功率譜估計(jì)模型法_第1頁
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文檔簡介

1、功率譜估計(jì) -參數(shù)估計(jì)方法,周期圖法的不足,估計(jì)方法的方差性能差 在功率譜密度計(jì)算中沒有實(shí)現(xiàn)求均值的運(yùn)算 分辨率低 樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長的,相當(dāng)于在無限長樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等),參數(shù)模型功率譜估計(jì),MA模型 AR模型 ARMA模型,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,如果一個寬平穩(wěn)隨機(jī)信號x(n)通過一個線性時不變系統(tǒng)(LSI)h(n),則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程,并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密度滿足下式: 其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度,而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號u(

2、n),其功率譜密度為常數(shù)2,則輸出信號功率譜密度Pxx(w)完全由系統(tǒng)傳遞函數(shù)|H(w)|2決定,因此我們通過對H(w)進(jìn)行建模,從而得到輸出信號的功率譜密度。,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,在上圖中,輸入u(n)為白噪聲信號,其方差為2 ,則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為:,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的特性去表征隨機(jī)信號x(n)的功率譜密度,稱為參數(shù)模型功率譜估計(jì)。 參數(shù)模型功率譜估計(jì)的步驟: 對H(z)選擇合適的模型:MA模型、AR模型、ARMA模型 根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n),或者x(n)的自相關(guān)函數(shù),確定H(z)的參數(shù) 利用H(z)估計(jì)x(n)的

3、功率譜。,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,H(z)的模型: AR模型:auto-Regressive 此模型只有極點(diǎn),沒有零點(diǎn),對應(yīng)其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,MA模型:Moving-Average 此模型只有零點(diǎn),沒有極點(diǎn),對應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點(diǎn)。,平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型,ARMA模型: 此模型同時有零點(diǎn)、極點(diǎn),對應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷,系統(tǒng)模型,對于一階全極點(diǎn)傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)所對應(yīng)的幅度響應(yīng)實(shí)際上是:,當(dāng)a0,當(dāng)a0,系統(tǒng)模型,對于二階的全極點(diǎn)傳遞函數(shù) 其對應(yīng)的幅度響應(yīng)? 由于傳遞函數(shù)中,a、b均為實(shí)數(shù),且要求極點(diǎn)在單位圓內(nèi),因此傳遞函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)該是共軛對稱的。,系統(tǒng)

4、模型,極點(diǎn)位置在0 /2內(nèi)時,系統(tǒng)模型,極點(diǎn)位置在/2 內(nèi)時,系統(tǒng)模型,對于二階的全零點(diǎn)系統(tǒng) 零點(diǎn)的位置沒有限定要求,那么其幅度響應(yīng),當(dāng)零點(diǎn)在0 /2內(nèi)時,在零點(diǎn)在/2 內(nèi)時,AR模型估計(jì)功率譜密度,假設(shè)u(n)、x(n)都是寬平穩(wěn)的隨機(jī)信號,其中u(n)為白噪聲,方差為2,推導(dǎo)H(z)的模型參數(shù)ai與數(shù)據(jù)x(n)的關(guān)系,即所謂AR模型的正則方程(Normal Equation)。,AR模型估計(jì)功率譜密度,根據(jù)輸入、輸出、系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的關(guān)系 等式兩邊同乘以x(n-m),同時取期望運(yùn)算,AR模型估計(jì)功率譜密度,這里首先考慮rxu(m)的求解 這里h(k)為H(z)的無限長脈沖響應(yīng),AR模型估計(jì)功

5、率譜密度,由于系統(tǒng)輸入u(n)為白噪聲信號,因此: 這樣rxu(m)為:,AR模型估計(jì)功率譜密度,而h(m)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng),由于H(z)為因果系統(tǒng),因此: 這樣,互相關(guān)函數(shù)rxu(m)為:,AR模型估計(jì)功率譜密度,由于h(0)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng),而: 因此有h(0)=1,AR模型估計(jì)功率譜密度,根據(jù)上式以及rxu(m)的求解:,AR模型估計(jì)功率譜密度,將等式右側(cè)的累加項(xiàng)移到等式左側(cè),這樣上式就可以寫成方程組的形式:,AR模型估計(jì)功率譜密度,在方程組的形式中,由于H(z)模型參數(shù)ai為p個,以及白噪聲方差2,因此需要p+1個方程就可以求解,同時根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的對稱性,將方程組展開

