.三角函數(shù)誘導公式及經典記憶方法

1、三角函數(shù)誘導公式及記憶方法同角三角函數(shù)的基本關系式 1. 同角三角函數(shù)關系六角形記憶法 2. 兩角和差公式 3. 二倍角的正弦、余弦和正切公式 4. 半角的正弦、余弦和正切公式 5. 萬能公式 6. 三倍角的正弦、余弦和正切公式 7. 三角函數(shù)的和差化積公式 8. 三角函數(shù)的積化和差公式一、同角三角函數(shù)的基本關系式（一）基本關系1、倒數(shù)關系 tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 2、商的關系 sin/cos=tan sec/csc=tancos/sin=cot csc/sec=cot3、平方關系 sin2+cos2=1 1+tan2=sec2 1+cot2=csc2（二）

2、同角三角函數(shù)關系六角形記憶法構造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊形為模型。 1、倒數(shù)關系對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)； 2、商數(shù)關系 六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個也存在這種關系。）。由此，可得商數(shù)關系式。 3、平方關系 在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。二、誘導公式的本質所謂三角函數(shù)誘導公式，就是將角n(/2)的三角函數(shù)轉化為角的三角函數(shù)。（一）常用的誘導公式1、公式一： 設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k+）=si

3、n， kz cos（2k+）=cos， kz tan（2k+）=tan， kz cot（2k+）=cot， kz sec（2k+）=sec， kz csc（2k+）=csc， kz2、公式二：為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關系： sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）= tan cot（+）= cot sec (+) =sec csc (+) =csc3、公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關系： sin（）=sin cos（）= cos tan（）=tan cot（）=cot sec () = sec csc () =csc4、公式四：利用公式二和公式三可以

4、得到-與的三角函數(shù)值之間的關系： sin（）= sin cos（）=cos tan（）=tan cot（）=cot sec () =sec csc () = csc5、公式五：利用公式一和公式三可以得2-與的三角函數(shù)值之間的關系： sin（2）=sin cos（2）= cos tan（2）=tan cot（2）=cot sec (2) = sec csc (2) =csc6、公式六：+與的三角函數(shù)值之間的關系： sin（+）= cos cos（+）=sin tan（+）=cot cot（+）=tan sec (+) =csc csc (+) = sec7、公式七：-與的三角函數(shù)值之間的關系：

5、sin（）= cos cos（）= sin tan（）= cot cot（）= tan sec () = csc csc () = sec8、推算公式：+與的三角函數(shù)值之間的關系： sin（+）=cos cos（+）= sin tan（+）=cot cot（+）=tan sec (+) = csc csc (+) =sec9、推算公式：與的三角函數(shù)值之間的關系： sin（）=cos cos（）=sin tan（）= cot cot（）= tan sec（-) =csc csc（) =sec誘導公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。 “奇、偶”指的是的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的

6、名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號看象限”的含義是：把角看做銳角，不考慮角所在象限，看n(/2)是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。 符號判斷口訣： “一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”； 第二象限內只有正弦是“+”，其余全部是“”； 第三象限內只有正切和余切是“+”，其余全部是“”； 第四象限內只有余弦是“+”，其余全部是“”。 “ASCT”意即為“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos” （二）其他三角函數(shù)知識1、兩角和差公式 sin（+ ）= sincos+

7、cossin sin（）= sincoscossin cos（+ ）= coscossinsin cos（）= coscos+ sinsin tan（+ ）=(tan+tan )/(1tantan) tan（）=(tantan)/(1+tantan) 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2=2sincos cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 tan2=3、半角的正弦、余弦和正切公式 sin2= cos2= tan2= tan=4、萬能公式 sin= cos= tan=5、三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3=3sin4sin3 cos3=4cos33cos tan3=

8、6、三角函數(shù)的和差化積公式 sin+sin=2sincos sinsin= 2cossin cos+cos= 2coscos coscos=2sinsin7、三角函數(shù)的積化和差公式 sincos=sin(+)+sin() cossin= sin(+)sin() coscos= cos(+)+cos() sinsin= cos(+)cos() 三、公式推導過程（一）萬能公式推導 sin2=2sincos= （因為cos2+sin2=1） 再把上面的分式上下同除cos2，可得sin2= 然后用代替即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。（二）三倍角公式推導 tan3=上

9、下同除以cos3，得：tan3=sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos2+(12sin2)sin =2sin2sin3+sin2sin3 =3sin4sin3cos3=cos(2+)=cos2cossin2sin =(2cos21)cos2cossin2 =2cos3cos+(2cos2cos3) =4cos33cos即 sin3=3sin4sin3 cos3=4cos33cos （三）和差化積公式推導 首先,我們知道sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin我們把兩式相加就得到sin(+)+sin(-)=2sincos所以,sincos=同理,若把兩式相減,就得到cossin=同樣的,我們還知道cos(+)=coscos-sinsin,cos(-)=coscos+sinsin所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(+)+cos(-)=2coscos 所以我們就得到,coscos= 同理,兩式相減我們就得到sinsin= 這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:sincos=cossin=coscos= sinsin=-好,有了積化和差的