專題六 幾何探究題的解題思路

1、專題六 幾何探究題的解題思路一、方法簡述隨著中考的改革,幾何的綜合題不再是定格在”條件-演繹-結(jié)論”這樣封閉的模式中,而是必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理,或由條件去探索不明確的結(jié)論,或由結(jié)論去探索未給予的條件,或討論存在的各種可能性;探索圖形的運動、變換規(guī)律更是中考的熱點題型.解決此類問題,數(shù)學(xué)思想的合理應(yīng)用起著關(guān)鍵性的作用,一個題目往往需要幾個思想方法交織應(yīng)用.二、思想方法1.分類討論思想分類討論思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，數(shù)學(xué)中的許多問題由于題設(shè)交代籠統(tǒng)，需要進(jìn)行討論，另外由于題意復(fù)雜，包含情況多也需要討論。分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點或差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的方法

2、，其目的是復(fù)雜問題簡單化。正確的分類必須周全，不重不漏；分類的原則是：（1）分類中的每一部分必須是獨立的；（2）一次分類必須是一個標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行。2.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)型結(jié)合就是將數(shù)和有關(guān)的圖形結(jié)合起來，通過對圖形的研究探索數(shù)量之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的方法。利用數(shù)型結(jié)合思想，可以將復(fù)雜的形化為具體的數(shù)，由形索數(shù)，由數(shù)導(dǎo)形，將數(shù)形有機地結(jié)合起來，加強數(shù)形思想的訓(xùn)練，對鞏固數(shù)學(xué)知識，提高問題的解決能力，至關(guān)重要。3.函數(shù)與方程思想函數(shù)關(guān)系是指某個變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，方程是由已知量和未知量構(gòu)成的矛盾的統(tǒng)一體，它是由已知探知未知的橋梁，從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，抓住問題

3、的函數(shù)關(guān)系或等量關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言將函數(shù)或等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式或方程式，在通過函數(shù)的性質(zhì)或方程的理論使問題獲得解決的思想方法，就稱為函數(shù)與方程思想。4.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，也是初中數(shù)學(xué)常用的思想方法之一，是將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)成熟悉問題的思想方法，就是將待解決的問題，通過分析、聯(lián)想、類比等過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化到已解決或比較容易解決的問題上，最終達(dá)到解決問題的目的，解決問題的過程實際上就是轉(zhuǎn)化的過程。轉(zhuǎn)化與化歸原則主要有：熟悉化原則、簡單化原則、直觀性原則、正難則反原則。三、典例分析例1: 閱讀理解：如圖1，在直角梯形中，,點在邊上，當(dāng)時，易證，從而得到.解答下列問

4、題：（1） 模型探究：如圖2，在四邊形中，點在邊上，當(dāng)=時，求證：；（2） 拓展應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，=,于點，以為原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點為線段上一動點（不與端點、重合） 當(dāng)時，求點的坐標(biāo)； 過點作，交軸于點，設(shè)，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(1)證明：如圖2，1=180-B-2 3=180-APD-2 B=APD 1=3 又B=C ABPPCD (2) 如圖3，當(dāng)APD=60時 OB=設(shè)P點坐標(biāo)為（x，0），（0 x8）則BP=2+x，PC=8-xB=C=APD=60 即（2+x）(8-x)= 解得：x=2, =4點P的坐標(biāo)為P（2，0）或P（4，0）

5、解法一：如圖3，過點D作DMx軸于點M則CM=，DM= OM=5()當(dāng)點P在線段OM上設(shè)為P，PM=x-5 (0x5)EOP=DMP=EPD=90OPPM=OEDM 即)= (0x5)() 當(dāng)點P在線段CM上設(shè)為P, PM=x-5 (5x8)1+3=90 2+3=90 1=2 RtEOPRtPMD 即x(x-5)= (5x8)解法二：如圖3，過點D作DMx軸于點M則CM=，DM= OM=5 D(5，)()當(dāng)點P在線段OM上設(shè)為P，PM=5-x (0x5) 連接DE； 即 -x)+ ()=(-y)+5 (0x5)() 當(dāng)點P在線段CM上設(shè)為P, PM=x-5 (5x8) 連接DE 即-5)+ (

