應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理求最值

1、幾何最值問題解法探討在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例1. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，

2、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】ABC5D例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是 。例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 。例4. （2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 練習(xí)題：1. （2011湖北

3、荊門3分）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=BC一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則BPG的周長(zhǎng)的最小值是 _ 二、應(yīng)用

4、垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. （2012山東萊蕪4分）在ABC中，ABAC5，BC6若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是 例2.（2012浙江臺(tái)州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1 例3.（2012江蘇連云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，

5、請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由問題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由 例4.（2012四川廣元3分） 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【 】A.（0，0）

6、B.（，） C.（，） D.（，）例1、【答案】A?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE=，OD的最大值為：。故選A。例2.【答案】4?！究键c(diǎn)】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，EBM=NBM。在AME與AMN中，BE=BN ，EBM=NBM，B

7、M=BM，BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CE取最小值。BC=，ABC=45，CE的最小值為sin450=4。CM+MN的最小值是4。例3. 【答案】?！究键c(diǎn)】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)。【分析】如圖，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面圓周長(zhǎng)、高組成直角三角形。由周長(zhǎng)公式，底面圓周長(zhǎng)為，高為，根據(jù)勾股定理，得斜線長(zhǎng)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線最短為。例4. 【答案】1AD4?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥垦娱L(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE根據(jù)SAS證

8、明ABDECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS）。CE=AB。在ACE中，CEACAECEAC，即22AD8。1AD4。練習(xí)題：1. （2011湖北荊門3分）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=BC一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓

9、柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則BPG的周長(zhǎng)的最小值是 _ 二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題： 【答案】?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BPAC時(shí)，BP取得最小值。 設(shè)AP=x，則由ABAC5得CP=5x， 又BC6，在RtAB P和RtCBP中應(yīng)用勾股定理，得 。，即，解得。，即BP的最小值是。例2.【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，線段中垂

10、線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯?（1）若點(diǎn)P，Q固定，此時(shí)點(diǎn)K的位置：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接P1Q，交BD于點(diǎn)K1。 由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此時(shí)的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）點(diǎn)P，Q變動(dòng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1在AB上，即不論點(diǎn)P在BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)P1總在AB上。 因此，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中

11、垂直線段最短的性質(zhì)，得，當(dāng)P1QAB時(shí)P1Q最短。 過點(diǎn)A作AQ1DC于點(diǎn)Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=。 綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。例3. 【答案】解：?jiǎn)栴}1：對(duì)角線PQ與DC不可能相等。理由如下： 四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，DPC90。AD1，AB2，BC3，DC2。設(shè)PBx，則AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化簡(jiǎn)得x22x30，(2)241380，方程無解。不存在PBx，使DPC90。對(duì)角線PQ與DC不可能相等。問題2：存

12、在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，則G是DC的中點(diǎn)。過點(diǎn)Q作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，當(dāng)PQAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4。問題3：存在。理由如下：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定點(diǎn)。作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，同理可證ADPQCH，RtADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。當(dāng)PQAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5。問題4：如圖3，設(shè)P

13、Q與AB相交于點(diǎn)G，PEBQ，AEnPA，。G是DC上一定點(diǎn)。作QHPE，交CB的延長(zhǎng)線于H，過點(diǎn)C作CKCD，交QH的延長(zhǎng)線于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。過點(diǎn)D作DMBC于M，則四邊形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。KCH45。CKCHcos45 (n4)，當(dāng)PQCD時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，最小值為 (n4)。【考點(diǎn)】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥繂栴}1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PBx，可得方程x232(2x)218，由判別式0，可知此方程無實(shí)數(shù)根，即對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)不可能相等。 問題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，可得G是DC的中點(diǎn)，