2018年湖南中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編：幾何綜合(解析版)

1、2018年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編（湖南專(zhuān)版）幾何綜合參考答案與試題解析1（2018長(zhǎng)沙）如圖，在ABC中，AD是邊BC上的中線，BAD=CAD，CEAD，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BC=8，AD=3（1）求CE的長(zhǎng)；（2）求證：ABC為等腰三角形（3）求ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離（1）解：AD是邊BC上的中線，BD=CD，CEAD，AD為BCE的中位線，CE=2AD=6；（2）證明：CEAD，BAD=E，CAD=ACE，而B(niǎo)AD=CAD，ACE=E，AE=AC，而AB=AE，AB=AC，ABC為等腰三角形（3）如圖，連接BP、BQ、CQ，在RtABD中，AB=5，設(shè)P的半

2、徑為R，Q的半徑為r，在RtPBD中，（R3）2+42=R2，解得R=，PD=PAAD=3=，SABQ+SBCQ+SACQ=SABC，r5+r8+r5=38，解得r=，即QD=，PQ=PD+QD=+=答：ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為2（2018株洲）如圖，在RtABM和RtADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD，其中AM=AN（1）求證：RtABMRtAND；（2）線段MN與線段AD相交于T，若AT=，求tanABM的值解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL）（2）由RtABMRtAND易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=

3、90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=，RtABMtanABM=3（2018長(zhǎng)沙）我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”（1）在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有菱形，正方形；在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CBCD，則該四邊形不是“十字形”（填“是”或“不是”）（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的O上按逆時(shí)針?lè)较蚺帕械乃膫€(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E，ADBCDB=ABDCBD，當(dāng)6AC2+BD27時(shí)，求OE的取值范圍；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0，c0）與x軸交

4、于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，ac），記“十字形”ABCD的面積為S，記AOB，COD，AOD，BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4求同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的拋物線的解析式；=；=；“十字形”ABCD的周長(zhǎng)為12解：（1）菱形，正方形的對(duì)角線互相垂直，菱形，正方形是：“十字形”，平行四邊形，矩形的對(duì)角線不一定垂直，平行四邊形，矩形不是“十字形”，故答案為：菱形，正方形；如圖，當(dāng)CB=CD時(shí)，在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），BAC=DAC，AB=AD，ACBD，當(dāng)CBCD時(shí)，四邊形ABCD不是“十字形”，故答案為：不是；（2）ADB+C

5、BD=ABD+CDB，CBD=CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180AED=180AEB，AED=AEB=90，ACBD，過(guò)點(diǎn)O作OMAC于M，ONBD于N，連接OA，OD，OA=OD=1，OM2=OA2AM2，ON2=OD2DN2，AM=AC，DN=BD，四邊形OMEN是矩形，ON=ME，OE2=OM2+ME2，OE2=OM2+ON2=2（AC2+BD2），6AC2+BD27，2OE22，OE2，（OE0）；（3）由題意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，ac），a0，c0，OA=，OB=c，OC=，OD=ac，AC=，BD=acc，S=ACBD=（ac+c），

6、S1=OAOB=，S2=OCOD=，S3=OAOD=，S4=OBOC=，=+， =+，+=+，=2，a=1，S=c，S1=，S4=，S=S1+S2+2，c=+2，=c，=，b=0，A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，c），四邊形ABCD是菱形，4AD=12，AD=3，即：AD2=90，AD2=c2c，c2c=90，c=9或c=10（舍），即：y=x294（2018湘潭）如圖，在正方形ABCD中，AF=BE，AE與DF相交于點(diǎn)O（1）求證：DAFABE；（2）求AOD的度數(shù)（1）證明：四邊形ABCD是正方形，DAB=ABC=90，AD=AB，在DAF和ABE中，DAFABE（SAS），

7、（2）由（1）知，DAFABE，ADF=BAE，ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90，AOD=180（ADF+DAO）=905（2018株洲）如圖，已知AB為O的直徑，AB=8，點(diǎn)C和點(diǎn)D是O上關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，連接OC、AC，且BOC90，直線BC和直線AD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作直線CG與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，與直線AD相交于點(diǎn)G，且GAF=GCE（1）求證：直線CG為O的切線；（2）若點(diǎn)H為線段OB上一點(diǎn)，連接CH，滿(mǎn)足CB=CH，CBHOBC；求OH+HC的最大值解：（1）由題意可知：CAB=GAF，AB是O的直徑，ACB=90OA=OC，CAB=OCA，OCA+OC

