試題二(龍格庫(kù)塔方法_區(qū)間估計(jì)_約束優(yōu)化)

1、 計(jì)算方法（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）試題（第2組） 2000.6.22 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 說(shuō)明：（1）1，2題必做，答案直接填在試題紙上； （2）3，4題任選1題，將簡(jiǎn)要解題過(guò)程和結(jié)果寫(xiě)在試題紙上； （3）解題程序以網(wǎng)絡(luò)作業(yè)形式提交，文件名用英文字母。1. 設(shè)用數(shù)值解法算出 y(1)= 1.1635 ,你用的方法是 龍格-庫(kù)塔方法 ，調(diào)用的 Matlab命令是：ts=0:0.1:2;y0=1,0;x,y=ode45(cwf, ts,y0); ode45(cwf, ts,y0) 算法精度為 4階 。%待解常微分方程組函數(shù)M文件源程序：function dy=cwf(x,y) dy=y(2);y(1)*sin(

2、x);%應(yīng)用歐拉方法和龍格-庫(kù)塔方法求解該常微分方程：ts=0:0.1:2;y0=1,0;x,y=ode45(cwf, ts,y0); %龍格-庫(kù)塔方法求數(shù)值解x, y(:,1)輸出結(jié)果： 1.0000 1.5370注意：ode45/23的步長(zhǎng)必須從常微分方程的初值初開(kāi)始，該命令默認(rèn)為初值是在步長(zhǎng)的起點(diǎn)賦值。以下為錯(cuò)誤程序：ts=-1:0.01:2;y0=1,0;x,y=ode45(cwf, ts,y0);x, y(:,1)2 設(shè)總體，未知，現(xiàn)用一容量n=25的樣本x對(duì)作區(qū)間估計(jì)。若已算出樣本均值，樣本方差，作估計(jì)時(shí)你用的隨機(jī)變量是 ，這個(gè)隨機(jī)變量服從的分布是 t(n-1) ，在顯著性水平0.

3、05下的的置信區(qū)間為 15.441,17.359. 若已知樣本，對(duì)作區(qū)間估計(jì)，調(diào)用的 Matlab命令是： mu, sigma, muci, sigmaci=normfit(x,alpha) 不可省略其他項(xiàng)！3. 小型火箭初始質(zhì)量為1200千克，其中包括900千克燃料。火箭豎直向上發(fā)射時(shí)燃料以15千克/秒的速率燃燒掉，由此產(chǎn)生40000牛頓的恒定推力。當(dāng)燃料用盡時(shí)引擎關(guān)閉。設(shè)火箭上升的整個(gè)過(guò)程中，空氣阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)記作k?；鸺者^(guò)程的數(shù)學(xué)模型為 其中為火箭在時(shí)刻t的高度，m=1200-15t為火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量，T（=30000牛頓）為推力，g (=9.8米/秒2)為重力加速

4、度, t1 (=900/15=60秒)為引擎關(guān)閉時(shí)刻。今測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下（t時(shí)間（秒），x 高度（米），v速度（米/秒）：t1011121314151617181920x10701270148017001910214023602600283030703310v190200210216225228231234239240246 現(xiàn)有兩種估計(jì)比例系數(shù)k的方法： 1用每一個(gè)數(shù)據(jù)(t,x,v)計(jì)算一個(gè)k的估計(jì)值（共11個(gè)），再用它們來(lái)估計(jì)k。 2用這組數(shù)據(jù)擬合一個(gè)k。請(qǐng)你分別用這兩種方法給出k的估計(jì)值，對(duì)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且回答，能否認(rèn)為空氣阻力系數(shù)k=0.5（說(shuō)明理由）。4. Inter-Trade公

5、司由中國(guó)大陸、菲律賓購(gòu)買(mǎi)無(wú)商標(biāo)的紡織品，運(yùn)到香港或臺(tái)灣地區(qū)進(jìn)行封裝和標(biāo)簽后，再運(yùn)到美國(guó)和法國(guó)銷(xiāo)售。已知兩地間的運(yùn)費(fèi)如下（美元/噸）：中國(guó)大陸菲律賓美國(guó)法國(guó)香港地區(qū)5572160190臺(tái)灣地區(qū)6758150210現(xiàn)Inter-Trade公司從中國(guó)大陸和菲律賓分別購(gòu)得90噸和45噸無(wú)標(biāo)品。假設(shè)封裝與標(biāo)簽不改變紡織品的重量，臺(tái)灣只有封裝和標(biāo)簽65噸的能力， A. 若美國(guó)市場(chǎng)需要有標(biāo)品80噸，法國(guó)市場(chǎng)需要有標(biāo)品55噸，試給該公司制訂一個(gè)運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸方案。 B. 若美國(guó)市場(chǎng)的需求量增至100噸，法國(guó)市場(chǎng)的需求量增至60噸，已知美國(guó)市場(chǎng)和法國(guó)市場(chǎng)的基本售價(jià)分別為每噸4000美元和6000美元，而當(dāng)供應(yīng)量

