橢圓雙曲線的經(jīng)典結(jié)論

1、橢圓雙曲線的經(jīng)典結(jié)論一、橢 圓1. 點(diǎn)p處的切線pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的外角.2. pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的外角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑pf1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過(guò)po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為p1、p2，則切點(diǎn)弦p1p2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為f1，f 2，點(diǎn)p為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)

2、f作直線與橢圓相交 p、q兩點(diǎn)，a為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的橢圓準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)，則mfnf.10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f的直線與橢圓交于兩點(diǎn)p、q, a1、a2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，a1p和a2q交于點(diǎn)m，a2p和a1q交于點(diǎn)n，則mfnf.11. ab是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，m為ab的中點(diǎn)，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13. 若在橢圓內(nèi)，則過(guò)po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.二、雙曲線1. 點(diǎn)p處的切線pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角.2. pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸

3、的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點(diǎn)半徑pf1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過(guò)po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為p1、p2，則切點(diǎn)弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為f1，f 2，點(diǎn)p為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,9. 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)f作直線與雙曲線相交 p、q兩點(diǎn)，a為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)ap

4、和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的雙曲線準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)，則mfnf.10. 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)f的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p、q, a1、a2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，a1p和a2q交于點(diǎn)m，a2p和a1q交于點(diǎn)n，則mfnf.11. ab是雙曲線（a0,b0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，m為ab的中點(diǎn)，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過(guò)po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于p1、p2時(shí)a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程是.2. 過(guò)橢圓 (

5、a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于b,c兩點(diǎn)，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為橢圓（ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1, f 2是焦點(diǎn), , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1、f2,p（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，左準(zhǔn)線為l，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)p，使得pf1是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與pf2的比例中項(xiàng).6. p為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),f1,f2為二焦點(diǎn)，a為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8. 已知橢圓（

6、ab0），o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過(guò)橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)f作直線交該橢圓右支于m,n兩點(diǎn)，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知橢圓（ ab0）,a、b、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則.11. 設(shè)p點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1、f2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12. 設(shè)a、b是橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，p是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)

7、橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于a、b兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線ac經(jīng)過(guò)線段ef 的中點(diǎn).14. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).雙曲線1. 雙

8、曲線（a0,b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時(shí)a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程是.2. 過(guò)雙曲線（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于b,c兩點(diǎn)，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),f1, f 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1、f2,p（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，左準(zhǔn)線為l，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)p，使得pf1是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與pf2的比例中項(xiàng).

9、6. p為雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn),f1,f2為二焦點(diǎn)，a為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過(guò)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)f作直線交該雙曲線的右支于m,n兩點(diǎn)，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,a、b是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或.11. 設(shè)p點(diǎn)是雙曲線（a0,b0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1、f2

10、為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12. 設(shè)a、b是雙曲線（a0,b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，p是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于a、b兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線ac經(jīng)過(guò)線段ef 的中點(diǎn).14. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的

11、焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫(xiě)成(a,b不同時(shí)為0)的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則 （斜率）且（在軸上截距） （充要條件）6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為