8、B=90，GAF=GCE，GCE+OCB=OCA+OCB=90，OC是O的半徑，直線CG是O的切線；（2）CB=CH，CBH=CHB，OB=OC，CBH=OCB，CBHOBC由CBHOBC可知：AB=8，BC2=HBOC=4HB，HB=，OH=OBHB=4CB=CH，OH+HC=4+BC，當(dāng)BOC=90，此時(shí)BC=4BOC90，0BC4，令BC=xOH+HC=（x2）2+5當(dāng)x=2時(shí)，OH+HC可取得最大值，最大值為56（2018衡陽(yáng)）如圖，O是ABC的外接圓，AB為直徑，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEAC分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F（1）求證：EF是O的切線；（2）若AC=4，

9、CE=2，求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留）解：（1）如圖，連接OD，OA=OD，OAD=ODA，AD平分EAF，DAE=DAO，DAE=ADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O的切線；（2）如圖，作OGAE于點(diǎn)G，連接BD，則AG=CG=AC=2，OGE=E=ODE=90，四邊形ODEG是矩形，OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，DOG=90，DAE=BAD，AED=ADB=90，ADEABD，=，即=，AD2=48，在RtABD中，BD=4，在RtABD中，AB=2BD，BAD=30，BOD=60，則的長(zhǎng)度為=7（2018湘潭）如圖，AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，半徑COAO，點(diǎn)M是上的動(dòng)點(diǎn)

10、，且不與點(diǎn)A、C、B重合，直線AM交直線OC于點(diǎn)D，連結(jié)OM與CM（1）若半圓的半徑為10當(dāng)AOM=60時(shí)，求DM的長(zhǎng)；當(dāng)AM=12時(shí)，求DM的長(zhǎng)（2）探究：在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）當(dāng)AOM=60時(shí)，OM=OA，AMO是等邊三角形，A=MOA=60，MOD=30，D=30，DM=OM=10過(guò)點(diǎn)M作MFOA于點(diǎn)F，設(shè)AF=x，OF=10x，AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122x2=102（10x）2x=，AF=，MFOD，AMFADO，AD=MD=ADAM=（2）當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)，連接BC，C是的中點(diǎn)，B=45，四

11、邊形AMCB是圓內(nèi)接四邊形，此時(shí)CMD=B=45，當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)，連接BC，由圓周角定理可知：CMD=B=45綜上所述，CMD=45 8（2018衡陽(yáng)）如圖，在RtABC中，C=90，AC=BC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設(shè)四邊形QNCP的面積為S，求S關(guān)

12、于t的函數(shù)關(guān)系式解：（1）如圖1中，連接BP在RtACB中，AC=BC=4，C=90，AB=4點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，BP=BQ，AQ=t，CP=t，BQ=4t，PB2=42+t2，（4t）2=16+t2，解得t=84或8+4（舍棄），t=（84）s時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上（2）如圖2中，當(dāng)PQ=QA時(shí)，易知APQ是等腰直角三角形，AQP=90則有PA=AQ，4t=t，解得t=如圖3中，當(dāng)AP=PQ時(shí)，易知APQ是等腰直角三角形，APQ=90則有：AQ=AP，t=（4t），解得t=2，綜上所述：t=s或2s時(shí)，APQ是以PQ為腰的等腰三角形（3）如圖4中，連接QC，作QEAC于E

13、，作QFBC于F則QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4S=SQNC+SPCQ=CNQF+PCQE=t（QE+QF）=2t（0t4）9（2018邵陽(yáng)）如圖1所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接OE，EF，F(xiàn)G，GO，GE（1）證明：四邊形OEFG是平行四邊形；（2）將OGE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OMN，如圖2所示，連接GM，EN若OE=，OG=1，求的值；試在四邊形ABCD中添加一個(gè)條件，使GM，EN的長(zhǎng)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終相等（不要求證明）解：（1）如圖1，連接AC，點(diǎn)O、E、F、G分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，OEAC、O

14、E=AC，GFAC、GF=AC，OE=GF，OE=GF，四邊形OEFG是平行四邊形；（2）OGE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OMN，OG=OM、OE=ON，GOM=EON，=，OGMOEN，=添加AC=BD，如圖2，連接AC、BD，點(diǎn)O、E、F、G分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，OG=EF=BD、OE=GF=BD，AC=BD，OG=OE，OGE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OMN，OG=OM、OE=ON，GOM=EON，OG=OE、OM=ON，在OGM和OEN中，OGMOEN（SAS），GM=EN10（2018常德）如圖，已知O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D在圓上，在CD的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，使DF=DA，