6、為矩陣形式:,AR模型估計(jì)功率譜密度,這就是AR模型的正則方程,也稱為Yule-Walker方程。,AR模型估計(jì)功率譜密度,得到AR模型的參數(shù),就可以估計(jì)功率譜密度:,AR譜估計(jì)特點(diǎn),譜估計(jì)的特征 在譜峰值處,AR譜和信號譜很接近 譜谷底位置,則相差比較大。,清音,AR模型與線性預(yù)測的關(guān)系,線性預(yù)測系數(shù)aj構(gòu)成的全極點(diǎn)濾波器H(z): 其逆過程為:,AR模型與線性預(yù)測的關(guān)系,AR模型: 對應(yīng)的輸入、輸出關(guān)系:,AR模型與線性預(yù)測的關(guān)系,那么:,AR模型與線性預(yù)測的關(guān)系,這里我們發(fā)現(xiàn)線性預(yù)測過程是AR模型估計(jì)功率譜的逆過程。 當(dāng)預(yù)測器的階數(shù)和AR模型的階數(shù)相同時,對應(yīng)的預(yù)測器系數(shù)h和AR模型參數(shù)

7、ai才有一一對應(yīng)的關(guān)系。,AR模型功率譜估計(jì)性能分析,周期圖法中由于自相關(guān)函數(shù)rxx(m)的長度為2N-1,因此相當(dāng)于對真實(shí)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了加窗處理,自相關(guān)函數(shù)的取值范圍在-(N-1) N-1內(nèi),在此范圍外的值為零值,從而導(dǎo)致了估計(jì)的功率譜密度受到窗函數(shù)譜的影響,降低了分辨率。 AR模型對功率譜估計(jì)的改進(jìn)實(shí)際上體現(xiàn)在對自相關(guān)函數(shù)的延拓特性上,沒有將估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)取值限制在-(N-1) N-1的范圍內(nèi)。,AR模型功率譜估計(jì)性能分析,根據(jù)Yule-Walker方程可知: 首先估計(jì)p+1個自相關(guān)函數(shù)rxx(0),rxx (1),rxx (p)后,可以根據(jù)上式得到AR模型參數(shù)ai。 這樣,就根據(jù)a

8、i得到對p之后的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行拓展:,AR模型功率譜估計(jì)性能分析,這里mp,因此我們利用p個估計(jì)的自相關(guān)函數(shù),可以對mp所有的自相關(guān)函數(shù)rxx (m)進(jìn)行延拓,從而提高了自相關(guān)函數(shù)窗的長度,增加了功率譜估計(jì)的頻域分辨率。,AR模型階數(shù)p的選擇,如果模型的階數(shù)過小,則會增加對功率譜的平滑作用,降低譜的分辨率 但如果階數(shù)太高,雖然會降低預(yù)測誤差的方差,但會導(dǎo)致譜峰的分裂,增加估計(jì)誤差。 這是由于階數(shù)實(shí)際上對應(yīng)于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰情況。,AR模型階數(shù)p的選擇,AR模型階數(shù)p的選擇,AR模型階數(shù)p的選擇,在進(jìn)行AR譜估計(jì)時,首先需要確定階數(shù)p。p的選擇可以基于以下三種準(zhǔn)則進(jìn)行。 最終預(yù)測誤差準(zhǔn)則(FPE)

9、 其中k為階數(shù),N為樣本數(shù)據(jù)x(n)的長度,而k表示k階AR模型得到的白噪聲方差。 上式最小值對應(yīng)的階數(shù)為最終選擇的階數(shù)。,AR模型階數(shù)p的選擇,阿凱克信息論準(zhǔn)則(AIC) 同樣選擇使上式最小的k值作為模型的階數(shù)。 AIC準(zhǔn)測和FPE準(zhǔn)則在樣本數(shù)據(jù)x(n)長度較長時,估計(jì)得到的模型階數(shù)相似。對于較短的樣本數(shù)據(jù),建議使用AIC準(zhǔn)則。,AR模型階數(shù)p的選擇,自回歸傳遞函數(shù)準(zhǔn)則(CAT) 同樣使得上式最小的k為模型階數(shù)。,AR模型參數(shù)的求解,自相關(guān)法 利用Yule-Walker方程得到AR模型參數(shù)ai:,AR模型參數(shù)的求解,Yule-Walker方程中的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)為有偏估計(jì)值:,AR模型

10、估計(jì)功率譜密度,系數(shù)矩陣不僅僅是對稱的,而且沿著和主對角線平行的任意一條對角線上的元素都相等,這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣,可以利用Levinson-Durbin遞推算法得到p個參數(shù)ai以及方差2。,AR模型估計(jì)功率譜密度,如果采用有偏估計(jì)得到自相關(guān)函數(shù),就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型參數(shù),并且可以保證求解的系數(shù)ai在單位圓內(nèi),即保證AR模型的穩(wěn)定性。這種方法稱為自相關(guān)法 同時自相關(guān)法計(jì)算的白噪聲信號功率會隨著階數(shù)的增加而減小或者保持不變。,AR模型估計(jì)功率譜密度,但自相關(guān)法也存在一定的問題,由于在求解自相關(guān)函數(shù)的時候,進(jìn)行了矩形加窗處理,降低了分辨率。 同時

