一元二次方程根的兩個特性及簡單運用

1、一元二次方程根的兩個特性及簡單運用我們知道方程的解是由方程的系數(shù)（包括常數(shù)項）決定的。因此，一元二次方程的根與其系數(shù)有著密切的聯(lián)系。教材中我們探索了一元二次方程的二次項系數(shù)為1的情況下的兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關系?，F(xiàn)在我們接著來探索一般形式下的一元二次方程的兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關系。例1、先閱讀，再填空解題：(1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x1=6, x2=-2，則x1+x2=4，x1x2=-12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=, x2=3，則x1+x2=，x1x2=；(3)方程3x2+6x-2=0的根是：x1= , x2= .則x1+x2= ，x1x2= ；

2、根據(jù)以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1+x2、x1x2與系數(shù)a、b、c有什么關系？請寫出來你的猜想并說明理由。解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x1= x2=-2。則x1+x2=，x1x2=。能猜出：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1+x2、x1x2。理由如下：根據(jù)求根公式可知，關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為：，所以x1+x2=+x1x2=也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，這

3、個方程的兩個根與系數(shù)的關系是：兩根之和，等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積，等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商下面我們再來探索一元二次方程根的另一個特性。例2、計算并觀察下列一元二次方程根的特點：(1)x2-x-3=0 (2)2x2-8x+5=0 (3)x2-3x+1=0觀察以上（1）(2)(3)的解，你能否猜出：如果關于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m0且m、n、p為有理數(shù)，為無理數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1與x2之間什么關系？請寫出你的猜想并說明理由。解析：(1)方程：x2-x-3=0的根是：x1=,x2=；(2)方程2x2-8x+5=0的根是：x1=,

4、 x2=；(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=, x2=。能猜出：如果關于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m0且m、n、p為有理數(shù)，為無理數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1與x2之間的關系是：兩根均和，即“有理部分”相同，“無理部分”互為相反數(shù)。理由如下：根據(jù)求根公式可知，關于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m0且m、n、p為有理數(shù)，為無理數(shù)）的兩根為：，兩根均為和的形式，即“有理部分”相同，“無理部分”互為相反數(shù)。下面我們運用以上性質(zhì)來巧解一題。例3、如果一個有理系數(shù)的一元二次方程x2+bx+c=0的一個根為，求b+c的值。解析：因為有理系數(shù)的一元二次方程x2+bx+c=0的一個根為，則該方程的另一個根為。再利用根與系