第11講二次函數(shù)

1、第11講二次函數(shù)考綱要求備考指津1.理解二次函數(shù)的有關(guān)概念2會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)3會(huì)根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸(公式不要求記憶和推導(dǎo))，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移4熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題5會(huì)用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.二次函數(shù)是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識(shí)等結(jié)合在一起綜合考查，且一般為壓軸題中考命題不僅考查二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，而且注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查以及對(duì)學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題能力的考查考點(diǎn)一二次函數(shù)的概念一般地，如果y

2、ax2bxc(a，b，c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)注意：(1)二次項(xiàng)系數(shù)a0；(2)ax2bxc必須是整式；(3)一次項(xiàng)可以為零，常數(shù)項(xiàng)也可以為零，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以同時(shí)為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)圖象(a0)(a0)開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下對(duì)稱(chēng)軸直線x直線x頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x時(shí)，y有最小值當(dāng)x時(shí)，y有最大值考點(diǎn)三二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c及b24ac的符號(hào)之間的關(guān)系考點(diǎn)四二次函數(shù)圖

3、象的平移拋物線yax2與ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，則圖象的形狀和大小都相同，只是位置的不同它們之間的平移關(guān)系如下表：考點(diǎn)五二次函數(shù)關(guān)系式的確定設(shè)一般式：yax2bxc(a0)若已知條件是圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)，將已知條件代入，求出a，b，c的值考點(diǎn)六二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1二次函數(shù)yax2bxc(a0)，當(dāng)y0時(shí)，就變成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3當(dāng)b24ac0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)b24ac0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b24ac0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)1

4、當(dāng)m_時(shí)，函數(shù)y(m3)xm274是二次函數(shù)2二次函數(shù)y(x4)25的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是()A向上，直線x4，(4,5)B向上，直線x4，(4,5)C向上，直線x4，(4，5)D向下，直線x4，(4,5)3已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()Aa0Bc0Cb24ac0 Dabc04二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，那么abc，b24ac,2ab,4a2bc這四個(gè)代數(shù)式中，值為正的有()A4個(gè) B3個(gè)C2個(gè) D1個(gè)5把拋物線y2x2向上平移5個(gè)單位，所得拋物線的解析式為()Ay2x25By2x25Cy2(x5)2Dy2(x5)26已知二次函數(shù)y

5、x22xm的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x22xm0的解為_(kāi)7如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”ADDCCB，使C，D點(diǎn)在拋物線上，A，B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】 (1)二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A(1,8) B(1,8)C(1,2) D(1，4)(2)已知拋物線yax2bxc(a0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，y1)

6、，(2，y2)，試比較y1和y2的大?。簓1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法來(lái)求1，8.二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,8)(2)點(diǎn)(1，y1)，(2，y2)不在對(duì)稱(chēng)軸的同一側(cè)，不能直接利用二次函數(shù)的增減性來(lái)判斷y1，y2的大小，可先根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，y3)，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，點(diǎn)(0，y3)與點(diǎn)(2，y2)關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)y3y2.a0，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小y1y3.y1y2.答案：(1)A(2)1將拋物線解析式寫(xiě)成ya(xh)2k的形式，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h

7、，k)，對(duì)稱(chēng)軸為直線xh，也可應(yīng)用對(duì)稱(chēng)軸公式x，頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸2比較兩個(gè)二次函數(shù)值大小的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當(dāng)自變量在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)時(shí)，看兩個(gè)數(shù)到對(duì)稱(chēng)軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；(3)當(dāng)自變量在對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)時(shí)，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷二、利用二次函數(shù)圖象判斷a，b，c的符號(hào)【例2】 如圖所示，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開(kāi)口向上，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)和(1,0)，且與y軸交于負(fù)半軸(1)給出四個(gè)結(jié)論：a0；b0；c0；abc0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_；(2)給出四個(gè)結(jié)論：abc0；2ab0；ac1；a1.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_解析：(1)拋物線開(kāi)口向上，a0；對(duì)稱(chēng)軸

8、在y軸右側(cè)，0，b0；與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，c0；當(dāng)x1時(shí)，y0，abc0，故填.(2)由(1)問(wèn)知a0，b0，c0，abc0；又知1，2ab0；又知x1時(shí)，y0；x1時(shí)，y2，ac1；又知c0，a1c1，故填答案：(1)(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關(guān)代數(shù)式的符號(hào)，是二次函數(shù)中的一類(lèi)典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，具有較強(qiáng)的推理性解題時(shí)應(yīng)注意開(kāi)口方向與a的關(guān)系，拋物線與y軸的交點(diǎn)與c的關(guān)系，對(duì)稱(chēng)軸與a，b的關(guān)系，拋物線與x軸交點(diǎn)數(shù)目與b2-4ac的符號(hào)的關(guān)系；當(dāng)x=1時(shí)，決定a+b+c的符號(hào)，當(dāng)x=-1時(shí)，決定a-b+c的符號(hào)在此基礎(chǔ)上，還可推出其他代數(shù)式的符號(hào)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想更直觀、更簡(jiǎn)捷已知二次

9、函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：b24ac0；abc0；8ac0；9a3bc0.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4三、二次函數(shù)圖象的平移【例3】 二次函數(shù)y2x24x1的圖象怎樣平移得到y(tǒng)2x2的圖象()A向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位C向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位D向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位解析：首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點(diǎn)式，然后確定如何平移，即y2x24x12(x1)23，將該函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位就得到y(tǒng)2x2的圖象答案：C二次函數(shù)圖象的平移實(shí)際上就是頂點(diǎn)位置的