6、)=(+y)+5 (5x8)評析:本題通過“閱讀理解模型探究拓展應(yīng)用”三環(huán)節(jié)問題設(shè)置，實際上向?qū)W生展示了一個研究具有一般性問題的較完整的過程：先從這個一般性問題的“特殊”（圖1為直角情形）入手，到“一般”（圖2為非直角情形）；再從“一般”（問題（2）上升到新背景中的“特殊”（問題（2），使學(xué)生經(jīng)歷了“特殊一般特殊”由淺入深、歸納與演繹交替變化的思維過程.試題在第一環(huán)節(jié)中提供了 “易證, ”的啟示，學(xué)生在解破“易證”中的具有廣泛意義的思考或研究方法（即所謂“一般性方法”）后，就能類比解決后續(xù)的各個問題.考查學(xué)生利用類比方法進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)的能力.本題的價值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的精彩設(shè)置，更

7、在于其本身突出地展示著“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性，能掌握并善于運用一般性方法，就顯示出較高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 例2. 已知菱形的邊長為1，等邊兩邊分別交邊、于點、.（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點、分別是邊、的中點，求證：菱形對角線、的交點即為等邊的外心；（2）若點、始終在分別在邊、上移動，記等邊的外心為點.猜想驗證：如圖2，猜想的外心落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當(dāng)面積最小時，過點任作一直線分別交邊于點，交邊的延長線于點，試判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由O 圖1FEDCBA解：（1）證明：如圖1，分別連接、四邊形是菱形,平分，又、分別為、中點、 點

8、即為的外心（2）猜想：外心一定落在直線上證明：如圖2，分別連接、，過點分別作于，于.則 圖2JIPFEDCBA 點是等邊的外心， 點在的平分線上，即點落在直線上分析：證點落在的平分線上，也就證明點到直線、的距離相等，如此便可構(gòu)造兩個直角三角形證明全等。若考慮對角互補，便可聯(lián)想到四點共圓，從而利用圓的性質(zhì)便有下面兩種解法。另解法一：分別連接、 四邊形是菱形,圖3PFEDCBA,點是等邊的外心，, 、四點共圓， 落在的平分線上.即點落在直線上.圖4PFEDCBA另解法二：:分別連接、點是等邊的外心，、 四點共圓.N圖5PMGFEDCBA落在的平分線上.即點落在直線上.為定值2當(dāng)時，面積最小，此時點

9、、分別為、中點連接、交于點，由（1）可得點即為的外心解法一：如圖，設(shè)交于點設(shè)，則，且，是的中點 即圖6PNMGFEDCBA分析：觀察圖形，得到結(jié)論，把1用或代替，把要計算的線段或相關(guān)線段集中到兩個相似的三角形，中，并把長度用字母表示，化簡含字母的代數(shù)式從而得到結(jié)論。依據(jù)此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如圖，連接 點、分別為、的中點， 設(shè)，則 H圖7PNMGFEDCBA 解法三：過點作直線交于點， 解法四：過點作直線交于點，過點作交于.KH圖8PNMGFEDCBA， ， ， 由得： 解法五：如圖，過點作于，于，則圖9JINMPFEDCBA 分析：因為，而正與的面積有關(guān)，其中，也可以看成是將

10、分為和后，計算面積過程中涉及的底邊。這種對所求的結(jié)論作等份變形，找尋解題思路的方法是我們分析問題時常采用的一種重要方法。解法六：如圖4，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)直線的解析式為可求得點的坐標(biāo)為 N圖10yxPMOFEDCBA直線的解析式為求得直線的解析式為令， 令， 評析：本題是一道集閱讀理解、實驗操作、猜想證明、應(yīng)用探究于一體的綜合題型。試題以菱形中的一個等邊三角形旋轉(zhuǎn)作為載體，綜合考查了等邊三角形、菱形兩個基本圖形的性質(zhì)，同時考查了等邊三角形的外心（中心）、三角形的中位線、相似、全等等初中數(shù)學(xué)幾何主干知識；試題源于教材，立足數(shù)學(xué)通性、通法，具有公平性、原創(chuàng)性，既緊扣

