取36人組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），其平均年齡為39.5歲，試建立投保人平均年齡的90 %的置信區(qū)間。,解 假設(shè)用隨機(jī)變量X表示某種壽險(xiǎn)投保人的年齡，則由已知條件有 ， ，n=36。與置信度90%相對(duì)應(yīng)的=0.10，查表，得到,由公式， 得，總體均值的置信度為90%的置信區(qū)間為 于是可以說，我們有90%的把握確信，壽險(xiǎn)投保人總體的平均年齡介于37.37到 41.63歲之間。,1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值的區(qū)間估計(jì) （2）在不重復(fù)抽樣的條件下，置信區(qū)間為,例2 一家食品公司，每天大約生產(chǎn)袋裝食品若干

5、，總體方差為100。為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，該企業(yè)質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù)，每天抽取一定數(shù)量的食品，以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求。現(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品8000袋中隨機(jī)抽取了25袋（不重復(fù)抽樣），測(cè)得它們的重量如下表所示：,已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體方差為100。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95。,解 已知=10；n=25;1-=59%; =1.96 根據(jù)樣本資料，計(jì)算的樣本均值為： 根據(jù)公式得 =105.361.96 ,即105.363.914115=(101.4459, 109.2741)，該批產(chǎn)品平均重量在95置信水平下的置信區(qū)間為：101.4459109.2741。

6、,2. 正態(tài)總體，大樣本，若總體方差 未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替。 能夠把公式寫出來嗎？ 重復(fù)抽樣：？ 不重復(fù)抽樣： ？,例三： 假設(shè)參加某種壽險(xiǎn)投保人的年齡服從正態(tài)分布。從中抽取36人組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣，年齡數(shù)據(jù)見下頁(yè)表），試建立投保人平均年齡的90 %的置信區(qū)間。,解：已知n=36， 1-=90%； 1.645，由于總體方差未知，但為大樣本，故可用樣本方差代替。 根據(jù)樣本資料計(jì)算的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：,則置信區(qū)間為： 即39.52.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90的置信水平下的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲。,3.正態(tài)總體、小樣本情況下，總體方差未

7、知，總體均值的估計(jì) （重復(fù)抽樣條件下） （不重復(fù)抽樣條件下）,如果總體服從正態(tài)分布, 只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差代替，在小樣本情況下，應(yīng)用t分布來建立總體均值的置信區(qū)間。 t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，t分布逐漸趨于正態(tài)分布。,4.非正態(tài)總體且大樣本時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì) 首先，當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)，只要樣本容量充分大（一般習(xí)慣上要求n=30）， 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。 當(dāng) 已知時(shí)，仍可用上述公式，根據(jù)重復(fù)抽樣與否，近似求出總體均值的置信區(qū)間；,其次，當(dāng)未知時(shí)，只要將上

8、述公式中的總體標(biāo)準(zhǔn)差用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，就可近似得到總體均值的置信區(qū)間： （重復(fù)抽樣條件下） （不重復(fù)抽樣條件下）,例 為了解居民用于服裝消費(fèi)的支出情況（非正態(tài)分布），隨機(jī)抽取90戶居民組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），計(jì)算得樣本均值為810元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為85元，試建立該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)支出的95%的置信區(qū)間。,解 假設(shè)用隨機(jī)變量X表示居民的服裝消費(fèi)支出，本題雖然總體分布未知，但由于n=90，是大樣本且未知，所以可利用公式近似得到總體均值的置信區(qū)間。根據(jù)題意， 元， 元，n=90，與置信度95%相對(duì)應(yīng)的=0.05，查表得到：,將這些數(shù)據(jù)代入公式，便可得到總體均值的置信度為95%的

9、置信區(qū)間為,于是，我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)的支出大約介于792.44元到827.56元之間。,總體均值的區(qū)間估計(jì)（置信度為1-） 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣,總體均值的區(qū)間估計(jì)（置信度為1-） 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間 1兩正態(tài)總體方差已知時(shí)，且大樣本， 的區(qū)間估計(jì) 因此，兩個(gè)總體均值差 的置信度為 1-的置信區(qū)間為：,如果兩個(gè)總體方差 ， 未知，則可利用 ， 代替兩個(gè)總體方差即可。 下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差 的置信度為1-的置信區(qū)間。,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（二）兩個(gè)總體

