概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：ch1-4 條件概率及全概率公式

1、1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 1.2 隨機(jī)事件的概率 1.3 古典概型 1.4 條件概率 1.5 隨機(jī)事件的獨(dú)立性,教學(xué)內(nèi)容,Chapter 1 Random Events and Probability,第一章 隨機(jī)事件及其概率,Content,1.理解條件概率,掌握乘法公式 2.會用全概公式、貝葉斯公式,教學(xué)要求, 1.4 條件概率及全概率公式,主要內(nèi)容,Contents,Requests,一、條件概率與乘法公式 二、全概公式與貝葉斯公式,Chapter 1 Random Events and Probability,第一章 隨機(jī)事件及其概率,Conditional Probability a

2、nd Complete Probability Formula,問題1、一個家庭有兩個孩子，問都是女孩的 概率是多少？ 答：1/4 問題2、一個家庭有兩個孩子，已知其中有一個 是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？ 答：？ 問題3、一個家庭有兩個孩子，已知大的孩子 是女孩，問小的孩子也是女孩的概率是多少？ 答：1/2,問題2的答案是1/3,測測你的概率感覺,一、條件概率與乘法公式,Conditional Probability and Multiplication Formula,擲骰子,引例,條件A,結(jié)果B,B=擲出2點(diǎn)， 求,擲一顆均勻骰子，A=擲出偶數(shù)點(diǎn) ，,解,即,在擲出偶數(shù)點(diǎn)前提下,

3、擲出的恰是2點(diǎn)的概率?,2、條件概率的定義,設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)0,則稱,為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率。,條件,結(jié)果,The Definition of Conditional Probability,A,B,常用算法,1)直接法(古典概型法),2)公式法（定義法）,在縮小后的樣本空間A中計(jì)算B發(fā)生的概率.,在原樣本空間中，先計(jì)算 再用公式,擲骰子,引例,條件,結(jié)果,B=擲出2點(diǎn)， 求,擲一顆均勻骰子， A=擲出偶數(shù)點(diǎn) ，,解,直接法,公式法,(P(B) 0),為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率。,條件,結(jié)果,A,B,類似，定義,Conditional Probab

4、ility,條件概率具有概率的公理性質(zhì),也是概率：,注,(對立),(減法),(加法),常用,例如：,思考,設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且,( ),則必有,C,(06-1,4,-4),一袋中裝有 10 個球,先后兩次從袋中各取一球 (不放回).,其中 3 個黑球,7 個白,(1),已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍,是黑球的概率;,解,(1),下,即第一次取到的是黑球的條件,第二次取球就在剩下的 2 個黑球、7 個白球,9 個球中任取一個,根據(jù)古典概率計(jì)算,球,共,的概率為 2/9，,即有,取到黑球,(P.19),直接分析,解,(2),即第二次取到的是黑球的,條件下,求第一次取到黑球的概率.,發(fā)生

5、在第二次取球之前,但第一次取球,故問題的結(jié)構(gòu)不像 (1) 那,么直觀.,由,(2),已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也,是黑球的概率.,并不顯然， 兩種可能： 第一次取到 黑或白球， 要算和事件,(P.19),( 常用拆分),( 互斥事件),( 乘法公式),全概率公式,P.21,解釋 P.19(2),袋中有 5 個球,從袋中不放回地連取兩個,其中 3 個紅球 2 個白球,現(xiàn),已知第一次取得紅球,求第二次取得白球的概率.,解法 1,表示“第,二次取得白球”,依題意要求,即第一次取得紅,球的取法為,其中,第二次取得白球的取法,有,種,所以,時,縮減樣本空間,袋中有 5 個球,從袋中不放回地連

6、取兩個,其中 3 個紅球 2 個白球,現(xiàn),已知第一次取得紅球,求第二次取得白球的概率.,解法 1,時,也可以直接計(jì)算,因?yàn)榈谝淮稳∽吡艘粋€紅球，,袋中只剩下 4 個球,其中有兩個白球,任取一個,再從中,取得白球的概率為 2/4,所以,解法 2,表示“第,二次取得白球”,求,在 5 個球中不放回連取兩球的取法,其中,第一次取得紅球的取法,第一次取得,紅球第二次取得白球的取法,所以,由定義得,公式法,推廣,3.乘法公式,Multiplication Formula,條概公式,前1,1,前2,3,2,一袋中裝有 10 個球,球,其中 3 個黑球、7 個白,求兩次,取到的均為黑球的概率.,解,則,由題

