《實數(shù)理論》課件 (3).ppt

1、1,實數(shù)理論,2,為什么要講實數(shù)理論,以往教材上關(guān)于實數(shù)處理的方式: 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定義 以公理化方式定義實數(shù)來回避直接定義實數(shù) 上述處理方式的缺陷: 分割和基本列的方式定義需要引入一系列的工具，并且與中小學(xué)教材脫節(jié) 公理化的方式使得學(xué)生困惑: 實數(shù)變的難以理解了 應(yīng)當與中小學(xué)教材銜接并講清實數(shù): 講清十進小數(shù),3,實數(shù)理論,1 數(shù)系理論發(fā)展簡史 2 定義實數(shù)遇到的困難 3 我們?nèi)绾味x實數(shù) 4 有理數(shù)系的性質(zhì) 5 實數(shù)定義 6 實數(shù)的完備性 7 實數(shù)的運算性質(zhì) 8 記號和實數(shù)的進一步性質(zhì),4,1 數(shù)系理論發(fā)展簡史,有趣的現(xiàn)象 實數(shù)理論簡史 引入實數(shù)的方法 數(shù)系

2、理論,5,有趣的現(xiàn)象,數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長, 有人通過觀察推斷: 動物有數(shù)感. 在人類文明史中, 數(shù)的概念是逐步擴展開來的. 然而數(shù)的嚴格意義上的理論直到在十九世紀后半葉才完成. 雖然歐幾里德幾何原本中已經(jīng)討論了可公度比和無公度比,但沒有定義什么叫無公度比的相等 建立數(shù)系理論為了完善數(shù)學(xué)分析理論 建立數(shù)系理論是要保證數(shù)學(xué)的真實性,非歐幾何的出現(xiàn),幾何失去了其真實性;數(shù)學(xué)在哲學(xué)意義上的真實性應(yīng)當建立在算術(shù)基礎(chǔ)上 (Gauss 1817),6,實數(shù)理論,是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實數(shù)理論 以往的直觀想法: 有理數(shù)的極限, 然而必須先存在才能談極限 William R. Hamilton,

3、1833, 1835提出無理數(shù)的第一個處理, 以時間作為實數(shù)的基礎(chǔ).提出用將有理數(shù)分成兩類的方法定義無理數(shù) Weierstrass (1857), Mray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873) (來源于Kline IV P46-47),7,引入實數(shù)的方法,Weierstrass: 有自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù),然后用無窮多個有理數(shù)集合定義實數(shù) Dedekind: 有理數(shù)分割 Canter: 有理數(shù)基本列等價類,8,數(shù)系理論,歐幾里德的幾何原本中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理數(shù)中的相關(guān)結(jié)果,但是在比例線段的術(shù)語下討論的. Muller 1855一般算術(shù)和Gras

4、smann 1861算術(shù)中有討論, 但是講得不清楚 Peano 1889算術(shù)原理新方法引入Peano公理系統(tǒng)解決了這個問題。他用了許多符號: , 和N0表示自然數(shù)集。,9,2 定義實數(shù)遇到的困難,如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù) 基本想法都是利用有理數(shù)序列逼近(極限),這就有兩個問題 引入序列和極限等相關(guān)的概念 即便如此, 也要先定義清楚作為極限的實數(shù) 雖然知道實數(shù)的眾多性質(zhì), 如何寫出一個邏輯上正確、清晰和不難接受的實數(shù)理論仍然有待努力,10,3 我們?nèi)绾味x實數(shù),與中學(xué)實數(shù)定義銜接，用十進小數(shù)定義實數(shù)系，然后建立相關(guān)的性質(zhì) 建立實數(shù)的序 建立實數(shù)的完備性 利用有理數(shù)的運算和實數(shù)的完備性定義實數(shù)

5、的運算,11,4 有理數(shù)系的性質(zhì),自然數(shù)系及其運算 有理數(shù)系的建立 有理數(shù)的運算性質(zhì) 有理數(shù)的序性質(zhì)和稠密性質(zhì) 有理數(shù)的不完備性,12,自然數(shù)系及其運算,已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N=0,1, 2,的過程(上一章引入的) 加法運算就是數(shù)數(shù),乘法運算就是一類特殊數(shù)數(shù)的方法. 減法: 對小的數(shù)加多少的到大的數(shù) 除法: 分組 帶余除法: 確定組數(shù)和余數(shù) 歸納法是論證工具,13,有理數(shù)系Q的建立,有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加、減、乘和除封閉而得到的最小集合 自然數(shù)到有理數(shù)的邏輯擴展: 由自然數(shù)及其笛卡爾積建立整數(shù)使得加、減、乘封閉; 由整數(shù)及其笛卡爾積建立有理數(shù)使得加、減、乘和除封閉 自然數(shù)

