第3節(jié)基本不等式及應(yīng)用

1、2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)不等式第七章第3節(jié)基本不等式及應(yīng)用1磨劍課前自學(xué)目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學(xué)高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄 4最新考綱考向分析1. 了解基本不等式的證明過程.2. 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題近幾最值;(2)比較大合運用. 核心素養(yǎng):邏輯推理、算高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、重要不等式a2+b2 2ab(a,b5高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、基本不等式1. 基本不等式成立的條件: a0,b0.2. 等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng) a=b時等號成立.算術(shù)平均數(shù) , 叫作正數(shù) a,b 的 幾均數(shù)

2、3.其中+叫作正數(shù) a,b 的.26高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄三、利用基本不1.如果那么當(dāng)x=y 時,x+y 有最2.如果 x,y(0,+),且 x+y=S(定值),2那么當(dāng) x=y 時,xy 有最大值.(簡記:“和定積最大”)47高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄1. + 2(a,b 同號且均不為 0),當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取等號.2 2 +2+2.ab .223. 2 + 2 +2(a0,b0).1+1224.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.8高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“”)

3、(1)兩個不等式 a2+b22ab 與 + 成立的條件是相同的.()2(2)函數(shù) y=x+1的最小值是 2.(3)函數(shù) f(x)=sin x+ 4的最小值為 4.sin (4)x0 且 y0 是+ 2 的充要條件.答案解析9目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識(1)不等式 a2+b22ab 成立的條件是 a,bR;不等式+ 成立的條件解析是 a0,b0.2(2)函數(shù) y=x+1的值域是(-,-22,+),沒有最小值.(3)當(dāng) sin x0 時,f(x)0 且 y0 是+2 的充分不必要條件.10目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【基礎(chǔ)自測1.若 0x6,則 f(x)= (8-)的最大值為BA.1

4、6C.4 3B.4D. 5330x6,8-x0,f(x)= (8-)+(8-)=4, 當(dāng) 且解析2僅當(dāng) x=8-x,即 x=4 時,等號成立.故 f(x)的最大值為 4.故選 B.答案解析11目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識2.設(shè) x0,y0,且 x+y=18,則 xy 的最大值為(B).A.80B.81C.72D.77解析x0,y0, + ,22=81,+即 xy 2當(dāng)且僅當(dāng) x=y=9 時取等號,故(xy)max=81.答案解析12目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識3.設(shè) x,y 均為正實數(shù),且1+1=1,則 x+y 的最小值為 4.解析x+y=(x+y) 1 + 1 =2+2+2 =4

5、,當(dāng)且僅當(dāng) x=y=2 時 等號成立.故 x+y 的最小值為 4.答案解析13目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【易錯自測】4.“x0”是“x+12”成立的(C). A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析當(dāng) x0 時,x+12 1=2,當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時取等號.因為 x,1同號,所以若 x+12,則 x0,10,所以“x0”是“x+12”成立的充要條件,故選 C.答案解析14目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識5.若函數(shù) f(x)=x+ 1 (x2)在 x=a 處取最小值,則 a 等于(A ).-2B.1+ 3A.3C.1+ 2D.4當(dāng) x2 時 ,x-2

6、0, 則 f(x)=x+ 1 =(x-2)+ 1 +22 (-2)1解析+2=4,-2-2-2當(dāng)且僅當(dāng) x-2= 1 (x2),即 x=3 時,等號成立,因此 a=3,故選 A.-2答案解析1516目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄考點 1利用基本不等式證明 例 1已知 a0,b0,a+b=1,求證: 1+119. 1 + 解析(法一)因為 a0,b0,a+b=1,所以 1+1=1+=2+.同理可得 1+1=2+.11所 以 1 +1 += 2 + 2 + =5+25+4=9, + 111所 以 1 +1 +9,當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時等號成立.解析217考點