7、設(shè)知,于是根據(jù)乘法公式,有,先后兩次從中隨意各取一球 (不放回),表示事件“兩次取到的均為黑球”.,兩步完成一個事件的結(jié)構(gòu),乘法公式(原理),解,于是根據(jù)乘法公式,有,注:,對本例,我們曾用古典概型方法計(jì)算過,這里,表示事件“兩次取到的均為黑球”.,則使用乘法公式來計(jì)算.,在本例中,問題本身提供,了,這恰恰與乘法公式的,形式相應(yīng),合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來使用乘法,公式,兩步完成一個試驗(yàn)的結(jié)構(gòu),往往是使問題得到簡化的關(guān)鍵.,則,一批產(chǎn)品共100件,其中有10件是次品， 其余為正品,現(xiàn)依次進(jìn)行不放回抽取3次，求第三次才取得正品的概率。,法1:設(shè) =第i次取得正品, i=1,2, 3,練習(xí),則第三

8、次才取到正品=,法2:古典概型,解,簡單,二、全概率公式與貝葉斯公式,Complete Probability Formula and Bayesian Formula,1.全概率公式,定理1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為 事件 構(gòu)成樣本空間 的劃分 (或一個完備事件組)，且,Complete Probability Formula,則對任一事件B，有,執(zhí)因求果,原因,結(jié)果,注意內(nèi)在邏輯,證,而為 的一個劃分，,或稱 為 的一個劃分,則稱 為完備事件組.,若 兩兩互斥，且,完備事件組(劃分),了解,S,B,人們?yōu)榱私庖恢还善?變化,往往會去分析,如利率的變化.,比,現(xiàn)假設(shè)經(jīng)分析估計(jì)近期利率下調(diào),的概

9、率為60%,利率不變的概率為 40%.,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),價格上漲的概率為 80%,該支股票,而在利率不變的情況下,在利率下調(diào)的情況下,其價格上漲的概率為 40%.,求該支股票將上漲的概率.,未來一定時期內(nèi)價格的,影響股票價格的基本因素,（即不可能上調(diào)）,解,不變”,依題設(shè)知,于是,一商店出售的 是某公司三個分廠生產(chǎn)的同型號空調(diào)器， 而這三個分廠的空調(diào)比例為3:1:2， 它們的不合格品率依次為0.01,0.12,0.05 某顧客從這批空調(diào)器中任意選購一臺.,例6,(1)顧客購到不合格空調(diào)器的概率.,(2) 若已知顧客購到不合格的空調(diào)器, 試問這臺空調(diào)器是哪一個分廠生產(chǎn)的可能性大？,例7,試求：,由題意

10、知 是樣本空間的一個劃分,且,(1)設(shè)B=顧客購到不合格空調(diào)器,=顧客購到第i個分廠生產(chǎn)的空調(diào)器,i=1,2,3,解,執(zhí)因求果,同理，,所以顧客購到的不合格空調(diào)器是第2分廠 生產(chǎn)的可能性較大,(2)由(1)知 ，且有,解,執(zhí)果索因,貝葉斯公式,利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發(fā)生的不,同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生,的概率.,下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反,的問題,即一事件已經(jīng)發(fā)生,要考察該事件發(fā)生的,各種原因、情況或途徑的可能性.,例如,有三個放,有不同數(shù)量和,顏色的球的箱,子,現(xiàn)從任一箱子中任意摸出一球, 發(fā)現(xiàn)是紅球,該球取自哪個箱子的可能性最大?,樣本空間的一個

11、完備事件組，且,設(shè)事件 構(gòu)成隨機(jī)試驗(yàn)E的,則對任一事件B，有,2.貝葉斯公式,Bayesian Formula,定理2,執(zhí)果索因,原因,結(jié)果,貝葉斯公式又稱逆概公式(后驗(yàn)公式),(條),(乘),(全),貝葉斯公式,注:,公式中,是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件,B是否發(fā)生)的情況下諸事件發(fā)生的概率.,在獲得新,的信息(知道B發(fā)生)后,人們對諸事件發(fā)生的概率,就有了新的估計(jì).,貝葉斯公式從數(shù)量上刻,畫了這種變化.,特別地,若取n=2,并記,則,于是公式成為,例10,根據(jù)以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗(yàn),具有如下的效果:,性”,則有,現(xiàn)在對自然人群,進(jìn)行普查,即,試求,解,由題設(shè),有,由貝葉斯公式,解,由題設(shè),有,由貝葉斯公式,得,注:,本題表明,雖然,這兩個概率都比較高,但,即平均,1000個具有陽性反應(yīng)的人中,大約只有87人確患癌,癥.,例9,根據(jù)對以往數(shù)據(jù)分析，結(jié)果表明：當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)