11、雙基，又突出能力要求。本題就改變了傳統(tǒng)幾何證明題的模式（已知，求證，證明），將合情推理與演繹推理有機融合在一起，試題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會一種解決問題的策略試驗、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、推廣。其新意主要體現(xiàn)在讓學(xué)生在操作、實驗等嘗試性活動中表現(xiàn)出對基礎(chǔ)知識的理解水平，對圖形的分解與組合的能力，考查了學(xué)生的分析、觀察、猜測、驗證、計算與推理能力。本題結(jié)論開放、方法開放、思路開放，能有效地反映高層次思維，融會了特殊與一般、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想。其中第一道小題在靜態(tài)圖形中考查了特殊點下等邊三角形外心（中心）的的判定，屬于基礎(chǔ)題；第二問為先猜想，因有第一步作鋪墊不難猜測點P落在直線DB上，證點P落

12、在ADC的平分線上，也就證明點P到直線AD、AC的距離相等（結(jié)論轉(zhuǎn)換），如此便可構(gòu)造兩個直角三角形證明相等，思路自然，知識基本，方法核心，屬于能力考查范圍；第2小題第以探究性問題讓學(xué)生先判斷、后推理，重思維，輕計算，對學(xué)生的思維能力要求較高。四、強化訓(xùn)練1. 如圖，在矩形中，點是邊上的動點（點不與點、點重合），過點作直線，交邊于點，再把沿著動直線對折，點的對應(yīng)點是點，設(shè)的長度為，與矩形重疊部分的面積為（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)取何值時，點落在矩形的邊上？（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；DQCBPRA第1題圖BADC（備用圖1）BADC（備用圖2）2.如圖1，在中，是邊上一點，是在邊上的一個動點（與點

13、、不重合），與射線相交于點。（1）如圖1，如果點是邊的中點，求證：；（2）如圖2，如果，求的值；（3）如果，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；3.四邊形是矩形，點是射線上的一個動點（點不與點重合），是點關(guān)于的對稱點，射線交射線于，設(shè)，的面積為.(1)如圖1，當(dāng)點在邊上運動時，試用的代數(shù)式表示，并寫出的取值范圍；（2）當(dāng)點在射線上運動時，判斷的面積是否為定值，若是定值，請求出該定值；若不是，請用的代數(shù)式表示，并寫出的取值范圍.4. 已知：在矩形中，四邊形的三個頂點、分別在矩形邊、上，.（1）如圖1，當(dāng)四邊形為正方形時，求的面積；（2）如圖2，當(dāng)四邊形為菱形，且時，求的面積（用含的代數(shù)式表

14、示）；（3）在（2）的條件下，的面積能否等于？請說明理由.5.已知，是等腰直角三角形，是線段上一點，以為邊，在的右側(cè)作正方形直線與直線交于點，連接（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，請在圖中作出相應(yīng)的圖形，猜測線段與線段的關(guān)系，并說明理由；ABCFDEG圖1ABCD圖2（3）連接，判斷線段為何值時，是等腰三角形6有公共頂點大小不等的正方形與正方形，兩個正方形分別繞著點旋轉(zhuǎn)至下列圖形的位置，其中(.(1) 如圖1，連接、，判斷線段與的數(shù)量及位置之間的關(guān)系，并說明理由；（2）連接、，過點的直線垂直于交于.如圖2，求證與的面積相等；如圖3，試判斷是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不

