丘成桐_幾何的魅力.ppt

1、幾何: 魅力及應(yīng)用,丘成桐 美國(guó)哈佛大學(xué),科學(xué)的興起與個(gè)人修養(yǎng)、團(tuán)體文化有直接的關(guān) 系。 假如一個(gè)人的一生目標(biāo)以逐利當(dāng)官為大前提， 做學(xué)問(wèn)頂多是一個(gè)過(guò)渡手腕，即使小有成就，也難 以持久。推動(dòng)科研的熱情和好奇心很快就會(huì)冷淡。 傳世之學(xué)，更無(wú)足論了。,即使我的學(xué)生中間也有很多年少得志的，不但有 名聞全國(guó)，也有屢得獎(jiǎng)于海外的。但往往沾沾自喜， 以為學(xué)有成就，就爭(zhēng)名逐利、自夸自大。往往急功近 利，導(dǎo)致文章錯(cuò)誤百出。又為了做院士，花了很多時(shí) 間去巴結(jié)權(quán)貴。在這樣的背景下，何以做高雅的學(xué)問(wèn)， 更遑論傳世之學(xué)了。 做大學(xué)問(wèn)的學(xué)者，必需有崇高的志向。而立志不 易，必需有深厚的文化環(huán)境和朋友老師的激勵(lì)才能形 成

2、這個(gè)先決的條件。,在西方，為了培養(yǎng)研究人員的素質(zhì)，特別講究通才教育。其實(shí)中國(guó)深厚的文化提供了做學(xué)問(wèn)最好的背景，中國(guó)詩(shī)詞歌賦意境高超，能夠純化個(gè)人的心志。屈原天問(wèn)篇一連問(wèn)這么多問(wèn)題，值得我們學(xué)習(xí)。孟子知言養(yǎng)氣，是培養(yǎng)氣質(zhì)和做學(xué)問(wèn)的很好的方法。,我年少時(shí)家貧，父親卻勉我以學(xué)問(wèn)，不以富貴為志。父親寫了一本西洋哲學(xué)史，引文心雕龍一小段，使我記憶尤深。,文心雕龍：嗟呼，身與時(shí)舛，志共道申，標(biāo)心于萬(wàn)古之上，而送懷與千載之下。,崇基學(xué)院門前對(duì)聯(lián)崇高惟博愛本天地立心無(wú)間東西溝通學(xué)術(shù)基礎(chǔ)在育才當(dāng)海山勝境有懷抱與陶鑄人群 丘鎮(zhèn)英,父親很注重我有崇高的志向，所以很早教導(dǎo)我的古文中就有左傳論三不朽的文章。 左傳 叔孫

3、豹論三不朽 太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此之謂不朽。 立德立功之道，必以謙讓質(zhì)樸為主會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小輕妄浮誇之言也。,從中國(guó)古文中，可以看到做科學(xué)的方法，例如： 王國(guó)維論做大學(xué)問(wèn)三個(gè)過(guò)程 柳永 衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。 晏殊 昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。 辛棄疾 眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈 火闌珊處。 其實(shí)我想加一首詞： 宋徽宗 天遙地遠(yuǎn)，萬(wàn)水千山，知他故宮何處，怎 不思量，除夢(mèng)里有時(shí)曾去。,除了中國(guó)古代文學(xué)對(duì)我的影響外，我也看翻譯的西方文學(xué)作品，其中一首詩(shī)使我十分感動(dòng)的是： 英國(guó)大詩(shī)人拜倫 “希臘??！你本是平和時(shí)代的愛嬌，你本是戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)代的天

4、驕。撒芷波，歌聲高，女詩(shī)人，熱情好。更有那德羅士、菲波士榮光常照。此地是藝文舊壘，技術(shù)中潮，如今在否？算除卻太陽(yáng)光線，萬(wàn)般沒(méi)了。” “馬拉頓前??！山容縹緲。馬拉頓后啊！海門環(huán)繞。如此好山河，也應(yīng)有自由回照。我向那波斯軍墓門憑眺。難道我為奴為隸，今生便了？不信我為奴為隸，今生便了?！?梁?jiǎn)⒊g,歐幾里得(公元前350年) 原本,歐幾里得幾何公設(shè) 任意兩點(diǎn)間可作唯一的直線 任何線段可以無(wú)限延長(zhǎng) 以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑可作一圓 所有直角彼此相等 對(duì)于一直線L和該直線外的一點(diǎn)P，存在唯一通過(guò)P，并和L不相交的直線。, 幾何公設(shè)僅是一些定義。,龐加萊,畢達(dá)哥拉斯,給出一個(gè)直角三角形 該定理是幾

