第1節(jié) 集合及其運算

1、2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)集合與常用邏輯用語第一章第1節(jié)集合及其運算1磨劍課前自學(xué)目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學(xué)高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄 4最新考綱考向分析1. 了解集合的含義,體會元素與集合的屬于關(guān)系.2. 能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.3. 理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.4. 在具體情境中,了解全集與空集的含義.5. 理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.6. 理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.7. 能使用韋恩(Venn)圖

2、表達集合間的基本關(guān)系及進行集合的基本運算1. 利用集合的含義與表示求集合的元素或元素的個數(shù).2. 根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍.3. 考查數(shù)集的交集、并集及補集運算.4. 常運用數(shù)軸或韋恩圖及數(shù)形結(jié)合思想來求解含未知參數(shù)的集合問題.5. 以集合為載體,結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識考查新概念、新性質(zhì)、新法則的創(chuàng)新問題的應(yīng)用高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、集合與元素1.集合中元素的三個特征:確定性、 互異性、 無序性.2.集合與元素的關(guān)系是 屬于或 不屬于 的關(guān)系，用符號“示.”或“”表3.集合的表示法: 列舉法圖示法 .、 描述法、4.常見數(shù)集的記法5集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)

3、集符號NN*(N+)ZQR高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、集合間的基本關(guān)系6關(guān)系自然語言符號語言Venn 圖子集集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 xA,則 xB)AB(或 BA)真子集集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B中至少有一個元素不在集合 A 中AB(或 BA)集合相等集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B互為子集A=B 高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄三、集合的基本運算 7運算自然語言符號語言Venn 圖交集由屬于集合 A 且屬于集合B 的所有元素組成的集合AB=x|xA且 xB并集由所有屬于集合 A 或?qū)儆诩?B 的元素組成的集合AB=x|xA或 x B補集

4、由全集 U 中不屬于集合 A的所有元素組成的集合UA=x|xU 且 xA高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄C AC.1.AB,BC AC;AB,B2.含有 n 個元素的集合 A=a1,a2,an有真子集,有 2n-2個非空真子集.個子集,有2n-1個2n 3.A= A,AA= A,AB= BA,A(AB),B(AB).4.A=,AA=A,AB=BA,AB A,AB B.8高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄5.AB=ABA=B .6.ABAB= AAB= B(UA)(UB)A(UB)=.7.(UA)(UB)= U(A,(UA)(UB)= U(AB).UA)= A,8.A(UA)= U,A(A=

5、A.UA)=,U(AA=,9高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)任何一個集合都至少有兩個子集.(2)集合x2+x,0中,實數(shù) x 可取任意值.(3)x|y=x2=y|y=x2=(x,y)|y=x2.(4) 直線 y=x+3 與 y=-2x+6 的交點組成的集合是1,4.(5) 對于任意兩個集合 A,B,關(guān)系(AB)(AB)恒成立.()答案解析10目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識解析(1)錯誤.空集只有一個子集,就是它本身,故該說法是錯誤的.(2) 錯誤.由元素的互異性知 x2+x0,即 x0 且

6、x-1.(3) 錯誤.三個集合分別表示函數(shù) y=x2 的定義域(-,+), 值域0,+)以及拋物線 y=x2 上的點集.(4) 錯誤.兩直線交點組成的集合為(1,4).(5)正確.因為(AB)A,而 A(AB),所以(AB)(AB)恒成立.11目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【基礎(chǔ)自測】1.(廣東省韶關(guān)市 2020 屆高考模擬測試)已知集合 A=x|0x3,B=x|(x-2)(x-4)0,則集合 AB=(A.x|0x2 C.x|2x4D).B.x|0x4 D.x|2x3解析選D.因為 B=x|2x4,A=x|0x3,所以 AB=x|2x3.故答案解析12目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識2.