6、到有理數(shù)的直觀擴展: 引入負數(shù)和所有正整數(shù)份數(shù),14,有理數(shù)的運算性質(zhì),加法和乘法滿足交換律: a+b=b+a, ab= ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c 乘法與加法之間滿足分配律: a(b+c)= ab+ac 0是加法零元: a: a+0=a 1是乘法單位元: a: a1=a 每個數(shù)a有負數(shù)-a: a+(-a)=0 每個非零數(shù)a有倒數(shù)1/a: a(1/a)=1,15,有理數(shù)序的三歧性和稠密性,有理數(shù)序的三歧性: a,bQ, 則ab中有且僅有一種情形成立 序與加法和乘法的關(guān)系: a,b,cQ, ab a+cb+c a,b,cQ且c0, ab acbc 記

7、號: ab表示ab或a=b 有理數(shù)的稠密性: a,bQ, ab, cQ: acb,16,有理數(shù)的不完備性,上界: 設(shè)AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就稱b為A的一個上界, 并且說A是有上界的 上確界:設(shè)AQ, A, bQ叫做A的上確界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc 上確界的惟一性 序的完備性: 任何有上界的集合都有上確界 有理數(shù)的不完備性: 存在有理數(shù)有上界而沒有上確界的非空子集: 例如aQ | a0, a22 (習題),17,5 實數(shù)定義,實數(shù)的十進小數(shù)定義 有理數(shù)的十進小數(shù)表示 實數(shù)的序,18,實數(shù)的十進小數(shù)定義,實數(shù)的十進小數(shù)定義: 實數(shù)集合R定義為: x:NZ|n

8、0,x(n)0,9;k0,nk, x(n)0, x(k)叫作x的第k位小數(shù), 記作xk ; x也寫成: x=x+0.x1x2 記x= 0.x1x2叫作x的小數(shù)部分 n0, sn(x)=x+0.x1x2xn叫作x的n位小數(shù)(舍值)近似, 也記s0(x)=x,19,有理數(shù)的十進小數(shù)表示,如果aZ, 自然地對應(yīng)x: x(0)=a, k0, x(k)=0 aQ, 如果a有十進小數(shù)表示: a=p+0.a1an, 對應(yīng)的x: x(0)=p,0kn, x(k)=ak, kn, x(k)=0.稱之為有限小數(shù), 用Qf表示R中所有有限小數(shù)的集合.R中的其他數(shù)叫無限小數(shù). aQ, 其十進小數(shù)是無限的, 則其十進小

9、數(shù)是循環(huán)小數(shù), 有引入有理數(shù)十進小數(shù)方式, 其十進小數(shù)不會有9循環(huán)(習題), 如此a=p+0.a1an 自然對應(yīng)x: x(0)=p,k0, x(k)=ak 注意這里用到整數(shù)部分而可能引起的與中學(xué)十進小數(shù)表示的差異,20,實數(shù)的序,實數(shù)序的定義: x,yR, x0時, kx 注: 當x,y是有限小數(shù)時, 與有理數(shù)中的序一致 實數(shù)的序具有三歧性: x,yR, 則xy中有且僅有一種情形成立 證明: 任取x,yR, 若x=y, 由整數(shù)序的三歧性, 不會有xy成立; 若xy, 則nN:x(n)y(n), 有歸納法,可設(shè)n是滿足這一性質(zhì)的最小自然數(shù), 因而由實數(shù)序的定義和整數(shù)序的三歧性可得有且僅有xy中的

10、一個成立.,21,6 實數(shù)的完備性,實數(shù)集的上界和上確界 實數(shù)的完備性 實數(shù)完備性的推論 常用記號和名詞,22,實數(shù)集的上界和上確界,上界: 設(shè)AR, A, 若bR使得aA, ab, 就稱b為A的一個上界, 并且說A是上有界的 上確界:設(shè)AR, A, bR叫做A的上確界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc 事實1: 確界的惟一性 事實2: 整數(shù)子集具有完備性，并且上確界在所討論的集合中,23,實數(shù)的完備性(I),R的非空有上界的子集必有上確界. 證明: 設(shè)AR非空且有上界. 取定A的一個上界z. 下面歸納地構(gòu)造A的上確界b. 1. 考慮整數(shù)集合A0=x(0) | xA, 則x(0)z(

11、0). 由整數(shù)序的完備性, A0有在其中的上確界b0. 即存在xA, x(0)=b0. 很自然地, b0R.若b0是A的上界,取b=b0就得到了上確界.否則考慮整數(shù)集 A0=x(1)|xA, xb0 且A0有上界9,24,實數(shù)的完備性(II),2.然后重復(fù)上面的步驟做下去，在第k步得到b0+0.b1bk滿足下列性質(zhì): xA, x(0)b0, xA滿足x(0)=b0; h=0, k-1, Ah=x(h+1)| xA, xb0+0.b1bh h=1, k-1, bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn, n=0,h 若b0+0.b1bk是A的上界,令b=b0+0.b1bk.就得到了上確界,