11、當(dāng)樣本數(shù)據(jù)長度較短時,估計(jì)誤差會比較大,出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。,AR模型估計(jì)功率譜密度,協(xié)方差法,AR模型估計(jì)功率譜密度,其中的自相關(guān)函數(shù)為: 同時白噪聲的方差為:,AR模型估計(jì)功率譜密度,計(jì)算自相關(guān)函數(shù)時,樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自相關(guān)法不同,這樣保證了不對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行矩形窗的截?cái)?,因此如果樣本函?shù)的長度較短時,可以獲得比自相關(guān)法更好的譜分辨率。如果樣本函數(shù)的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于階數(shù)p時,自相關(guān)法和協(xié)方差法的性能是差不多的。 同時協(xié)方差法求解的是非Toeplitz陣,不能用迭代的方法計(jì)算,因此運(yùn)算復(fù)雜度較大。同時也不能像自相關(guān)法一樣保證AR模型的穩(wěn)定性。,AR模型估計(jì)功率譜密度,修正的協(xié)方差法 與協(xié)方

12、差法類似,自相關(guān)函數(shù)的求解修正為: 同時估計(jì)的白噪聲方差為:,AR模型估計(jì)功率譜密度,修正的協(xié)方差法從線性預(yù)測的角度分析,實(shí)際上是同時進(jìn)行前向、后向預(yù)測,因此其估計(jì)譜的分辨率比較高,譜峰的偏移也比較小。 但缺點(diǎn)同樣是需要求解非Toeplitz陣,計(jì)算比較復(fù)雜。,AR模型估計(jì)功率譜密度,Burg遞推法 以上提到的自相關(guān)法、協(xié)方差法和修正的協(xié)方差都要估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù),如果能免去自相關(guān)函數(shù)的求解,從而直接根據(jù)樣本函數(shù)得到AR模型參數(shù)ai,從而可以減少中間步驟,提高譜估計(jì)的性能。同時采用前向、后向線性預(yù)測。 這種算法對短數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì)比自相關(guān)函數(shù)法要準(zhǔn)確。,應(yīng)用,針對含噪正弦信號 數(shù)據(jù)64點(diǎn)

13、,采用分段平均周期圖法和AR模型,應(yīng)用,AR模型,周期圖法,應(yīng)用,數(shù)據(jù)長度為64,采用分段的周期圖法和AR模型,應(yīng)用,AR模型,周期圖法,應(yīng)用,數(shù)據(jù)長度為64點(diǎn),取不同階數(shù)(4、20)的AR模型對譜估計(jì)的影響。,應(yīng)用,MA模型估計(jì)功率譜密度,與AR模型一樣,首先推導(dǎo)MA參數(shù)bi與樣本數(shù)據(jù)x(n)的正則方程。 首先,MA模型參數(shù)為:,MA模型估計(jì)功率譜密度,輸入白噪聲信號u(n)、MA模型以及輸出x(n)之間為線性卷積的關(guān)系: 與AR模型進(jìn)行相同的分析,得到:,MA模型估計(jì)功率譜密度,MA模型只有q個零點(diǎn),并且注意MA的正則方程,MA模型計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)的取值范圍為-q q,并且類似于MA模型參

14、數(shù)bi的自相關(guān)函數(shù) 這樣估計(jì)的功率譜密度為:,MA模型估計(jì)功率譜密度,注意到,根據(jù)計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)得到的功率譜為: 因此從譜估計(jì)的角度,MA模型譜估計(jì)等效于經(jīng)典譜估計(jì)中的自相關(guān)法,譜估計(jì)的分辨率低。,ARMA模型估計(jì)功率譜密度,ARMA模型實(shí)際上AR模型和MA模型的綜合,其正則方程為: 其中h(k)為ai和bi的函數(shù),因此該方程為非線性方程,求解較為復(fù)雜。,最大熵譜估計(jì)方法,rxx(k)的最大熵外推法 經(jīng)典譜估計(jì)中是零值外推,對于窄帶信號是很不精確的,如何對rxx(k)進(jìn)行外推? 這里re(k)表示自相關(guān)函數(shù)的外推值,最大熵譜估計(jì)方法,對re(k)的約束條件是什么? 保證得到的功率