15、是，請說明理由.7. （1）如圖1，在中，點在邊上（不與點重合），過作于，連接，為的中點，連接.求證：是等腰直角三角形；若，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）如果把圖1中的繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其它的條件不變，那么是否還是等腰直角三角形？請說明理由.8.如圖1，在菱形中，=4，是邊上的點，（），點在邊上，、分別與相交于、兩點，當(dāng)繞著點旋轉(zhuǎn)時，點、也隨之運動.請解答下列問題；（1）求證：是等邊三角形；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)為何值時，四邊形的周長最?。壳笏倪呅沃荛L的最小值；圖 1圖 2aQPNMDCBAQPNMDCBAa（3）如圖2，當(dāng)時，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并

16、說明理由.9.如圖，在中，過點作，點、分別是射線、線段上的動點，且，過點作交線段于，交于，設(shè)的面積為，.（1）用的代數(shù)式表示；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）連接，若與相似，求的長.10.如圖，點、都是斜邊上的動點，點從 向運動（不與點重合），點從向運動，點，分別是點，以，為對稱中心的對稱點， 于交于點當(dāng)點到達(dá)頂點時，、同時停止運動設(shè)的長為，的面積為（1）求證：；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式并求的最大值；（3）當(dāng)為何值時，為等腰三角形？11.（1）在正方形中，點在延長線上，且，為邊上一點，為的中點，點在直線上（點、不重合）.如圖1，點、重合，為的中點，試探究與的位置關(guān)系及的值， 并

17、證明你的結(jié)論； 如圖2，點、不重合，你在中得到的兩個結(jié)論是否成立， 若成立，請加以證明； 若不成立， 請說明理由； （2）如圖3，如果把（1） 中的“正方形”改為“矩形”，其他條件不變，那么你在中得到的兩個結(jié)論是否成立，請直接寫出你的結(jié)論.12. 如圖，在中，點到兩邊的距離相等，且（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷ABP的形狀，并說明理由；（2）設(shè)，試用、的代數(shù)式表示的周長和面積；（3）設(shè)與交于點，試探索當(dāng)邊、的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由專題六 幾何探究題1.解：(1)PQBD CQP=BDC在RtBDC種，

18、C=90 tanBDC= CQP=BDC=30(2)如備用圖1，點R落在AB上。CPQ=90-CQP=60RPQ=CPQ=60RPB=60BP=PR=CP=則 （3）有兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，如備用圖2。PB= PN=2PB=RN=2.（1）證明：連接CD如圖1.ABC是直角三角形，C=90，AC=BC 點D是AB的中點CDAB,CD=DB FCD=B=45BDF=90-FDCEDF=90CDE=90-FDC BDF=CDE CDEBDF DE=DF（2）過D作DGAB交AC于G如圖2.則AD=DG，EGD=B=45又EDG=FDBGDEBDF （3）AB=ADDB=12 DG=AD= BD=A

19、G=有兩種情況：如圖2，當(dāng)時。由GDEBDF得： 如備用圖，當(dāng)時。由GDEBDF得： 3.解：（1）如圖1，當(dāng)時 四邊形是矩形 當(dāng)時 （2）為定值，分三種情況：當(dāng)時，如圖1：方法一： 由（1）得： 方法二： = = 由（1）得： 當(dāng)時，點、重合。 當(dāng)時，如圖2：方法一：四邊形是矩形 方法二：四邊形是矩形 又 綜上所述：為定值。4解：（1）如圖1，過點G作于M. 在正方形EFGH中， . 又， AHEBEF. 同理可證：MFGBEF. GM=BF=AE=2. FC=BC-BF=10. （2）如圖2，過點G作于M.連接HF. 又AHEMFG. GM=AE=2. （3）GFC的面積不能等于2. 若則

20、12- a =2，a=10.此時，在BEF中， 在AHE中，. AHAD.即點H已經(jīng)不在邊AB上.故不可能有 解法二：GFC的面積不能等于2. 點H在AD上，菱形邊長EH的最大值為.BF的最大值為. 又因為函數(shù)的值隨著a的增大而減小，所以的最小值為. 又，GFC的面積不能等于2. 5解：（1）四邊形ADEF是正方形， ABC是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90 BADCAF，ABDACF （2）作圖如右： 猜測：CFBD，CFBD 理由是：同（1）可得ABDACFCFBD，ACFABDACB45FCB90，CFBD （3）連接GF AE是正方形ADEF的對角線 FAEDAE4

