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文檔簡介
1、圓的常用輔助線及作法,1,嘗試練習(xí)一,嘗試練習(xí)二,數(shù)學(xué)歌訣,作法及應(yīng)用,弦心距,直徑圓周角,切線徑,兩圓相切公切線,中點圓心線,兩圓相交公共弦,嘗試練習(xí),圓的常用輔助線及作法,常用思想,2,圓是初中幾何學(xué)習(xí)中重要內(nèi)容,學(xué)好圓的有關(guān)知識,掌握正確的解題方法,對于提高學(xué)生的綜合能力非常重要,而在解決圓的有關(guān)問題時,恰當添設(shè)輔助線則是解題的關(guān)鍵。,一、添設(shè)圓的輔助線的常用思想 添設(shè)圓的輔助線是幾何學(xué)習(xí)的重要方法。在作輔助線時,應(yīng)從結(jié)論入手分析,尋找題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系,尋找隱含的條件,使輔助線起到“搭橋鋪路”的作用。,3,弦與弦心距,親密緊相連。 中點與圓心,連線要領(lǐng)先。 兩個相交圓,不離公共弦。
2、兩個相切圓,常作公切線。 圓與圓之間,注意連心線。 遇直徑想直角,遇切點作半徑。,圓的常用輔助線作法的“數(shù)學(xué)歌訣”,4,二、常用輔助線作法的應(yīng)用,在解決與弦、弧有關(guān)的問題時,常作弦心距、半徑等輔助線,利用垂徑定理、推論及勾股定理解決問題。,2.1、弦心距 -有弦,可作弦心距。,5,例1、如圖,已知,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證:AC =BD。,由垂徑 定理得: AE = EB, CE = DE,證明:過O作OE AB, 垂足為E。,E,即:AC = BD, AE - CE = BE - DE,6,在解決有關(guān)直徑的問題時,常作直徑上的圓周角,構(gòu)成直徑所對的圓周
3、角是直角,尋找隱含的條件,從而得到所求結(jié)論。,2.2、直徑圓周角 -有直徑,可作直徑上的圓周角.,7,例2、已知:MN 切O于A點,PC是直徑,PB MN于B點, 求證:,分析:,8,證明:連結(jié)AC、AP, PC是O的直徑 CAP = 90 , PB MN PBA = 90 , CAP = PBA, MN 是0的切線 BAP = ACP,9,在解決有關(guān)切線問題時,常作過切點的半 徑,利用切線的性質(zhì)定理;或者連結(jié)過切點的弦,利用弦切角定理,使問題得以解決。,2.3、切線徑 -有切點,可作過切點的半徑。,10,例3、如圖,AB、AC與O相切有與B、C點,A = 50,點P優(yōu)弧BC的一個動點,求BP
4、C的度數(shù)。,BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130,解:連結(jié) OB、 OC ,, AB、AC是O的切線, ABOB, ACOC,,在四邊形ABOC中,A = 50, BPC = = 65,ABO = ACO = 90,11,在解決兩圓相交的問題時,常作兩圓的公共弦,構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形。再利用圓內(nèi)接四邊形定理,架設(shè)兩圓之間的”橋梁”,從而尋找兩圓之間的等量關(guān)系。,2.4、兩圓相交公共弦 -兩圓相交,可作公共弦。,12,例4、如圖,已知:O 和O 相交于A、B兩點,過A點的直線CD分別交O 和O 于C 、D;過B點的直線EF分別交O 和O 于E
5、、F 。求證:CEDF 。,CEDF,1,2,2,2,1,1,2,1,證明:連結(jié)AB,四邊形ACEB是O 的內(nèi)接四邊形, DAB = E,四邊形ABFD是O 的內(nèi)接四邊形, DAB +F = 180, E +F = 180,13,在解決兩圓相切的問題時,常作兩圓的公切線。若兩圓外切,常作內(nèi)公切線;若兩圓內(nèi)切,常作外公切線。通過公切線構(gòu)造弦切角,利用弦切角便把兩圓的圓周角聯(lián)系起來。,2.5、兩圓相切公切線 -兩圓相切,可作公切線.,14,例5、如圖,已知兩圓外切于T點。過T的直線AB 、CD分別交O 和O 于A、C 和B 、D。求證:ACBD 。,M,N,證明:過T點作兩圓的內(nèi)公切線MN,1,2
6、,1,2,在O 中,A= CTN,在O 中, B= DTM,又 CTN = DTM,A= B,ACBD,15,在解決有關(guān)中點和圓心的問題時,可先連結(jié)中點與圓心。利用垂徑定理,或者是三角形、梯形的中位線定理,可求出所需要的結(jié)論。,2.6、中點圓心線 -有中點和圓心,可連結(jié)中點與圓心。,16,例6、如圖,已知AB、CD是O的兩條弦,M、N分別是AB、CD的中點,并且 AMN = CNM 。求證:AB = CD 。,即:AB = CD,證明:連結(jié)OM、 ON,M、N分別是AB、CD的中點,OMAB,ONCD,AMO = CNO = 90 ,又 AMN = CNM, OMN = ONM, OM = O
7、N,17,三、嘗試練習(xí)一,1、如圖,點O是EPF的平分線上的一點,以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A 、B和C、D點。求證:(1)、AB = CD (2)、PB =PD。,PO平分BPA, OM=ON AB=CD。,(1)、證明:過O作OMAB,ONCD,垂足為M、N。,M,N,18,三、嘗試練習(xí)一,1、如圖,點O是EPF的平分線上的一點,以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A 、B和C、D點。求證:(1)、AB = CD (2)、PB =PD。,(2)、AB=CD,OMAB,ONCD AM=MB=CN=ND 又OM=ON,RtPMORtPNO PM=PN PM+MB=PN+ND 即:PB=PD,
8、19,2、如圖,以RtABC的直角邊AC為直徑作O交斜邊AB于P,過B、P任意作一個圓,過A作所作圓的切線AD,切點為D。求證:,即:AD=AC,AC是O的直徑, APC =90 ACB=90, APCACB,又AD是大的切線,證明:連結(jié)CP,,20,3、如圖,在O中,半徑OAOB垂足為O,P是OB上任意一點,AP交O于Q,過Q點的切線交OB的延長線于C。求證:CP = CQ。,QC是O的切線, OQC=90 OA=OQ,OAQ=OQA 又OAOB,APO=90-OAP CQP=90-OQA APO=CQP CQP=CPQ, CP = CQ。,證明:連結(jié)OQ,21,四、嘗試練習(xí)二,1、如圖,兩圓相交于A、B兩點。過一個圓上的點P作射線PA和PB,分別交于另外一個圓于點C和點D,再作切線PT。求證:PTCD。,PT是小的切線,TPA=ABP ABDC是大的內(nèi)接四邊形, ABP=C TPA=C 即:PTCD。,證明:連結(jié)AB,22,2、如圖,已知:O1和O2外切于點A,BC是O1和O2 的公切線,B、C為切點。求證:ABAC。,由切線長定理得: BP=PA,PA=PC PA= BP = PC =,證明:過點A作兩圓的公切線交BC于點P ,,ABAC,23,3、已知、AB是O的直徑,AC是O的切線,切點為A,BC交O于點D,E是AC的中點。求證:ED是O的切線。,OE
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