5、何學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ) 三元數(shù)組(3,4,5) 在古代文明中是非常著名的。我們稱 (a,b,c) 為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。,畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組, 希臘人意識(shí)到，當(dāng) 時(shí)，c 不是有理數(shù)， 也就是說(shuō)，c 不是兩個(gè)整數(shù)的商。 可以用下面的公式找到整數(shù)的畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組 這里 都是正整數(shù)。 （畢達(dá)哥拉斯，歐幾里得，丟番圖）,畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組,一個(gè)困難問(wèn)題：分類所有的有理數(shù)畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組，使其對(duì)應(yīng)的直角三角形的面積為整數(shù)。這樣的整數(shù)叫同余數(shù)。 同余數(shù)：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。 面積為5,同 余 數(shù),1983年， Tunnell用 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想證明了： 如

6、果n 是一個(gè)奇的非平方整數(shù)， n 是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足方程 的三元數(shù)組(x,y,z) 的個(gè)數(shù)是滿足方程 的三元數(shù)組(x,y,z) 的個(gè)數(shù)的兩倍。,橢 圓 曲 線,如果同余數(shù)n 是由三元數(shù)組(x,y,z)構(gòu)成的直角三角形的面積，這里 x,y,z 均是有理數(shù)，設(shè) 我們發(fā)現(xiàn) 滿足該方程的曲線叫橢圓曲線，它們構(gòu)成一個(gè)群。,橢圓曲線,如果 和 是一曲線的兩點(diǎn)， 是直線 和該曲線的交點(diǎn)，那么 稍后我們將看到橢圓曲線在現(xiàn)代幾何和在弦理論中起著非常重要的作用。,橢圓曲線 同余數(shù),n 是同余數(shù) 橢圓曲線 有無(wú)限多個(gè)有理數(shù)解。 某些相伴的函數(shù)在 處為零。 Theta函數(shù)的某些積的系數(shù)為零。,柏拉圖多面體,正多面體

7、是凸體，每個(gè)面是相同的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)相連著同樣數(shù)目的面。 僅有五種：正四面體，立方體，正八面體，正十二面體，正二十面體。,柏拉圖多面體,這些多面體和復(fù)奇點(diǎn)的現(xiàn)代理論有關(guān)，也和弦理論中非緊致卡拉比丘成桐流形有關(guān)。 各多面體間的對(duì)偶,歐 拉 數(shù),對(duì)于柏拉圖多面體: 歐拉注意到如果一個(gè)閉曲面能連續(xù)地形變到一個(gè)閉的多面體。分別記V,E,F,為該多面體的頂點(diǎn)數(shù),邊數(shù)和面數(shù)，那么 這里 h 是環(huán)柄個(gè)數(shù) 對(duì)于球面, h=0, 2(1-h) 稱為歐拉數(shù),歐 拉 數(shù),環(huán)柄數(shù)分別為 1, 2, 3,對(duì)稱性正多面形,正多面體、磚瓦面、幾何圖案給出對(duì)稱性概念，支配著幾何學(xué)的發(fā)展。 晶體按照對(duì)稱群分類,高斯博涅公式