7、(四川省攀枝花市 2020 屆高三第二次統(tǒng)一考試)已知集合 A=-1,2,B=x|ax-2=0,若 BA,則由實數(shù) a 組成的集合為().DA.-2B.1C.-2,1D.-2,1,0集合 A=-1,2,B=x|ax-2=0,BA,B=或 B=-1或解析B=2,a=0,1,-2.故選 D. 答案解析13目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識3.(重慶南開中學(xué) 2020 屆高三第四次教學(xué)檢測)已知集合 A=x|0log2(x-1)2,集合 B=x|x2-3x0,則 AB=(C).A.(2,3)B.(2,3C.0,5)D.(0,5解析A=x|0log2(x-1)2=x|1x-14=x|2x5,B=x|x

8、2-3x0=x|0x3,則 AB=0,5).故選 C. 答案解析14目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識RB)= x|-3x-1.4.設(shè)全集為 R,集合 A=x|x2-90,B=x|-1x5,則 A(解析由題意得 A=x|x2-90=x|-3x3,B=x|-15,A(x5=x|-3x-1.RB)=x|-3x3x|x-1 或 答案解析15目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【易錯檢測】5.(山東省淄博市 2020 屆高三階段性診斷考試)已知集合 A=xZ|x2-x-20,則A.0ZA=(CB.1).C.0,1D.-1,0,1,2解析由集合 A=xZ|x2-x-20,解得 A=xZ|x2 或 x-1,

9、ZA=0,1.故選 C. 答案解析16目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識6.(湖北省荊門市 2020 屆高三模擬)已知集合 M=x|x22,則下列結(jié)論正確的是(D).B.M(RN)=D.M(RN)A.MN=NC.M(RN)=R集合 M=x|-1x1.選項 A 中,MN=N,A 錯誤;解析RN=y|y1,所以 M(RN)=x|-1x1，B 錯誤;選項 B 中, 選項 C 中,M(RN)=x|x1R,C 錯誤;選項 D 中,M=x|-1x1,RN=y|y1,所以 M(RN),D 正確.故選 D.答案解析 1718目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄考點 1集合的

10、基本概念 例 1(1)若集合 A=xR|ax2-3x+2=0中只有一個元素,則 a=().DA.9B.9D.0 或9C.0288(2)(江西省南昌市 2020 屆高三質(zhì)量檢測)已知集合 A=1,2,3,集合B=z|z=x-y,xA,yA,則集合 B 中元素的個數(shù)為().BA.4B.5C.6D.7答案解析19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)由題意,對方程 ax2-3x+2=0 的二次項系數(shù)分 a=0 與 a0 兩種情況進行討論.(2)根據(jù)集合 B 中的元素與 A 中的元素之間的關(guān)系,求出 x-y 的值是本題解答的關(guān)鍵.解析(1)若集合 A 中只有一個元素,則方程 ax2-3x+2=0 只

11、有一個實數(shù)根.當a=0 時,x=2,符合題意;當 a0 時,由 =(-3)2-8a=0,得 a=9.a 的取值為 0 或9.388(2)A=1,2,3,B=z|z=x-y,xA,yA,x=1,2,3,y=1,2,3.當 x=1 時,x-y=0,-1,-2當 x=2 時,x-y=1,0,-1;當 x=3 時,x-y=2,1,0.綜上所述,x-y=-2,-1,0,1,2,即 B=-2,-1,0,1,2,集合 B有 5 個元素.故選 B.20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：1.在研究集合問題時,首先要搞清楚集合的類型,是數(shù)集、點集,還是其他類型的集合.2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確

12、定集合中元素的個數(shù)時,要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性. 21考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 1】1.(湖南省長沙市 2020 屆高考一模)設(shè)集合 A=-2,-1,0,1,2,B=-1,0,1,22C= (x,y) +1,xA,yB ,則集合 C 中元素的個數(shù)為().A43A.11B.9C.6D.4解析x 從-1,0,1 中任選 1 個,y 從-1,0,1 中任選 1 個,有 9 種選法;當 x=-2 或x=2 時,y=0,有 2 種選法.共有 11 種選法,C 中元素有 11 個.故選 A. 答案解析22考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.設(shè)集合 A=1,2,3,B=4,5,M=x