7、探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄11=1+1+1+ 1(法二) 1 + 1 + =1+ + 1 =1+ 2 ,因為 a,b 為正數(shù),a+b=1,2=1,所以 1 4, 2 8,+所以 ab 24111因此 1 +1 +1+8=9,當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時等號成立.2解析18考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：應(yīng)用基本不等式證明不等式時,一般要先對所給不等式(或式子)變形,然后利用基本不等式求解.應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:“一正”“二 定”“三相等”. 19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 1】設(shè) a,b,c 都是正數(shù),求證: + + a+b+c.解析a,b,c 都是正數(shù), ,

8、 , 都是正數(shù), + 2c,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時等號成立, + 2a,當(dāng)且僅當(dāng) b=c 時等號成立, + 2b,當(dāng)且僅當(dāng) a=c 時等號成立. + + 2(a+b+c),三式相加得 2 即 + + a+b+c,解析當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c 時等號成立.20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2利用基本不等式求最值考向 1:利用配湊法求最值例 2(1)已知 0x1,則 x(3-3x)的最大值為(C).A.1B.1C.3D.23243(2)若 x5,則 f(x)=4x-2+ 1的最大值為 1.4-54解析答案21考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2=3,當(dāng) 3x=3-3x,3+3-3解析(1)因為 0x1,

9、所以 x(3 -3x)=13 x(3 -3x)1 3324即 x=1時,x(3-3x)取得最大值3.故選 C.24(2)因為 x0,4則 f(x)=4x-2+ 1=- 5-4 +11 +3-2 (5-4)+3=-2+3=1,4-55-45-4當(dāng)且僅當(dāng) 5-4x= 1,即 x=1 時,等號成立.5-4故 f(x)=4x-2+ 1的最大值為 1.4-522考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:利用常數(shù)代換或消元法求最值2已知雙曲線- 22=1(m0,n0)和橢圓+ 2=1 有相同的焦點,則1 +4的最小例 354值為(). A.2B.4C.6D.9解析答案23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2解析

10、橢圓 +=1 的焦點坐標(biāo)為(1,0),m+n=1, 254 1 +4=1444 +(m+n)=1+4=5+ .m,n0, 0,40, +42 4=4,當(dāng)且僅當(dāng) =4,即 n=2,m=1時取等號,3314=5+4=9,故選 D. + min24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：在利用基本不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后利用基本不等式求解. 25考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 2】1.(1)若正數(shù) a,b 滿足 ab=a+b+3,則 ab 的取值范圍是 9,+).1 , + (2)若對于任意 x0,a 恒成立,則 a 的取值范圍是 5. 2

11、+3+1解析(1)a,b 是正數(shù),ab=a+b+32 +3,解得 3,即 ab9 ,1(2)=1 2 +3+13+x0,x+12(當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時取等號),11=1,即的最大值為1,故 a1.則1 2 +3+13+25553+解析答案26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知 x,y 均為正實數(shù),且 1+ 1=1,則 x+y 的最小值為(). +2+26C.20A.24解析B.32D.28x,y 均為正實數(shù),且 1+ 1=1,+2+26x+y=(x+2+y+2)-4 1=6+1 (x+2+y+2)-4+2+2=6 2 + +2 + +2 -4+2+26 2 + 2 +2 +2 -4=20,

12、+2+2當(dāng)且僅當(dāng) x=y=10 時取等號.x+y 的最小值為 20.解析答案27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.(2020 屆石家莊質(zhì)檢)已知直線 l:ax+by-ab=0(a0,b0)經(jīng)過點(2,3),則 a+b 的最小值 為 5+2 6.解析因為直線 l 經(jīng)過點(2,3),所以 2a+3b-ab=0,所以 b= 2 0,所-3以 a-30,所以 a+b=a+ 2 =a-3+66=5+2 6,當(dāng)且僅+55+2 (-3)-3-3-3當(dāng) a-3= 6 ,即 a=3+ 6,b=2+ 6時等號成立.-3解析答案28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點3例 4基本不等式的實際應(yīng)用在城市舊城改造中,某小