8、,對(duì)多面體我們可以指定與某個(gè)頂點(diǎn) v 相連的面的曲率為 - 與 v 相連的面的內(nèi)夾角 每個(gè)頂點(diǎn)處曲率之和為 高斯-泊涅-魏依-艾倫多夫和陳省身推廣了上述公式,高斯博涅公式,這類聯(lián)系幾何信息和拓?fù)淞康墓皆诂F(xiàn)代幾何學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)中有著顯著的重要性。（在物理語(yǔ)言中，這類公式聯(lián)系著拓?fù)浜桑負(fù)淙毕荩?這類理論建立在陳類基礎(chǔ)上。1960年 阿蒂亞-辛格 作出了光輝的推廣。分析和幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。,天 文 測(cè) 量,希臘天文學(xué)家將幾何學(xué)應(yīng)用于天文測(cè)量。例如，地球的直徑（在賽伊尼的埃拉斯特尼 (公元前 275年-195年) 對(duì)天文測(cè)量的愿望反過(guò)來(lái)又影響著幾何學(xué)和三角學(xué)的發(fā)展。, 相信我，如果我可以重新開

9、始學(xué)習(xí)，我將聽從柏拉圖的建議，從數(shù)學(xué)開始。,伽利略,文藝復(fù)興時(shí)期,笛卡兒(1596-1650) 解析幾何：笛卡兒坐標(biāo)系 德薩格 (1591-1661) 射影幾何 費(fèi)馬(1601-1665) 變分原理：測(cè)地線 牛頓 (1642-1727) 微積分 萊布尼茨(1646-1716) 微積分,源于少數(shù)原理，卻結(jié)出累累碩果， 這就是幾何的驕傲。,牛頓,拓?fù)浜蛶缀蔚默F(xiàn)代發(fā)展,歐拉 (1707-1783) 多面體的歐拉公式，組合幾何，變分分析，幾何與力學(xué)，極小曲面。 高斯 (1777-1855) 雙曲幾何 ( 和羅巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波爾約 (1802-1829)一起 )，高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)

10、 定義。 ),曲率的內(nèi)蘊(yùn)定義,一張紙的曲率為零?？梢詫⒓垙澇梢粋€(gè)圓柱面。 兩個(gè)曲面是相同的：不拖長(zhǎng)或撕裂曲面。兩曲面的形狀不同。 兩類幾何： 內(nèi)蘊(yùn)度量給出高斯曲率 外蘊(yùn)形狀給出主曲率 懸鏈面 螺旋面 (等距形變 ),demo,高斯(1817),我越來(lái)越確信幾何的必然性無(wú)法被驗(yàn)證，至少無(wú)法被人類或?yàn)榱巳祟惗?yàn)證。我們或許能在另一種生命中領(lǐng)悟到那無(wú)法知曉的空間的本質(zhì)。 我們無(wú)法把幾何和純粹是先驗(yàn)的算術(shù)歸為一類。幾何和力學(xué)卻不可分割。,黎曼(1826-1866),在抽象定義的空間上引入黎曼度量 在無(wú)窮小近似下就是歐氏幾何。然而只在一階近似下是等同的。 二階近似由度量的曲率張量來(lái)衡量。 導(dǎo)致了幾何學(xué)的

11、革命。 克里斯托費(fèi)爾，列維-齊維塔，比安基，發(fā)展了這類抽象空間上的微積分。,黎 曼 面,后來(lái)人們意識(shí)到對(duì)二維空間，每個(gè)黎曼度量都可以寫成 如果引入復(fù)數(shù) 度量可寫成,黎 曼 面,這樣的復(fù)坐標(biāo)在相差一個(gè)全純變換的意義下是唯一的。 具有這樣復(fù)坐標(biāo)的抽象二維空間稱為黎曼面。 此概念應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。,黎 曼 面,曲面間的全純變換,demo,高斯曲率,黎曼面的高斯曲率為 黎曼面給出稱為復(fù)流形的首個(gè)例子。 問(wèn)題：如何重新發(fā)現(xiàn)度量？ 有一個(gè)黎曼面，即給出一個(gè)復(fù)坐標(biāo) z。 有一個(gè)定義在黎曼面上的曲率函數(shù) K。,高斯曲率,黎曼度量的曲率,在高維情形，黎曼度量的曲率遠(yuǎn)不是一個(gè)數(shù)量函數(shù)，它依賴于空間在某個(gè)截面上是