12、否則考慮整數(shù)集 Ak=x(k+1)|xA, xb0 +0.b1bk 其有上界9, 設(shè)bk+1為Ak的上確界,則xA滿足x(h)=bh, h=1, k+1. 由歸納法就得到,25,實數(shù)的完備性(III),3. 下列兩種可能性之一必成立: (1) A有有限小數(shù)上確界b=b0+0.b1bn; (2) 得到b: NZ, b(0) =b0Z, k0, b(k)=bk0,9,有無限多個bk 0, 滿足 xA, x(0)b0, xA滿足x(0)=b0; hN, Ah=x(h+1)| xA, xb0+0.b1bh h N, bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn, n=0,h 下面證明, 由b可以構(gòu)

13、造出A的上確界.,26,實數(shù)的完備性(IV),4. 考慮兩種情形: (1) 存在k0, nk, bk= 9, 如果k1, bk-1 1, 取b= b0+0.b1bk-1+1.為簡單這里僅給出k=1時的證明, k1情形的證明留作習題. 由xA, x(0)b0c(0),則xc. 如果c(0)=b0, 由m0, c(m)c. 因此b是A的上確界.,27,實數(shù)的完備性(V),6. 假設(shè)(2)成立, 則bR. 令b=b. 首先說明b是上界. 用反證法, 若b不是A的上界,則xA, xb, 這就存在k0, jb(k)=bk,這與bk的取法矛盾. 證明b是A的上確界: 任取cR, cc. 這就得到b是A的上

14、確界. 這樣實數(shù)的完備性就建立了. #,28,實數(shù)完備性的推論,實數(shù)集的下界和下確界: 設(shè)AR, A, 若bR使得aA, ab, 就稱b為A的一個下界, 并且說A是下有界的 設(shè)bR是AR的下界, 如果cb, aA, ac, 就稱b為A的下確界 推論1. R的非空有下界的子集必有下確界. 推論2. R的非空子集的上確界和下確界是惟一的(即至多只有一個). 上述兩個推論的證明留作習題.,29,常用記號和名詞,集合A的上,下確界分別記為sup A和inf A, 有時也分別叫作A的最小上界和最大下界 如果sup AA, 稱sup A為A的最大數(shù), 記sup A為max A; 類似地, 當inf AA時

15、, 稱之為A的最小數(shù), 記為min A. 當集合A沒有上界時, 記sup A=+ (或), 也說A的上確界是正無窮;類似地, 若集合A無下界, 記inf A=-,說A的下確界是負無窮 如果A上下都有界, 就說A是有界的. 否則就說A無界.,30,上確界的簡單性質(zhì),設(shè)A, B是R的非空子集. 則 1. 若AB, 則sup A sup B; 2. 若xA, yB滿足xy,則sup A sup B; 特別若A=xa | aI和B=ya | aI滿足xaya,則sup A sup B; 3. xR, x=supsn(x) | nN.,31,7 實數(shù)的運算性質(zhì),加法定義 負元和減法 實數(shù)的符號和絕對值

16、乘法定義 倒數(shù)和除法,32,加法定義,定義: 設(shè)x,yR. 定義x與y的和為 x+y=supsn(x)+sn(y) | nN 這個定義是有意義的: 集合sn(x)+sn(y) | nN , 且有上界x+y+2. 當x,yQ為有限小數(shù)時, 上述加法與有理數(shù)的加法一致.,33,負元和減法,負元: 設(shè)xR. 若x為有限小數(shù),即存在k: x(k)0, 而nk, x(n)=0. 負元-x定義為: k=0時, (-x)(0)=-x(0), (-x)(n)=0 k0時, (-x)(0)=-x(0)-1, (-x)(k)=10- x(k); n1,k-1, (-x) (n) =9-x(n); nk, x(n)

17、=0; 即k=0時-x=-x; k0時-x=-x-1+0.(9-x1)(9-xk-1)(10-xk) 若x為無窮小數(shù), 負元-x定義為: (-x)(0)=-x(0)-1, n0, (-x)(n)=9-x(n). 定義: 設(shè)x,yR. 定義x與y的差x-y為x+(-y). 命題1: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.,34,實數(shù)的符號和絕對值,符號函數(shù)sgn: xR, 若x0, sgn(x)=1; 若x0, sgn(x)=-1, sgn(0)=0. 絕對值函數(shù): xR, 如果x0, x的絕對值|x|=x, 否則|x|= -x 定義: 1x=x1=x, (-1)x=x(-1)=-x, 0