21、5 又ADAF，AGAGAFGADG FGDG 若RtCFG是等腰三角形，則CGCF 設(shè)CFx，得CGCFBDx如圖1，當(dāng)BD1時，F(xiàn)GDG22x在RtCFG中，根據(jù)勾股定理得 FG 2CG 2CF2（22x）22x2 解得：x121（舍去），x22 如圖2，當(dāng)BD1時，CGBD FGDGBC2在RtCFG中，根據(jù)勾股定理得 FG 2CG 2CF2，222x2解得：x1（舍去），x2 綜上所得，當(dāng)BD等于2或時，CFG是等腰三角形 6. 解：（1） 理由： 方法一：四邊形與四邊形都是正方形 可以看作由順時針旋轉(zhuǎn)得到的（或可以看作由逆時針旋轉(zhuǎn)得到的），故，方法二：連接如圖.證得，= (2) 方法

22、一：過作,過.則 ，又 ，方法二：過作交直線于. 則， 同理：又 又 所以為定值方法三：過作交.，, 又 同理可證： 即， 所以為定值方法四：過作直線于，過作直線于， 又 同理可證: 又， 又 由得， ， 又 所以為定值7. （1）方法一：如圖1-1.， 又 即是等腰直角三角形方法二：如圖1-2.把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，點落在點處，連接. 則， ， 四邊形是矩形. 又 點是矩形的中心 點、在同一直線上.且 又 所以是等腰直角三角形方法三：如圖1-2.延長到，使得，連接、.于 又 四邊形是矩形. 又， ， 所以是等腰直角三角形方法一：在中 又， （）方法二：如圖1-3.過點作于.， 又

23、（）(2)方法一：如圖2-1.把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，點落在點處，連接、.則， ， ， 四邊形是平行四邊形.又 點是平行四邊形的中心 點、在同一直線上.且 又， 所以是等腰直角三角形方法二：如圖2-2. 延長到，使得，連接、.則四邊形是平行四邊形. ，設(shè)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角則， 又 ， 所以是等腰直角三角形8.（1）連接AC如圖1.四邊形ABCD是菱形，BAD=120 ACB=ABC=CAB=ACN=60AC=AB 又MAN=60 BAM=CAN=60-MAN BAMCANAM=AN AMN是等邊三角形(2) BAMCAN BM=CN CM+CN=BC=AB=4 四邊形AMCN的周長=AM

24、+CM+CN+AN四邊形AMCN的周長=2AM+4 當(dāng)AM最小時，四邊形AMCN的周長最小即 當(dāng)AMBC，=30時，四邊形AMCN的周長最小. 此時AMB=90，BAM=30 BM=AB=2 四邊形AMCN的周長最小值為：（3）理由：方法一:把ABM繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使得點B與點D重合，點P落在點處如圖.則BP=D=2DQ，DA=PBA=ADQ=30 DQ=60，連接Q，記D的中點為T，連接TQ. 又TD=DQ= DTQ是等邊三角形 TQ=TD=TDQ=QT=30，DQT=60 DQ=90 Q=3 PAQ=60，BAD=120PAB+DAQ=60AD=PAB AQ=PAQ=60又A=AP，AQ=AQ AQPAQ PQ=Q 方法二：作點D關(guān)于直線AN的對稱點，連接Q、P、A，取P的中點T，連接QT.則DQ=Q、AD= A.證APBAP得P=BP，其它步驟與方法一類似。9.解（1）如圖2， ， 即.，（2）如圖3，在等腰中， 則邊上的高為.所以.由 得 即所以. 又與是同高三角形，所以于是，（3）如圖4， 又 是等腰三角形與有一個公共的，而且只存在的情況。當(dāng)時，也是等腰三角形，解得：10.（1）A、D關(guān)于點Q成