15、譜密度是實(shí)數(shù),并且是非負(fù)的。 使隨機(jī)信號x(n)的熵最大,等價為使得x(n)盡可能的白化,對功率譜而言,使得估計(jì)的功率譜Pxx(w)盡可能平坦。,最大熵譜估計(jì)方法,對于能量有限的信號,具有高斯分布的隨機(jī)信號x(n)具有最大的熵率,并且x(n)是高斯AR過程,即x(n)的功率譜是全極點(diǎn)形式的譜結(jié)構(gòu)。,最大熵譜估計(jì)方法,根據(jù)以上要求外推的自相關(guān)函數(shù)rxx(k): 而ap為自相關(guān)正則方程的解:,最大熵譜估計(jì)方法,最大熵譜估計(jì)的解釋是:根據(jù)給定隨機(jī)信號x(n),利用對x(n)AR模型的限制,對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推,并且假設(shè)x(n)為高斯分布。 實(shí)際上最大熵譜估計(jì)與Yule-Walker方法估計(jì)功率譜是等

16、價的。,最大熵譜估計(jì)方法,這里對最大熵譜估計(jì)方法的描述,用于解釋該方法譜估計(jì)的實(shí)質(zhì)問題。 最大熵估計(jì)外推對數(shù)據(jù)強(qiáng)加了一個全極點(diǎn)模型,因此MEM估計(jì)是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法,取決于所分析的信號類型,以及信號模型逼近AR過程的程度,特征分解法譜估計(jì),對于帶有白噪聲的正弦波組合,由于正弦波之間是非諧波的關(guān)系 ,因此不能用基于傅立葉變換的周期圖法進(jìn)行分析。而特征分解法可以得到比AR模型更高的分辨率,特別是信噪比比較低的時候,譜估計(jì)的效果比較理想。,特征分解法譜估計(jì),一階諧波過程: 其中復(fù)指數(shù)A1=|A1|ej1 , 1是均勻分布的隨機(jī)變量,w(n)是方差為w2 的白噪聲,特征分解法譜估計(jì),復(fù)數(shù)隨機(jī)信號的自相關(guān)

17、矩陣定義為:,特征分解法譜估計(jì),Rss的秩為1.,特征分解法譜估計(jì),定義 則Rss可以用e1表示: 因此Rss的非零特征值為M|A1|2,特征分解法譜估計(jì),Rxx和Rss的特征向量是一致的。 Rxx的特征根是Rss的特征根和噪聲方差之和,特征分解法譜估計(jì),根據(jù)Rx 的特征值和特征矢量獲得關(guān)于x(n)的參數(shù): Rx進(jìn)行特征值分解,最大的特征值為M|A1|2+w2 ,其它的特征值均為w2 利用Rx 的特征值求信號功率|A1|2和噪聲方差:,特征分解法譜估計(jì),最大特征值對應(yīng)的特征矢量為e1,則e1第二個系數(shù)為 ejw1, 其頻率即為w1,特征分解法譜估計(jì),基于信號自相關(guān)矩陣分解的頻率估計(jì)算法:將樣本

18、空間分為信號子空間和噪聲子空間,然后用頻率估計(jì)函數(shù)估計(jì)頻率值。 假設(shè)隨機(jī)信號x(n)由p個復(fù)指數(shù)信號和白噪聲信號組成: 其中s(n)為正弦信號,v(n)為白噪聲,特征分解法譜估計(jì),X(n)信號的自相關(guān)函數(shù): 其中Pi是功率: Pi =|Ai|2,特征分解法譜估計(jì),則x(n)的自相關(guān)矩陣為:,特征分解法譜估計(jì),其中ei為:,特征分解法譜估計(jì),設(shè)vi是Rss的特征矢量: vi也是Rxx的特征矢量,并且Rxx的特征根是Rss特征根和噪聲方差之和:,特征分解法譜估計(jì),Rss的秩為p,因此Rss有p個非零特征根,因此Rxx特征根分為p個大于w2 的特征根,和M-p個為w2 的特征根。 對應(yīng)于特征根的分類,特征矢量也分為兩類。實(shí)際上,大于w2的特征根和特征矢量對應(yīng)信號子空間,而等于w2的特征根和特征矢量對應(yīng)噪聲子空間。 這樣可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rxx的特征根求解,最小的特征根就是白噪聲信號的方差。,特征分解法譜估計(jì),如果自相關(guān)矩陣Rxx的維數(shù)M=p+1,則p個大于w2 的特征根,1個等于w2 的特征根,因此信號子空間的特征矢量為p個,噪聲子空間的特征矢量為1個,定義為vmin。 定義信號空間矢量ei,該矢量不是特征矢量,但位于信號子空間中,且與vmin正交:,特征分解法譜

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