10、變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后按照“左加右減、上加下減”的規(guī)律進(jìn)行操作四、確定二次函數(shù)的解析式【例4】 已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(2,0)，B(1,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,8)(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)設(shè)這個(gè)拋物線的表達(dá)式為yax2bxC由已知拋物線經(jīng)過(guò)A(2,0)，B(1,0)，C(2,8)三點(diǎn)，得解這個(gè)方程組，得所以所求拋物線的表達(dá)式為y2x22x4.(2)y2x22x422，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件，用圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)一般式求解五、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例5】 某商品的進(jìn)價(jià)

11、為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣(mài)出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣(mài)10件(每件售價(jià)不能高于65元)設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元(x為正整數(shù))，每個(gè)月的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？(3)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2 200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫(xiě)出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2 200元？解：(1)y(21010x)(50x40)10x2110x2 100(0x15且x為整數(shù))；(2)y10(x5.5)22 402.5.a

12、100，當(dāng)x5.5時(shí)，y有最大值2 402.5.0x15，且x為整數(shù)，當(dāng)x5時(shí)，50x55，y2 400(元)，當(dāng)x6時(shí)，50x56，y2 400(元)，當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2 400元(3)當(dāng)y2 200時(shí)，10x2110x2 1002 200，解得x11，x210.當(dāng)x1時(shí)，50x51，當(dāng)x10時(shí)，50x60.當(dāng)售價(jià)定為每件51或60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)為2 200元當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2 200元(或當(dāng)售價(jià)分別為51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2 200元)

13、運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和實(shí)際生產(chǎn)中的最大值和最小值問(wèn)題是最常見(jiàn)的題目類(lèi)型，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法是：1列出二次函數(shù)的關(guān)系式，列關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍2在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值1(2012四川樂(lè)山)二次函數(shù)yax2bx1(a0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過(guò)點(diǎn)(1,0)設(shè)tab1，則t值的變化范圍是()A0t1 B0t2C1t2 D1t12(2011湖南株洲)某廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線yx24x(單位：米)的一部分，則水噴出的最大高度是

14、()A4米 B3米 C2米 D1米3(2011四川雅安)已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖，其對(duì)稱(chēng)軸x1，給出下列結(jié)果b24ac，abc0，2ab0，abc0，abc0，則正確的結(jié)論是()A BC D4(2012浙江寧波)把二次函數(shù)y(x1)22的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后得到的圖象的解析式為_(kāi)5(2011山東棗莊)拋物線yax2bxc上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說(shuō)法中正確的是_(填寫(xiě)序號(hào))拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3,0)；函數(shù)yax2bxc的最大值為6；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x；在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x增大而增大6(2012湖南益陽(yáng))已知，如圖，

15、拋物線ya(x1)2c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P(1,3)處(1)求原拋物線的解析式；(2)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)5班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開(kāi)頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過(guò)計(jì)算驚奇地發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比(約等于0.618)請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少？(參考數(shù)據(jù)：2.236，2.449，結(jié)果可保留根號(hào))1二次函數(shù)y4x2mx5，當(dāng)x2時(shí)，

16、y隨x的增大而減??；當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x1時(shí)，y的值為()A7 B1 C17 D252將二次函數(shù)yx22x3化為y(xh)2k的形式，結(jié)果為()Ay(x1)24 By(x1)24Cy(x1)22 Dy(x1)223函數(shù)yx22x2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范圍是()A1x3 B1x3Cx1或x3 Dx1或x34已知一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x24和x1x23，那么二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象有可能是()5已知函數(shù)yax2bxc(a0)，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值為4，當(dāng)x0時(shí)，y14，則函

17、數(shù)表達(dá)式為_(kāi)6二次函數(shù)y2x22kx3的頂點(diǎn)在x軸上，則k_.7拋物線yx2bxc的圖象如圖所示，若將其向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，則平移后的解析式為_(kāi)8某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：y10x500.(1)設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為w(元)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？(2)如果李明想要每月獲得2 000元的利潤(rùn)，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)根據(jù)物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2 00

18、0元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本進(jìn)價(jià)銷(xiāo)售量)參考答案基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)自主測(cè)試132.A3.D4.A5.A6.x11，x237解：(1)M(12,0)，P(6,6)(2)設(shè)拋物線解析式為ya(x6)26.拋物線ya(x6)26經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，0a(06)26，即a.拋物線解析式為y(x6)26，即yx22x(3)設(shè)A(m,0)，則B(12m,0)，C(12m，m22m)，D(m，m22m)“支撐架”總長(zhǎng)ADDCCB(122m)m22m12(m3)215.此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，當(dāng)m3時(shí)，ADDCCB有最大值為15米規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練D知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回顧1B2.A3.D4.y(x1)22 56解：(1)P與P(1,3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)拋物線ya(x1)2c過(guò)點(diǎn)A(1，0)，頂點(diǎn)是P(1，3)，解得則拋物線的解析式為y(x1)23，即yx22x2.(2)CD平行x軸，P(1,3)在CD上，C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為3.由(x1)233得x11，x21，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，3)，(1，3)CD2.“W”圖案的高與寬(CD)的比(或約等于0.612 4)模擬預(yù)測(cè)1D2.D3.D4.C5y2x212x146.7yx22x8解：(1)由題意，得(x20)y(x20)(10x500)10x2