1輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件第17講導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用文庫(kù).ppt

1、1,2,第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,3,第17講,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,4,1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）. 2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得的極值的必要條件和充要條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）；會(huì)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最大值、最小值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).,5,1.已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，下列命題中,正確的是( ),C,A.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) B.如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f (x)0,右側(cè)f (x)0,右側(cè)f (x)0,那么f(x0)是極大值,由極值的定義知C正確.,6,2.函數(shù)

2、y= 的單調(diào)遞增區(qū)間為( ),B,A.(-,-1) B.(-1,1) C.(1,+) D.(-,2),因?yàn)閥= = , 所以由y0得1-x20,所以x21,所以-1x1.故選B.,7,3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3時(shí)取得極值，則a等于( ),D,A.2 B.3 C.4 D.5,因?yàn)閒 (x)=3x2+2ax+3, 又f(x)在x=-3時(shí)取得極值， 所以f (-3)=30-6a=0,解得a=5.,8,4.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間-3,0上的最大值是 ，最小值是 .,3,-17,f (x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令f (x)=0，得x=1. 而f

3、(-3)=-17，f(-1)=3，f(0)=1， 故f(x)在-3,0的最大值是3，最小值是-17.,9,5.若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .,3,+),因?yàn)楹瘮?shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減， 所以y=3x2-2ax0在(0,2)內(nèi)恒成立， y|x=0=00 y|x=2=12-4a0,所以a3.,所以,10,1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 (1)對(duì)于定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)不間斷的函數(shù)y=f(x)，由f (x)0 y=f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增 f (x)0在(a,b)內(nèi)恒成立，其中(a,b)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)對(duì)于定

4、義在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)不間斷的函數(shù)y=f(x),由f (x)0 . . f (x)0在(a,b)內(nèi)恒成立，其中區(qū)間(a,b)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,y=f(x)在(a,b),內(nèi)單調(diào)遞減,11,2.函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 (1)極值與極值點(diǎn)：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其附近有定義，如果對(duì)x0附近的異于x0的所有點(diǎn)x,都有 ,則稱f(x0)為f(x)的極大值,記作y極大值=f(x0),x0為極大值點(diǎn).反之,若 ,則稱f(x0)為f(x)的極小值，記作y極小值=f(x0),x0為極小值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). (2)若x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則有

5、，不一定成立.,f(x)f(x0),f(x)f(x0),f (x0)=0,12,3.函數(shù)的最值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 (1)函數(shù)的最值：如果在函數(shù)y=f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的xI，都有 ,則稱f(x0)為函數(shù)的最大值,記作ymax=f(x0);反之,若有 ,則稱f(x0)為函數(shù)的最小值，記作ymin=f(x0).最大值和最小值統(tǒng)稱為最值； (2)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖象是 的曲線,則該函數(shù)在閉區(qū)間a,b上一定能夠取得最大值與最小值.,f(x)f(x0),f(x)f(x0),一條連續(xù)不間斷,13,4.極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系 極值是反映函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是反映函數(shù)的整

6、體性質(zhì).極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，極大值不一定比極小值大.但如果函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.,14,題型一 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),例1,已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.,15,（1）由已知f(x)=3x2-a. 因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)， 所以f(x)=3x2-a0在R上恒成立， 即a3x2對(duì)xR恒成立. 又

7、因?yàn)?x20，所以只需a0. 又因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，f(x)=3x20, 即f(x)=x3-1在R上是增函數(shù)，所以a0.,16,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1，1)上恒成立, 得a3x2，x(-1,1)恒成立. 因?yàn)?1x1,所以3x23,所以只需證明a3. 當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=3(x2-1), 在x(-1,1)上，f(x)0， 即f(x)在(-1,1)上為減函數(shù)，所以a3. 故存在實(shí)數(shù)a3,使f(x)在(-1，1)上單調(diào)遞減.,17,(1)f(x)0（或f(x)0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件，在（a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增（或遞減）的充要

8、條件是f(x)0（或f(x)0)對(duì)x(a,b)恒成立，但f(x)不恒為0.,18,(2)已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)（或減函數(shù)），求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f(x)恒等于0.若恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去；若f(x)不恒等于0，則由f(x)0（或f (x)0)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.,19,求函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的單調(diào)增區(qū)間.,因?yàn)?f(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2) =3x2-12x+11. 由f(x)0，得x2- 或x2+ . 故函數(shù)f(x)的單

9、調(diào)遞增區(qū)間是 (-,2- 與2+ ,+).,本題易錯(cuò)誤地作答為遞增區(qū)間是 (-,2- 2+ ,+).誤將正值區(qū)間(1,2)或(3,+)作為增區(qū)間.,20,題型二 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),例2,已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10 x的一個(gè)極值點(diǎn). (1)求a; (2)求函數(shù)f(x)的極大值； (3)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.,21,(1)因?yàn)閒 (x)= +2x-10, 所以f (3)= +6-10=0,因此a=16. (2)由(1)知，f (x)= +2x-10 = (x-1). 此時(shí)，f(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：,由上表知函數(shù)f