13、區(qū)為了升級居住環(huán)境,擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為 200 m2 的矩形區(qū)域(如圖所示),按規(guī)劃要求:在矩形內(nèi)的四周安排 2 m 寬的綠化,綠化造價為 200 元/m2,中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材,硬化造價為 100 元/m2.設(shè)矩形的長為 x(m).(1) 求總造價 y(元)表示為長度 x(m)的函數(shù);(2) 當(dāng) x(m)取何值時,總造價最低?并求出最低總造價.解析29考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)由矩形的長為 x(m),可得矩形的寬為200(m),所以中間區(qū)域的長為 x-4(m),寬為200-4(m),則 x(4,50),故y=100 (-4) 200 -4 +

14、200 200-(-4) 200 -4 ,整理得 y=18400+400 + 200 ,x(4,50).(2) 由 于 x+2002 200=20 2,當(dāng)且僅當(dāng) x=200時取等號,即 x=10 2,又 10 2(4,50),所以當(dāng) x=10 2時,總造價最低,最低為 18400+8000 2元.30考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 3】甲工廠生產(chǎn)某種材料,并以 x 千克/小時的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求 1x10),每小時可消耗 A 材料(kx2+9)千克,已知每小時只生產(chǎn) 1 千克該產(chǎn)品時,消耗 A 材料 10 千克.(1) 設(shè)生產(chǎn) m 千克該產(chǎn)品,消耗 A 材料 y 千克,試把

15、 y 表示為 x 的函數(shù).(2) 要使生產(chǎn) 1000 千克該產(chǎn)品消耗的 A 材料最少,工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?消耗的 A 材料最少為多少? 解析31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)由題意,得 k+9=10,即 k=1,生產(chǎn) m 千克該產(chǎn)品需要的時間是,所以 y=(x2+9)=m9,x1,10. + (2)由(1)知,生產(chǎn) 1000 千克該產(chǎn)品消耗的 A 材料為 y=1000 + 9 10002 9=6000,當(dāng)且僅當(dāng) x=9,即 x=3 時,等號成立,且 31,10.故工廠應(yīng)選取 3 千克/小時的生產(chǎn)速度,消耗的 A 材料最少,最少為 6000 千克.32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄

16、數(shù)算巧解不等式1.在運用基本不等式時,要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.2.注意基本不等式成立的條件是 a0,b0,若 a0,b0,-b0,再運用基本不等式求解.3.“當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時等號成立”的含義是“a=b” 是等號成立的充要條件,這一點至關(guān)重要,忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤.答案33考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2例(2020 屆天津和平第三次質(zhì)檢)已知 x0,y-1,且 x+y=1,則+3+ 2的最小值+1為 2+ 3 .解析答案34考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄 2 +3+ 231解析= + + -1 + ,+1+1x+y=1,原式=3

17、+1.+11+(+1)3+1= 3 +1+12=1 4 + 3(+1) + 2+13(+1)1 4 + 2 =2+ 3,2+1當(dāng)且僅當(dāng) x=3- 3,y=-2+ 3時等號成立.2即+3+ 2的最小值為 2+ 3.+135考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓(xùn)練】已知 ab0,求 a2+16的最小值.(-)解析ab0,a-b0.2 2+(-)b(a-b) =.2416a2+642 2 64=16,a2+ 2 2(-)當(dāng) a2=64且 b=a-b,即 a=2 2,b= 2時等號成立. 216a2+的最小值為 16.(-)解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄1.(2019 年天津卷)設(shè) x0,y0,x+2y=5,則(+1)(2+1)的最小值為.43 解析x0,y0, 0.x+2y=5,(+1)(2+1)=2 +2+1=2 +6=2 + 62 12=4 3, 當(dāng)且僅當(dāng) 2 = 6且 x+2y=5 時取等號. (+1)(2+1)的最小值為 4 3. 解析答案37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄1 42.(2018 年天津卷)已知 a,bR,且 a-3b+6=0,則 2a+ 1 的最小值為.8解析a-3b+6=0,a-3b=-6,2a+ 1 =2a+2-3b2 2 2-3 =2 2-3 =2 2-6=22-3=1,當(dāng)且僅當(dāng)84 = -3,即 = -3,時等號成立.-3 + 6 = 0, =