15、AEBC交CF于E（1）求證：EA是O的切線；（2）求證：BD=CF證明：（1）連接OD，O是等邊三角形ABC的外接圓，OAC=30，BCA=60，AEBC，EAC=BCA=60，OAE=OAC+EAC=30+60=90，AE是O的切線；（2）ABC是等邊三角形，AB=AC，BAC=ABC=60，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，ADF=ABC=60，AD=DF，ADF是等邊三角形，AD=AF，DAF=60，BAC+CAD=DAF+CAD，即BAF=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF11（2018岳陽(yáng)）已知在RtABC中，BAC=90，CD為ACB的平分線，將ACB沿CD所在的直線對(duì)折

16、，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，連結(jié)AB，BB，延長(zhǎng)CD交BB于點(diǎn)E，設(shè)ABC=2（045）（1）如圖1，若AB=AC，求證：CD=2BE；（2）如圖2，若ABAC，試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）；（3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（+45），得到線段FC，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O，設(shè)COE的面積為S1，COF的面積為S2，求（用含的式子表示）解：（1）如圖1中，B、B關(guān)于EC對(duì)稱(chēng)，BBEC，BE=EB，DEB=DAC=90，EDB=ADC，DBE=ACD，AB=AC，BAB=DAC=90，BABCAD，CD=BB=2BE（2）如圖2中，結(jié)論：CD=2BEtan2理由：由（1）可

17、知：ABB=ACD，BAB=CAD=90，BABCAD，=，=，CD=2BEtan2（3）如圖 3中，在RtABC中，ACB=902，EC平分ACB，ECB=（902）=45，BCF=45+，ECF=45+45+=90，BEC+ECF=180，BBCF，=sin（45），=，=sin（45）12（2018張家界）如圖，點(diǎn)P是O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)M為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），射線PM與O交于點(diǎn)N（不與M重合）（1）當(dāng)M在什么位置時(shí)，MAB的面積最大，并求出這個(gè)最大值；（2）求證：PANPMB解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在的中點(diǎn)處時(shí)，MAB面積最大，此時(shí)OMAB，OM=AB=4=2，S

18、ABM=ABOM=42=4；（2）PMB=PAN，P=P，PANPMB13（2018常德）已知正方形ABCD中AC與BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BD上，作直線AM交直線DC于E，過(guò)D作DHAE于H，設(shè)直線DH交AC于N（1）如圖1，當(dāng)M在線段BO上時(shí)，求證：MO=NO；（2）如圖2，當(dāng)M在線段OD上，連接NE，當(dāng)ENBD時(shí)，求證：BM=AB；（3）在圖3，當(dāng)M在線段OD上，連接NE，當(dāng)NEEC時(shí)，求證：AN2=NCAC解：（1）正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，OD=OA，AOM=DON=90，OND+ODN=90，ANH=OND，ANH+ODN=90，DHAE，DHM=90，ANH+OA

19、M=90，ODN=OAM，DONAOM，OM=ON；（2）連接MN，ENBD，ENC=DOC=90，NEC=BDC=45=ACD，EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，OD=OD，DM=CN=EN，ENDM，四邊形DENM是平行四邊形，DNAE，DENM是菱形，DE=EN，EDN=END，ENBD，END=BDN，EDN=BDN，BDC=45，BDN=22.5，AHD=90，AMB=DME=90BDN=67.5，ABM=45，BAM=67.5=AMB，BM=AB；（3）設(shè)CE=a（a0）ENCD，CEN=90，ACD=45，CNE=45=ACD，EN=CE=a，CN=a，設(shè)DE=b（b0）

20、，AD=CD=DE+CE=a+b，根據(jù)勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）的方法得，OAM=ODN，OAD=ODC=45，EDN=DAE，DEN=ADE=90，DENADE，a=b（已舍去不符合題意的）CN=a=b，AC=（a+b）=b，AN=ACCN=b，AN2=2b2，ACCN=bb=2b2AN2=ACCN14（2018郴州）已知BC是O的直徑，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=AD，AE是O的弦，AEC=30（1）求證：直線AD是O的切線；（2）若AEBC，垂足為M，O的半徑為4，求AE的長(zhǎng)解：（1）如圖，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=30，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