18、 x= x0=0 命題: (1) |x|=x sgn(x)=xsgn(x); (2) x=|x|sgn(x) =xsgn(x) sn(x) A A若bR,35,乘法定義,非負實數(shù)的乘法: x, yR, x0, y0, 定義x與y的乘積為: xy=xy=supsn(x)sn(y) | nN 這個定義是有意義的: 集合sn(x)sn(y) | nN , 且有上界(x+1)(y+1). 一般情形: xy=xy=sgn(x)sgn(y)|x|y| 當x,yQ為有限小數(shù)時, 上述乘法與有理數(shù)的乘法一致.,36,倒數(shù)和除法,倒數(shù): 對于xR, x0. 當x0時, x的倒數(shù)定義為: 1/x=supsn1/(

19、sn(x)+10-n)|nN; 當x 0時, x的倒數(shù)為: 1/x=-1/|x|. 除法: 對于x, yR, y0, 定義x與y的商為xy=x1/y. 命題 2: xR, x0, x1/x=1.,37,實數(shù)的運算性質(zhì),加法和乘法滿足交換律: a+b=b+a, ab= ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c 乘法與加法之間滿足分配律: a(b+c)= ab+ac 0是加法零元: a: a+0=a 1是乘法單位元: a: a1=a 每個數(shù)a有負數(shù)-a: a+(-a)=0 每個非零數(shù)a有倒數(shù)1/a: a(1/a)=1,38,實數(shù)序的三歧性和稠密性,實數(shù)序的三歧性:

20、a,bR, 則ab中有且僅有一種情形成立 序與加法和乘法的關(guān)系: a,b,cR, ab a+cb+c a,b,cR且c0, ab acbc 記號: ab表示ab或a=b 實數(shù)的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acdb.,39,實數(shù)的運算性質(zhì)的證明,系統(tǒng)的證明留作討論班的內(nèi)容,作為同學(xué)有余力時研究的一個問題 實數(shù)運算性質(zhì)的證明(附錄) 實數(shù)序性質(zhì)的證明(附錄),40,習題三 (I),1. 證明: aQ | a0, a22是Q中的有上界的非空集合, 但在Q中沒有上確界. 2.設(shè)x,yR. 證明sn(x)+sn(y) | nN, 且有上界x+y+2. 3. 證明: xR, -(-x)

21、=x, x+(-x)=0. 4. 證明實數(shù)的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acdb. 5. 證明有上界的非空整數(shù)子集有在其中的上確界.,41,習題三 (II),6. 設(shè)xR, x0. 證明: x (1/x)=1. 7. 證明確界的惟一性、上確界是最小上界和下確界是最大下界. 8. 設(shè)A, B是R的非空子集. 證明: (1) 若AB, 則sup Asup B; (2)若xA,yB滿足xy,則supAsupB;特別若A= xa|aI和B=ya|aI滿足xaya |,則supAsupB;,42,習題三 (III),(3)infA=-sup(-A),supA=-inf(-A), 其中

22、-A=-x|xA; (4)infxa|aI+infya|aIinf xa+ya|aI sup xa+ya|aIsupxa|aI+supya|aI 9. xR, x=supsn(x) | n N. 10.證明: a,bR,如果ab與ab同時成立,則a=b. 11. 給出循環(huán)小數(shù)的定義. 證明: 循環(huán)小數(shù)自然地等于一個有理數(shù); 反之亦然.,43,8 記號和實數(shù)的進一步性質(zhì),確界的e刻劃 記號 實數(shù)集的分離性 閉區(qū)間套 收縮閉區(qū)間套,44,確界的e刻劃,上確界: bR為集合A的上確界當且僅當: e 0, xA, 使得x b-e. 下確界: aR為集合A的下確界當且僅當: e 0, xA, 使得x0,

23、 xA, 使得xM. 無下界: 非空集合A無下界當且僅當: M0, xA, 使得x-M.,45,記號,區(qū)間: a, bR, aa, (-,a) =xR | xa, R= (-,+), a,+) =xR | xa, (-,a 鄰域: aR, (a-e,a+e)=xR | |x-a| e稱為a的e鄰域(簡稱鄰域) 空心鄰域: aR, (a-e,a+e)a=xR|0|x-a|e稱為a的e空心鄰域(簡稱空心鄰域),46,實數(shù)集的分離性,命題1. 設(shè) A, BR非空. 如果aA, bB, 都有ab, 則c滿足: aA, bB, acb. 證明: 取定bB, 由aA, ab可知A有上界,由完備性, c=sup AR. 在利用B的每個點都是A的上界和c是A的最小上界, 就有bB, cb.#,47,