13、|x=a+b,aA,bB,則 M 中元素的個數(shù)為(A.3B).B.4C.5D.6解析a1,2,3,b4,5,M=5,6,7,8,即 M 中元素的個數(shù)為 4.故選 B. 答案解析23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2集合間的基本關(guān)系例 2 (1)(天津市南開中學(xué) 2020 屆高三模擬)已知集合 M=-1,0,1,N=x|x=ab,a,bM 且 ab ,則集合 M 與集合 N 的關(guān)系是().CD.MN=A.M=NB.MNC.NM(2)(山東省臨沂市 2020 屆高考模擬考試)已知集合 A=x|x2x+2,B=x|xa,若 AB,則實數(shù) a 的取值范圍為(C).A.(-,-1B.(-,2C.2,+

14、)D.-1,+)答案解析24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)根據(jù)題意,分 a=-1,a=0,a=1 三種情況進行討論,先分析 b 的值,再求出 x 的值,即得集合 N,從而可判斷出集合 M、N 的關(guān)系.(2)先解不等式,化簡集合 A,再根據(jù)集合間的包含關(guān)系,結(jié)合數(shù)軸求解. 解析(1)根據(jù)題意,當 a=-1 時,b=0 或 1,x=0 或-1;當 a=0 時,無論 b 取何值都有 x=0;當 a=1 時,b=-1 或 0,x=-1 或 0.綜上所述,N=0,-1,則有 N故選 C.(2)因為 A=x|x2x+2=x|-1x2,B=x|x0,B=x|x0=x|x3,因為 BA,所以 a1.

15、故選 D. 答案解析26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：1.判斷兩集合之間的關(guān)系:當兩集合不含參數(shù)時,可直接利用數(shù)軸、圖示法進行判斷;當集合中含有參數(shù)時,需要對滿足條件的參數(shù)進行分類討論或采用列舉法.2. 根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系,常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題.3. 由于空集是任何集合的子集,故在涉及集合間的關(guān)系時,必須優(yōu)先考慮空集的情況,否則會造成漏解.27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 2】1.(安徽省宣城市 2020 屆高三第二次調(diào)研測試)已知集合 A=x|3x-a0,B=x|log2(

16、x-2)1,若 BA,則實數(shù) a 的取值范圍是().BA.(-,6)B.(-,6C.(-,12)D.(12,+) 解析3x-a0,x,A=,+ .log2(x-2)1=log22,0x-22,2x4,33B=(2,4.BA, 2,a6,實數(shù) a 的取值范圍是(-,6.故選 B.3 答案解析28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知集合 A=x|x2-2021x+20200,B=x|xa,若 AB,則實數(shù) a 的取值范圍是 2020,+).解析由 x2-2021x+20200,解得 1x2020,故 A=x|1x2020.又 B=x|xa,AB,如圖所示,所以實數(shù) a 的取值范圍是2020,+)

17、. 答案解析29考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點3集合的基本運算考向 1:集合的交集、并集及補集運算例 3 (1)(廣東省深圳市高級中學(xué) 2020 屆高三適應(yīng)性考試)已知集合A=x|y= (1-)( + 3),B=x|log2x1, 則 AB=(B).A.x|-3x1B.x|0x1C.x|-3x2D.x|x2(2)(山東省煙臺市 2020 屆高三適應(yīng)性練習(xí))設(shè)集合 A=x|y= -3,B=y|y=2x,x3,則集合(RA)B=().CA.x|x3B.x|x3C.x|0x3D.x|0x3答案解析30考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)求函數(shù)的定義域得集合 A,解對數(shù)不等式得集合 B,由集合

18、的交集運算可得結(jié)果.(2)分別對集合 A,B 進行化簡,由集合的交集及補集運算求出(RA)B.解析(1)解不等式(1-x)(x+3)0,得-3x1,所以 A=x|-3x1,又 B=x|log2x1=x|0x2,所以 AB=x|0x1.故選 B.(2)因為 A=x|y= -3=x|x3,所以RA=x|x3,又 B=y|y=2x,x3=y|0y8,所以(RA)B=x|0x4,B=x|(x-1)(x-3)4 可得 x2,由(x-1)(x-3)0 可得 1x3,所以集合 A=(2,+),B=(1,3),UA=(-,2,所以(UA)B=(1,2,故選 B. 答案解析35考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄20