12、如何彎曲的，稱為曲率張量。 可以對(duì)全部曲率張量縮并，得到一個(gè)小的張量，稱為里奇張量。記為 里奇張量是一個(gè)對(duì)稱張量，其跡稱為數(shù)量曲率。 記為 。,愛因斯坦方程,黎曼幾何被愛因斯坦(在格羅斯曼、希爾伯特幫助下)用來(lái)描述廣義相對(duì)論。廣義相對(duì)論融合了狹義相對(duì)論和引力。 愛因斯坦方程 這里 是物質(zhì)張量（引力由度量 的全部的曲率張量來(lái)描述） 愛因斯坦方程對(duì)幾何學(xué)家們啟發(fā)深刻。這是一個(gè)高度非線性理論。（ 是引力位勢(shì)，是未知量）。,時(shí) 空,一般地，我們不能期望由愛因斯坦方程定義的時(shí)空有很多的對(duì)稱性。 因而，很多經(jīng)典力學(xué)中的守恒量在廣義相對(duì)論中無(wú)法直接定義。這里包括質(zhì)量、動(dòng)量、角動(dòng)量等. 對(duì)于廣義相對(duì)論中的孤立

13、物理系統(tǒng)，時(shí)空在無(wú)窮遠(yuǎn)處基本上是平坦地，因而具漸進(jìn)對(duì)稱性。這給出了總質(zhì)量、總動(dòng)量和總角動(dòng)量的定義。,正 質(zhì) 量,一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題是在某些合理的條件下,證明總質(zhì)量是正的。 這對(duì)應(yīng)著幾何中，在某些數(shù)量曲率的限制下，研究三維流形的幾何。 蕭恩和丘成桐用經(jīng)典的變分方法證明了正質(zhì)量猜想：研究空間中的極小曲面。 后來(lái)威騰用狄拉克方程和超引力重新證明了正質(zhì)量猜想。,求解愛因斯坦方程,廣義相對(duì)論中困難的問(wèn)題是如何求解愛因斯坦方程。 物質(zhì)張量為零 的情形。 黎曼幾何中一個(gè)非常有趣的問(wèn)題：能否找到一個(gè)閉空間，沒(méi)有物質(zhì)卻有引力？ 當(dāng)空間具超對(duì)稱性時(shí)，該問(wèn)題較容易。,求解愛因斯坦方程,例如, 當(dāng)空間具復(fù)坐標(biāo) 黎曼度量并

14、可寫成 這種情況下，有一個(gè)重要的量 有拓?fù)湟饬x 由陳省身引入，刻畫著空間的整體拓?fù)?，稱為第一陳類。 空間容許真空解要求第一陳類為零。,卡拉比-丘成桐空間,第一陳類為零可以在代數(shù)意義下驗(yàn)證。 丘成桐證明了第一陳類為零的復(fù)曲面上存在具超對(duì)稱的真空愛因斯坦方程的解。這是卡拉比猜想的一部分。 這類空間稱為卡拉比-丘成桐空間。 橢圓曲線 也是一個(gè)卡拉比-丘成桐空間。 柏拉圖多面體和某些卡拉比-丘成桐空間有著緊密地聯(lián)系。,卡拉比-丘成桐空間,記 X 為一五次卡拉比-丘成桐空間，其由射影空間中的下述齊次多項(xiàng)式定義: 簡(jiǎn)單地說(shuō)，X上d 次有理曲線是一個(gè)d 次多項(xiàng)式 解 記 是X上 d 次有理曲線的個(gè)數(shù)。 如何

15、計(jì)算 一百多年來(lái)一直困擾著數(shù)學(xué)家們。物理學(xué)中 的鏡像對(duì)稱預(yù)言可用經(jīng)典超幾何函數(shù)來(lái)計(jì)算所有的 。 1998年，連波-劉克峰-丘成桐首次給出完整的論證，使問(wèn)題得以最終解決。,卡拉比猜想的解決,卡拉比猜想的解決也給出了具負(fù)宇宙常數(shù)的度量。這類度 量實(shí)際上是龐加萊在曲面上構(gòu)造的度量的推廣。 最顯著的斷言是一個(gè)由復(fù)代數(shù)多項(xiàng)式定義的空間如果能形 變到一個(gè)復(fù)線性空間，那么這個(gè)空間也是復(fù)線性的。 可證明一個(gè)基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：對(duì)于代數(shù)曲 面S, 是曲面的歐拉數(shù)， 和曲面的拓?fù)渲笜?biāo)有關(guān)。 該不等式顯示，對(duì)代數(shù)曲面，存在一些非平凡的拓?fù)湎拗?,全純1-形式,受到流體力學(xué)和麥克斯韋方程的啟發(fā)，嘉當(dāng)，德拉

