高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第12_6降階

1、,可降階高階微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第六節(jié),一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第十二章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 ox 軸作直線,運(yùn)動(dòng),在開(kāi)始時(shí)刻,隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均勻地減,直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 .,如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn),解: 據(jù)題意有,t = 0 時(shí),設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) .,小

2、,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,初初速度為0,且,對(duì)方程兩邊積分, 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,利用初始條件,于是,兩邊再積分得,再利用,故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求解,解:,代入方程得,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4.,繩索僅受,重力作用而下垂,解: 取坐標(biāo)系如圖.,考察最低點(diǎn) A 到,( : 密度, s :弧長(zhǎng)),弧段重力大小,按靜力平衡條件,

3、有,故有,設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定,問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ?,任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況:,兩式相除得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則得定解問(wèn)題:,原方程化為,兩端積分得,則有,兩端積分得,故所求繩索的形狀為,懸 鏈 線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 求解,代入方程得,兩端積分得,(一階線性齊次方程),故所求通解為,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,M : 地球質(zhì)量 m : 物體質(zhì)量,例6.,靜止開(kāi)始落向

4、地面, 求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間,(不計(jì)空氣阻力).,解: 如圖所示選取坐標(biāo)系.,則有定解問(wèn)題:,代入方程得,積分得,一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,兩端積分得,因此有,注意“”號(hào),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,由于 y = R 時(shí),由原方程可得,因此落到地面( y = R )時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明: 若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系,解方程可得,問(wèn): 此時(shí)開(kāi)方根號(hào)前應(yīng)取什么符號(hào)? 說(shuō)明道理 .,則定解問(wèn)題為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 解初值問(wèn)題,解: 令,代入方程得,積分得,利

5、用初始條件,根據(jù),積分得,故所求特解為,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,為曲邊的曲邊梯形面積,上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面,例8.,二階可導(dǎo), 且,上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的,切線及 x 軸的垂線,區(qū)間 0, x 上以,解:,于是,在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿(mǎn)足的方程 .,積記為,( 99 考研 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,定解條件為,方程化為,利用定解條件得,得,故所求曲線方程為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),可降階微分方程的解法, 降階法,逐次積分,令,令,機(jī)

6、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 方程,如何代換求解 ?,答: 令,或,一般說(shuō), 用前者方便些.,均可.,有時(shí)用后者方便 .,例如,2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?,答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.,(2) 遇到開(kāi)平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).,例6,例7,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4,作業(yè),第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,速度,大小為 2v, 方向指向A ,提示: 設(shè) t 時(shí)刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示, 則有,去分母后兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,又由于,設(shè)物體 A 從點(diǎn)( 0, 1 )出發(fā), 以大小為常數(shù) v,備用題,的速度沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng),物體 B