10、均值之差的區(qū)間估計(jì)間 2兩正態(tài)總體方差未知但相等時(shí)， 的區(qū)間估計(jì)（小樣本）,當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差未知但相等，即 ，且 未知時(shí)， 這時(shí)兩個(gè)樣本均值之差（ ）的抽樣分布為,所以 因?yàn)?未知，則用共同方差 的合并估計(jì)量,兩個(gè)總體均值差 的置信度為1-的置信區(qū)間為 其中， 是水平的自由度為 的t分布雙側(cè)分位數(shù)。,例題：,某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機(jī)抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測(cè)試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95

11、%的置信區(qū)間。,解 假設(shè)用隨機(jī)變量 ， 分別表示男女推銷員的銷售額，則由已知條件有 元， 元， 元， 元， ， 。又因兩總體方差相等，可以估計(jì)出它們的共同方差：,與置信度95%相對(duì)應(yīng)的=0.05，查t 分布表，得到 ，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區(qū)間為,于是，我們有95%的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多6568元，也有可能比女推銷員少13568元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間 3兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí), 的區(qū)間估計(jì)（小樣本）,當(dāng)兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí)，即 ， 未知，

12、且兩者不相等時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 近似服從于自由度為v的t分布，其中v的計(jì)算公式如下,于是，兩個(gè)總體均值差 的置信度為1-的置信區(qū)間為,例題：,某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機(jī)抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測(cè)試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差不相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區(qū)間。,解 首先根據(jù)公式計(jì)算自由度v，,查t分布表，得到 ，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區(qū)間為,于是，我們有95%的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有

13、可能比女推銷員多7434元，也有可能比女推銷員少14434元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間 4兩非正態(tài)總體且大樣本時(shí)， 的區(qū)間估計(jì),如果兩個(gè)總體方差 ， 已知，則可利用公式下述公式近似求出兩個(gè)總體均值差 的置信度為1-的置信區(qū)間。,如果兩個(gè)總體方差 ， 未知，則可利用 ， 代替兩個(gè)總體方差即可。 下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差 的置信度為1-的置信區(qū)間。,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（三）一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì),在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到總體比例的估計(jì)問題。例如：企業(yè)的管理人員想了解一批產(chǎn)品中次品

14、的比例；職工收入中工資外收入所占的比例；某高校學(xué)生參加英語(yǔ)四級(jí)考試的通過率；某地區(qū)綠化荒山新栽樹木的成活率等。,在總體中具有某種特征的單位數(shù)占總體全部單位的比例稱為總體比例，記為p；在樣本中具有某種特征的單位數(shù)占樣本全部單位的比例稱為樣本比例，記為 。在大樣本條件下，樣本比例 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為,方差為 即,1.在大樣本情況下，且總體比例已知，重復(fù)抽樣。則總體比例P的置信度為1-的置信區(qū)間為,需要說明：在實(shí)際應(yīng)用中，除了要求 N=30以外，還要求 和 ，且 ，這時(shí)近似效果較好。,2.在大樣本情況下，且總體比例未知，重復(fù)抽樣。則總體比例P的置信度為1-的置信區(qū)間為,例題：,

15、在對(duì)某地區(qū)1000名下崗工人的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，女工所占的比例為65%。試建立在下崗工人中，女工所占比例的95%的置信區(qū)間。能否作出下崗工人中女性所占比例超過男性的結(jié)論？,解 假設(shè)用p表示下崗工人中女工所占的比例，則由已知條件可知，樣本比例 。因?yàn)?， ， ，所以 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。,對(duì)于=0.05，查表得 。應(yīng)用公式得到在下崗工人中，女工所占比例的置信度為95%的置信區(qū)間為,于是，我們有95%的把握認(rèn)為，下崗工人中女工所占比例大約在0.62到0.68之間，超過了0.5，所以可以得出女性所占比例超過男性的結(jié)論。,3. 如果總體為有限總體，采用不重復(fù)抽樣，且抽樣比 時(shí)， 的抽樣分布的方差要用

