導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)

1、導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)傅立葉定律其中，分別為x，y，z坐標(biāo)軸上的單位矢量。為導(dǎo)熱率（單位）。其含義表示，單位時間內(nèi)，通過某單位截面上的熱流（單位），與該處的溫度梯度成正比，但方向相反。一導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)依據(jù)1依據(jù)根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即導(dǎo)熱微分方程；，物體在單位時間內(nèi)獲得的熱量；，物體在單位時間內(nèi)內(nèi)能的增加；，物體對外界所做的功。對于固體來說，溫度改變導(dǎo)致體積變化對環(huán)境所做的功可忽略不計，上式變?yōu)椋?一般性假設(shè)(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；(2) 熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知；(3) 物體內(nèi)具有內(nèi)熱源，強(qiáng)度（單位），表示單位體積、單位

2、時間內(nèi)放出的熱量二直角坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)考察時間內(nèi)微元體中：導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量 + 內(nèi)熱源發(fā)熱量 = 熱力學(xué)能的增加1. 導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量（1）時間內(nèi)、沿x 軸方向、經(jīng)垂直于x軸 的熱量導(dǎo)入表面導(dǎo)入的熱量： (單位)同理，時間內(nèi)、沿x 軸方向、經(jīng)垂直于x軸 的熱量導(dǎo)出表面導(dǎo)出的熱量： (單位)，分別為熱量導(dǎo)入面和導(dǎo)出面上的熱流密度，單位。請注意，事實上這里有： ，所以導(dǎo)入與導(dǎo)出的熱量差為： (單位)同理：（2）時間內(nèi)、沿y 軸方向、經(jīng)垂直于y軸 的兩表面導(dǎo)入導(dǎo)出的熱量差： (單位)（3）時間內(nèi)、沿z 軸方向、經(jīng)垂直于z軸 的兩表面導(dǎo)入導(dǎo)出的熱量差： (單位)2 微元體自身的發(fā)熱量

3、時間內(nèi)，微元體自身的發(fā)熱量：3微元體熱力學(xué)能的增量（即微元體溫度升高耗費的能量）時間內(nèi)，微元體溫度升高耗費的能量：根據(jù)前面所述的能量守恒，有：即整理得：又因為傅立葉定律，即，所以：， ， ，帶入上式，得直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程：三柱坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)注意，直接寫出柱坐標(biāo)系下的傅立葉定律：解釋如下：沿著方向的溫度梯度：，容易理解；沿著方向的溫度梯度：，我們把它寫成，注意分母是沿著方向的微小增量，或許就容易理解了；沿著方向的溫度梯度：，這個很好理解，不多解釋。依據(jù)能量守恒，最后可得出柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：四球坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)注意，直接寫出球坐標(biāo)系下的傅立葉定律：解釋如下：沿著方向的溫度梯度：，容易理解；沿著方向的溫度梯度：，寫成的形式，可能就容易理解了，注意分母正是沿著方向的微小增量。（千萬不要以為，沿著方向的溫度梯度是）；沿著方向的溫度梯度：，寫成的形式，就容易理