16、姆，霍奇，小平邦彥發(fā)展了流形上的調(diào)和形式理論，將流形上的分析與整體拓?fù)渎?lián)系起來(lái)。 例子，在閉曲面上，每個(gè)環(huán)柄給出一個(gè)全純1-形式。其給出了在曲面上構(gòu)造正交網(wǎng)的一種方法。,性質(zhì)：三角剖分和分解相互獨(dú)立,大范圍分析的發(fā)展,霍奇理論的發(fā)展在代數(shù)幾何中引入了基本的分析工具。 黎曼-洛赫公式和阿蒂亞-辛格指標(biāo)公式被用來(lái)解決 代數(shù)幾何以及量子場(chǎng)論中的基本問(wèn)題，影響深遠(yuǎn)。 在過(guò)去的三十年中，量子理論和量子場(chǎng)論對(duì)幾何學(xué)也有著重要的啟發(fā)。,楊振寧-米爾斯理論,楊振寧-米爾斯理論也將非線性理論帶入幾何學(xué)。唐納森理論給出四維流形拓?fù)溲芯康闹匾饬x。對(duì)埃米特型楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)的唐納森-烏倫貝克-丘成桐定理給出代數(shù)幾何的

17、一個(gè)新工具。 許多重要的非線性微分方程在現(xiàn)代幾何學(xué)中變得非常基本 平均曲率流 調(diào)和映照 里奇流 (哈密爾頓方程 ) 這些方程的超對(duì)性形式正變得重要 非線性理論非常依賴于對(duì)線性理論的深刻理解。雙曲方程的線性理論還沒(méi)有被很好的理解。,弦理論,這些方法已經(jīng)大量應(yīng)用于現(xiàn)代弦理論。 幾何對(duì)量子場(chǎng)論的研究卓有成效、神奇非凡。 微分方程在代數(shù)和代數(shù)幾何中也導(dǎo)致深刻的結(jié)果 有著同樣的神奇性。 數(shù)學(xué)和大部分物理可以認(rèn)為是幾何的一部分,討論,我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙的最好語(yǔ)言。 在21世紀(jì)，我們將無(wú)法區(qū)別下面的學(xué)科： 物理學(xué)：量子力學(xué)，廣義相對(duì)論，弦理論。 幾何學(xué)：示性類，指標(biāo)公式。 算子理論

18、。 非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統(tǒng)、混合型方程。 拓?fù)?、代?shù)幾何、數(shù)論。,物理和幾何,基本物理,牛頓力學(xué) 量子物理 廣義相對(duì)論 高能物理,現(xiàn)象的解釋、幾何概念的豐富 新工具的引入,物理實(shí)驗(yàn),觀察 自洽性，由數(shù)學(xué)（幾何）驗(yàn)證,基本物理的概念性突破,幾何中的分析及方程,基本原理,通過(guò)數(shù)學(xué)上的復(fù)雜的計(jì)算，基本原理應(yīng)用于 應(yīng)用學(xué)科。 幾何現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象，非線性方程，非線性 離散現(xiàn)象，等等。 從應(yīng)用學(xué)科中抽象出普適方法，演化成數(shù)學(xué)學(xué) 科。 基本原理。,我毫不猶豫地說(shuō)，數(shù)學(xué)家值得為自己的天空去耕耘，值得為了那些在物理學(xué)中沒(méi)有應(yīng)用的理論去研究。,龐加萊,數(shù)學(xué)家就象法蘭西人，無(wú)論你對(duì)他們說(shuō)什么，他們總是翻譯成變得完全不同的，自己的語(yǔ)言。,歌德,數(shù)學(xué)研究介乎物理、文學(xué)與工程之間。 物理所以見其真也， 文學(xué)所以見其美也， 工程所以見其用也。而三者相通。 以下引文