6、不能滿(mǎn)足需求時(shí)，其售價(jià)為基本售價(jià)加上短缺費(fèi)用，設(shè)短缺費(fèi)用為每噸2000美元乘以k，其中k為當(dāng)?shù)囟倘绷?市場(chǎng)需求量減去供應(yīng)量)占市場(chǎng)需求量的比例。試為該公司制訂一個(gè)盈利最大的運(yùn)輸方案，并給出盈利額（假設(shè)從中國(guó)大陸和菲律賓購(gòu)買(mǎi)無(wú)標(biāo)品的價(jià)格均為2000美元/噸，在香港和臺(tái)灣地區(qū)封裝和標(biāo)簽的費(fèi)用均為500美元/噸）。 解：A決策變量：大陸-香港-美國(guó)：x111；大陸-香港-法國(guó)：x112大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：x121；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：x122菲律賓-香港-美國(guó)：x211；菲律賓-香港-法國(guó)：x212菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：x221；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：x222目標(biāo)函數(shù)：Z=(55+160)*x111+(55

7、+190)*x112+(67+150)*x121+(67+210)*x122+(72+160)*x211+(72+190)*x212+(58+150)*x221+(58+210)*x222約束條件：x111+x112+x121+x122=90x211+x212+x221+x222=45x111+x121+x211+x221=80x112+x122+x212+x222=55x121+x122+x221+x22265基本模型：min(z)=(55+160)*x111+(55+190)*x112+(67+150)*x121+(67+210)*x122+(72+160)*x211+(72+190)*x

8、212+(58+150)*x221+(58+210)*x222s.t. x111+x112+x121+x122=90x211+x212+x221+x222=45x111+x121+x211+x221=80x112+x122+x212+x222=55x121+x122+x221+x22265x111,x112,x121,x122 ,x211,x212,x221,x2220c=215 245 217 277 232 262 208 268;A1= 0 0 1 1 0 0 1 1;A2= 1 1 1 1 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 1 1 1 ; 1 0 1 0 1 0 1 0 ; 0

9、1 0 1 0 1 0 1 ;b1=65;b2=90;45;80;55; v1=0 0 0 0 0 0 0 0;x,z,ef,out,lag=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1)輸出結(jié)果：x = 35.0000 55.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 45.0000 0.0000z = 3.0360e+004優(yōu)化方案：大陸-香港-美國(guó)：35；大陸-香港-法國(guó)：55大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：0；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：0菲律賓-香港-美國(guó)：0；菲律賓-香港-法國(guó)：0菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：45；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：0最小運(yùn)費(fèi)：30360美元；B：顯然，最大盈利量是在兩

10、地銷(xiāo)售時(shí)均不供過(guò)于求時(shí)取得的決策變量：大陸-香港-美國(guó)：x111；大陸-香港-法國(guó)：x112大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：x121；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：x122菲律賓-香港-美國(guó)：x211；菲律賓-香港-法國(guó)：x212菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：x221；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：x222目標(biāo)函數(shù)：Y=(4000+2000*(100-x111-x121-x211-x221)/100)* (x111+x121+x211+x221)+ (6000+2000*(60-x112-x122-x212-x222)/60)*( x112+x122+x212+x222)-(2000+500)*( x111+x112+x121+x122+

11、x211+x212+x221+x222)-(55+160)*x111+(55+190)*x112+(67+150)*x121+(67+210)*x122+(72+160)*x211+(72+190)*x212+(58+150)*x221+(58+210)*x222)=(4000+20*(100-x111-x121-x211-x221)* (x111+x121+x211+x221)+ (6000+200*(60-x112-x122-x212-x222)/6)*( x112+x122+x212+x222) -(215*x111+245*x112+217*x121+277*x122+232*x211

12、+262*x212+208*x221+268*x222) -約束條件：x111+x112+x121+x122=90x211+x212+x221+x222=45x111+x121+x211+x221100x112+x122+x212+x22260x121+x122+x221+x22265基本模型：max(y)=(4000+20*(100-x(1)-x(3)-x(5)-x(7)*( x(1)+x(3)+x(5)+x(7)+(6000+200*(60-x(2)-x(4)-x(6)-x(8)/6)*( x(2)+x(4)+x(6)+x(8) -(215*x(1)+245*x(2)+217*x(3)+2

13、77*x(4)+232*x(5)+262*x(6)+208*x(7)+268*x(8) -s.t. x(1)+x(2)+x(3)+x(4)=90x(5)+x(6)+x(7)+x(8)=45x(1)+x(3)+x(5)+x(7)100x(2)+x(4)+x(6)+x(8)60x(3)+x(4)+x(7)+x(8)65x(1),x(2),x(3),x(4), x(5),x(6),x(7),x(8)0優(yōu)化程序(非線(xiàn)性)：function y=max(x)y=-(4000+20*(100-x(1)-x(3)-x(5)-x(7)*( x(1)+x(3)+x(5)+x(7)+(6000+200*(60-x