21、理得，BAD=120，連接OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，點(diǎn)A在O上，直線AD是O的切線；（2）連接OA，AEC=30，AOC=60，BCAE于M，AE=2AM，OMA=90，在RtAOM中，AM=OAsinAOM=4sin60=2，AE=2AM=415（2018張家界）在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE=AD，DFAE，垂足為F（1）求證：DF=AB；（2）若FDC=30，且AB=4，求AD證明：（1）在矩形ABCD中，ADBC，AEB=DAF，又DFAE，DFA=90，DFA=B，又AD=EA，ADFEAB，DF=AB（2）ADF+FDC=9

22、0，DAF+ADF=90，F(xiàn)DC=DAF=30，AD=2DF，DF=AB，AD=2AB=816（2018郴州）在矩形ABCD中，ADAB，點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)（不含C，D兩端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PFBC，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F（1）如圖1，將PDF沿對(duì)角線BD翻折得到QDF，QF交AD于點(diǎn)E求證：DEF是等腰三角形；（2）如圖2，將PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到PDF，連接PC，F(xiàn)B設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0180）若0BDC，即DF在BDC的內(nèi)部時(shí)，求證：DPCDFB如圖3，若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，DFB能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí)tanDBF的值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由翻折可知：DFP=DFQ

23、，PFBC，DFP=ADF，DFQ=ADF，DEF是等腰三角形，（2）若0BDC，即DF在BDC的內(nèi)部時(shí)，PDF=PDF，PDFFDC=PDFFDC，PDC=FDB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCB，DPCDFB當(dāng)FDB=90時(shí)，如圖所示，DF=DF=BD，=，tanDBF=，當(dāng)DBF=90，此時(shí)DF是斜邊，即DFDB，不符合題意，當(dāng)DFB=90時(shí)，如圖所示，DF=DF=BD，DBF=30，tanDBF= 17（2018永州）如圖，線段AB為O的直徑，點(diǎn)C，E在O上， =，CDAB，垂足為點(diǎn)D，連接BE，弦BE與線段CD相交于點(diǎn)F（1）求證：CF=BF；（2

24、）若cosABE=，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使BM=4，O的半徑為6求證：直線CM是O的切線證明：（1）延長(zhǎng)CD交O于G，如圖，CDAB，=，=，=，CBE=GCB，CF=BF；（2）連接OC交BE于H，如圖，=，OCBE，在RtOBH中，cosOBH=，BH=6=，OH=，=， =，=，而HOB=COM，OHBOCM，OCM=OHB=90，OCCM，直線CM是O的切線18（2018永州）如圖，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以線段AB為邊向外作等邊ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線段AD于點(diǎn)F（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）若AB=6，求平行四邊形BCF

25、D的面積（1）證明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60在等邊ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60E為AB的中點(diǎn)，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC在ABC中，ACB=90，E為AB的中點(diǎn)，CE=AB，BE=ABCE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60FCBD又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC四邊形BCFD是平行四邊形（2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6，BC=AB=3，AC=BC=3，S平行四邊形BCFD=3=919（2018懷化）已知：如圖，AB是O的直徑，AB

26、=4，點(diǎn)F，C是O上兩點(diǎn)，連接AC，AF，OC，弦AC平分FAB，BOC=60，過(guò)點(diǎn)C作CDAF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)D（1）求扇形OBC的面積（結(jié)果保留）；（2）求證：CD是O的切線解：（1）AB=4，OB=2COB=60，S扇形OBC=FAC=ACOADOC，CDAF，CDOCC在圓上，CD是O的切線20（2018懷化）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，AE與BE分別為DAB和CBA的平分線（1）請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件AD=BC，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，并以AB為直徑作O（要求：尺規(guī)作圖，

27、保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）在（2）的條件下，O交邊AD于點(diǎn)F，連接BF，交AE于點(diǎn)G，若AE=4，sinAGF=，求O的半徑解：（1）當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，理由為：證明：ADBC，AD=BC，四邊形ABCD為平行四邊形；故答案為：AD=BC；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE與BE分別為DAB與CBA的平分線，EAB+EBA=90，AEB=90，AB為圓O的直徑，點(diǎn)F在圓O上，AFB=90，F(xiàn)AG+FGA=90，AE平分DAB，F(xiàn)AG=EAB，AGF=ABE，sinABE=sinAGF=，AE=4，AB=5，則圓O的半徑為2.521（2018婁底）如圖，C、D是以AB為直徑的O上的點(diǎn)， =，弦CD交AB于點(diǎn)E（1）當(dāng)PB是O的切線時(shí)，求證：PBD=DAB；（2）求證：BC2CE2=CEDE；（3）已知OA=4，E是半徑OA的中點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)解：（1）AB是O的直徑，ADB=90，即BAD+AB