10、(x)的極大值為f(1)=16ln2-9.,22,(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，在(3,+)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x=1或x=3時(shí),f (x)=0， 所以f(x)的極大值為f(1)=16ln2-9,極小值為f(3)=32ln2-21. 若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)bf(1). 因此，b的取值范圍為(32ln2-21，16ln2-9).,23,若上例(3) 變?yōu)?方程f(x)=b有一解、兩個(gè)不同解、三個(gè)不同解，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍將如何？,由上表 不難解得b16ln2-9時(shí)有一解，b=16ln2-9或b=32ln2-21

11、時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；32ln2-21b16ln2-9時(shí)，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.,24,(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)極值的步驟： 先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)； 求方程f(x)=0的根； 檢查f(x)在方程根的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值.如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.,25,（2）根據(jù)定義，極值點(diǎn)是區(qū)間a,b內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是區(qū)間的端點(diǎn)a、b，且極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處取得. （3）一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，且極小值與極大值沒(méi)有必然的大小關(guān)系.如果函數(shù)在a,b上有極值的話，它的極值

12、點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣,相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn),極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的.,26,（4）若函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)有極值，則f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間a,b上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值. 注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)=0，且在x0的左側(cè)與右側(cè)的f(x)的符號(hào)不同，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).,27,題型三 函數(shù)的最大值、最小值與導(dǎo)數(shù),例3,已知函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間-3,3上的最大值與最小值分別為M,N，試求M-N的

13、值.,28,f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)， 令f (x)=0，得x1=-2，x2=2. 則f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：,顯然，M=24，N=8，則M-N=24+8=32.,29,已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x(x-a). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間0,2上的最小值，寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式.,30,(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,+), f (x)= + = (x0). 若a0，則f (x)0,f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間0,+)； 若a0，令f (x)=0，得x= ， 當(dāng)0 時(shí)，f (x)0， 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0, ,單調(diào)遞增區(qū)間

14、為 ,+).,31,(2)若a0,f(x)在0,2上單調(diào)遞增,所以g(a)=f(0)=0， 若0a6,f(x)在0, 上單調(diào)遞減，在 ,2上單調(diào)遞增， 所以g(a)=f( )=- =- . 若a6，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，所以g(a)=f(2)=2(2-a). 0 (a0) - (0a6) (2-a) (a6).,綜上所述,g(a)=,32,（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值. （2）函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最大值（最小值）只能有一個(gè). （3）極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值卻可以在端點(diǎn)處取得.,33

15、,（4）一般的，在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值，在區(qū)間（a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，則f(a)是最小值，f(b)是最大值；若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞減，則f(a)是最大值，f(b)是最小值.,34,對(duì)任意的正整數(shù)n,求證: In ( +1) - .,令函數(shù)f（x）=x3-x2+ln（x+1）， 則f （x）=3x2-2x+ = . 所以當(dāng)x0，+）時(shí)，f （x）0，所以函數(shù)f（x）在0，+）上單調(diào)遞增，又f（0）=0，,35,所以x（0，+）時(shí),恒有f（x）f(0)=0，即x3x2-ln（x+1）恒

16、成立， 故當(dāng)x（0，+）時(shí),有l(wèi)n（x+1）x2-x3. 對(duì)任意正整數(shù)n，取x=1n（0，+）， 則有l(wèi)n（ +1） - ，所以結(jié)論成立.,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是把不等式恒成立的問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的問(wèn)題.,36,1.求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)令f (x)=0，求出此方程在f(x)的定義域內(nèi)的一切實(shí)根； (3)把函數(shù)f(x)無(wú)定義的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，這些點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；,37,(4)確定f (x)在各小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f (x)的符號(hào)判斷函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)的小開(kāi)區(qū)間

17、的增減性. 2.求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值的方法： (1)求導(dǎo)數(shù)f (x); (2)求方程f (x)=0的根； (3)檢驗(yàn)f (x)在每個(gè)根左、右的符號(hào),如果根的左側(cè)附近為正、右側(cè)附近為負(fù),則f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果根的左側(cè)附近為負(fù)、右側(cè)附近為正,則f(x)在這根處取得極小值.,38,3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的方法： (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值； (2)將求得的極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值、最小的一個(gè)為最小值.,39,4.注意:(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間時(shí),必須先求定義域; (2)使導(dǎo)函數(shù)f (x)=0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，則可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，注意這里的“可導(dǎo)”兩字必不可少.,40,(2009遼寧卷)已知函數(shù) f(x) x2-ax+(a-1)lnx,a1. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)證明：若a-1.,41,(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+). f(x)=x-a+ = = . ()若a-1=1,即a=2,則f(x)= . 故f(x)在(0,+)單調(diào)增加.