14、(2)-x(4)-x(6)-x(8)/6)*( x(2)+x(4)+x(6)+x(8) -(215*x(1)+245*x(2)+217*x(3)+277*x(4)+232*x(5)+262*x(6)+208*x(7)+268*x(8) -)x0=10 10 10 10 10 10 10 10;A1= 0 0 1 1 0 0 1 1;1 0 1 0 1 0 1 0; 0 1 0 1 0 1 0 1;A2= 1 1 1 1 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 1 1 1 ;b1=65 100 60;b2=90 45; v1=0 0 0 0 0 0 0 0;x,z,ef,out,lag=fmin

15、con(max1,x0,A1,b1,A2,b2,v1)輸出結(jié)果：x = 30.0000 60.0000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 45.0000 0.0000z = -優(yōu)化方案：大陸-香港-美國(guó)：30；大陸-香港-法國(guó)：60大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：0；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：0菲律賓-香港-美國(guó)：0；菲律賓-香港-法國(guó)：0菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：45；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：0最大盈利：美元；計(jì)算方法（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）試題（第2組） 2000.6.22答案1. 設(shè)用數(shù)值解法算出 y(1)= 1.1635 , 設(shè)用數(shù)值解法算出 y(1)= 0.5721, 你用的方法是Runge-Kutta ，調(diào)用的

16、 Matlab命令是 ode45(filename,0,1,1，0)， 算法精度為4階。2 設(shè)總體，未知，現(xiàn)用一容量n=25 (20) 的樣本x對(duì)作區(qū)間估計(jì)。若已算出樣本均值(14.3) ，樣本方差(4.5)，作估計(jì)時(shí)你用的隨機(jī)變量是 ， 這個(gè)隨機(jī)變量服從的分布是t（n-1），在顯著性水平0.05下的的置信區(qū)間為 15.441，17.359 ( 13.3072 15.2928) . 若已知樣本，對(duì)作區(qū)間估計(jì)，調(diào)用的 Matlab命令是mu, sigma, muci, sigmaci=normfit(x, alpha)。3. 在用數(shù)值積分計(jì)算 () 時(shí)，若要求誤差至少是2階的，你用的計(jì)算公式是

17、Simpson公式 (梯形公式) ，調(diào)用的Matlab命令是 quad(fun,-1,1), （y=f(x), trapz(x,y)），算出的數(shù)值為2.3978 (2.2750) ；若用蒙特卡羅的均值估計(jì)法，你設(shè)定的近似公式是，() Matlab實(shí)現(xiàn)時(shí)你選定的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)是 ，計(jì)算的結(jié)果為 。4. 小型火箭初始質(zhì)量為900千克，其中包括600千克燃料.1) 11個(gè)k= 0.4313 0.4005 0.3815 0.4043 0.4193 0.3984 0.3949 0.3912 0.3961 0.4035 0.4135 平均值0.40322）1個(gè)k =0.4022 （無(wú)常數(shù)項(xiàng)） 接受 k=0.4

18、 (p=0.4681, k置信區(qū)間 0.3938 0.4125 ) 擬合一次式（用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-0.6070 （置信區(qū)間-3.8653 2.6513）， 一次項(xiàng)： 0.3944（置信區(qū)間0.3517 0.4372） stat = 0.9798 435.5734 0.0000 擬合一次式（不用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-1046.86（置信區(qū)間-4299 2205） 一次項(xiàng)： 0.3816（置信區(qū)間0.3168 0.4464） stat= 0.95175 177.53 0.0000 小型火箭初始質(zhì)量為1200千克，其中包括900千克燃料。1) 11個(gè)k= 0.5321 0.4877 0.4953 0.

19、4847 0.4811 0.5294 0.5193 0.4923 0.4919 0.4832 0.3888 平均值 0.48962）1個(gè)k =0.4821（無(wú)常數(shù)項(xiàng)） 接受 k=0.5 (p=0. 3894, k置信區(qū)間 0.4639 0.5153 ) 擬合一次式（用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-5.6373 （置信區(qū)間-13.4576 2.1829）， 一次項(xiàng)： 0.3775（置信區(qū)間0.2299 0.5252） stat = 0.7880 33.4574 0.0003 擬合一次式（不用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-6365.6（置信區(qū)間-15866.7 3135.3） 一次項(xiàng)：0.3603（置信區(qū)間0.1732 0.5473） stat= 0.6783 18.98 0.00185.A中國(guó)大陸菲律賓美國(guó)法國(guó)香港地區(qū)5