19、20 屆高考第二次適應(yīng)性檢測)已知集合 A= | +2 2.(-30 ,B=x|xt,若 AB,則實數(shù) t 的取值集合是().DA.(2,+)B.2,+)C.(3,+)D.3,+)解析由+20 得-2x3,所以 A=x|-2x3,因為 AB,B=x|xt,所以 t3.-3故選 D. 答案解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.已知集合 A=x|x2-x-120,B=x|2m-1xm+1,且 AB=B,則實數(shù) m 的取值范圍為(A.-1,2)D).B.-1,3C.2,+)D.-1,+)解析由 x2-x-120,得(x+3)(x-4)0,即-3x4,所以 A=x|-3x4.又 AB=B,所以 B

20、A.當 B=時,有 m+12m-1,解得 m2;-3 2-1,當 B時,有 + 1 4,解得-1m2.2-1 + 1,綜上所述,m 的取值范圍為-1,+).答案解析37 考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數(shù)學(xué)抽象集合的新定義問題以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心,以“探究”為途徑,以“發(fā)現(xiàn)為目的,這類試題以集合為依托,考查考生對新概念的理解,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).解決集合的新定義問題的兩個切入點:正確理解創(chuàng)新的定義,常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等;合理利用集合的性質(zhì),運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵.38考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄

21、例(1)(2020 屆合肥模擬)對于集合 M,N,定義 M-N=x|xM,且 xN,MN=(M-N)(N-M). 設(shè) A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=-2x,xR, 則 AB=().CA. - 9 ,0 B. - 9 ,0 44C. -,- 9 0,+)D. -,- 9 (0,+)44()-(),() (),(2)用 C(A)表示非空集合 A 中元素的個數(shù),定義 A*B= ()-(),() ().若 A=1,2,B=x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0,且 A*B=1,設(shè)實數(shù) a 的所有可能取值組成的集合是 S,則 C(S)= 3.答案解析39考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(

22、1)因為 A= | - 9 ,B=y|y0,所以 A-B=y|y0,B-A= | 4- 9 ,所以 AB=(A-B)(B-A)= | 0 或 0,即 a2 2時,易知 0,-a 均不是方程 x2+ax+2=0 的根, 故 C(B)=4,不符合題意;當 0,即-2 2a2 2時,方程 x2+ax+2=0 無實數(shù)解,當 a=0 時,B=0,C(B)=1,符合題意.綜上,S=0,-2 2,2 2,故 C(S)=3.40考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓(xùn)練】1.已知集合 A=xN|x2-2x-30,B=1,3,定義集合 A,B 之間的運算“*”:A*B=x|x=x1+x2,x1A,x2B.則 A*

23、B 中的所有元素數(shù)字之和為().DA.15B.16C.20D.21解析由 x2-2x-30,得(x+1)(x-3)0,得 A=0,1,2,3.因為 A*B=x|x=x1+x2,x1A,x2B,所以 A*B 中的元素有 0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以 A*B=1,2,3,4,5,6,所以 A*B 中的所有元素數(shù)字之和為 21. 答案解析41考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(北京市意 xR,定義:m= 0,n= 1,1,(1)若 AB,則對任意 xR,m(1-n)= 0;A=RB(2)若對任意 xR,m+n=1,則 A,B 的關(guān)系為.解析(1)AB,當 xA 時,m=0,m(1-n)=0;當 xA 時,必有 xB,m=n=1,m(1-n)=0.綜上可得,m(1-n)=0.(2)對任意 xR,m+n=1,則 m,n 的值一個為 0,另一個為 1,即當 xA 時,必有 xB 或當 xB 時,必有 xA,A,B 的關(guān)系為 A=