16、修正系數(shù) 加以修正，這時(shí)總體比例p(未知時(shí))的置信度為1-的置信區(qū)間為,例 某地區(qū)有20所高等院校，有副教授以上職稱的教師7800名。高校的管理部門想了解具有高級(jí)職稱的教師中有基礎(chǔ)研究課題的教師占多大的比例，于是抽取400人組成一個(gè)隨機(jī)樣本（不重復(fù)抽樣）。經(jīng)調(diào)查，其中80人有基礎(chǔ)研究課題。試建立在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的95%的置信區(qū)間。,解 假設(shè)用p表示在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占的比例，則由已知條件可知N=7800,n=400, 樣本比例 =80/400=0.2 ，=0.05, 。 因?yàn)?，所以 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。,所以

17、 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。又因?yàn)槌闃颖却笥?%，所以要對(duì) 的抽樣分布的方差加以修正。應(yīng)用公式得到在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的95%的置信區(qū)間為,于是我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)20所高校具有副教授以上職稱的教師中，有（ ） 到（ ）的教師有基礎(chǔ)研究課題。,四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì),（四）一個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì) 為來自總體的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，未知，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為1-的置信區(qū)間為,因此，總體方差 的置信度為1-的置信區(qū)間為,例 假設(shè)公司預(yù)計(jì)的每股收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)有8個(gè)公司組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本方差為2.6

18、19，試建立總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的95 %的置信區(qū)間。,五、分層抽樣和整群抽樣的參數(shù)估計(jì)嚴(yán)格地講，分層抽樣與整群抽樣的參數(shù)估計(jì)與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣沒有本質(zhì)區(qū)別。只不過在計(jì)算方差時(shí)存在著不同。,第五節(jié) 樣本容量的確定,我們應(yīng)該一直有這樣的疑問：我們學(xué)習(xí)了問卷的設(shè)計(jì)、調(diào)查方法的選擇、數(shù)據(jù)的描述、數(shù)據(jù)的整理以及參數(shù)估計(jì)的有關(guān)問題。但是，如何進(jìn)行調(diào)查呢？或者說選擇多少樣本呢？或者說需要選擇多少個(gè)被調(diào)查者呢？,第五節(jié) 樣本容量的確定,這就涉及到我們今天要學(xué)的內(nèi)容： 樣本容量的確定。,第五節(jié) 樣本容量的確定,這就涉及到我們今天要學(xué)的內(nèi)容： 樣本容量的確定。,一、影響樣本容量的因素 （一）置信度，也即總體參數(shù)真值

19、落在置信區(qū)間內(nèi)的可靠程度。要求較高的置信度，就需要較大的樣本容量，置信度越高，樣本容量就越大。,一、影響樣本容量的因素 （二）估計(jì)的精度，也即置信區(qū)間的寬度。要求較高的置信度，就會(huì)擴(kuò)大置信區(qū)間的寬度，也就是說降低了估計(jì)的精度。因此，要想既提高估計(jì)的精度，又不降低估計(jì)的可靠性程度，必須增加樣本容量。,一、影響樣本容量的因素 （三）建立置信區(qū)間的費(fèi)用。雖然增加樣本容量可以提高置信區(qū)間的可靠性程度和估計(jì)的精度，但也不是樣本容量愈大愈好。因?yàn)樵黾訕颖救萘?，就?huì)延長(zhǎng)調(diào)查時(shí)間，增大工作量和成本費(fèi)用，同時(shí)還可能增大調(diào)查誤差。,二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定 對(duì)于正態(tài)總體，在重復(fù)抽樣或抽樣比n/N5%時(shí)，總體均值的置信度為1-的置信區(qū)間為,二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定 記 ，稱為允許誤差，它表示總體均值與樣本均值 的絕對(duì)誤差不超過。于是，可以推出樣本容量的計(jì)算公式為,1樣本容量n與置信度所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的