03屆 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學（文）及答案

1、2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學（文史類）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘第卷（選擇題 共50分）注意事項：1答第卷前，考生務必將自己姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式： 正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式 其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長. 球體的體積公式：，其中R表示球的半徑.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分

2、，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1設集合等于（ ）ABCD2設，則（ ）Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y23“”是“”的（ ）A必要非充分條件B充分非必要條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件4已知，是平面，m，n是直線.下列命題中不正確的是（ ） A若m，=n，則m/nB若mn，=n，則nC若m，m，則D若m，則5如圖，直線過橢圓的左焦點F1和 一個頂點B，該橢圓的離心率為（ ）ABCD6若且的最小值是（ ）A2B3C4D57如果圓臺的母線與底面成60角，那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為（ ）ABCD8若數(shù)列的通項公式是，則等于（ ）

3、ABCD9從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上， 其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ）A24種B18種C12種D6種10某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人.全班k名同學都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為1，2，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令 其中i=1，2，k，且j=1，2，k，則同時同意第1，2號同學當選的人數(shù)為（ ）ABCD第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.11已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑為 12函數(shù)中， 是偶函數(shù).13以雙曲線

4、右頂點為頂點，左焦點為焦點的拋物線的方程是 14將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應為 三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（本小題滿分13分）已知函數(shù) （）求的最小正周期； （）求的最大值、最小值.16（本小題滿分13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項公式； （）令求數(shù)列前n項和的公式.17（本小題滿分15分） 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中點，AB=a. （）求證：直線A1DB1C1； （）求點D到平面ACC1的距離； （）判斷A1B與平面ADC的位置關

5、系， 并證明你的結(jié)論.18（本小題滿分15分） 如圖，A1，A為橢圓的兩個頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點. （）寫出橢圓的方程及準線方程； （）過線段OA上異于O，A的任一點K作OA的垂線，交橢圓于P，P1兩點，直線 A1P與AP1交于點M. 求證：點M在雙曲線上.19（本小題滿分14分） 有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=13km，BC=10km.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標系如圖） （）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點P應位于何處？ （）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小， 點P應位于何處？20（本小題

6、滿分14分） 設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件： （i） （ii）對任意的 （）證明：對任意的 （）判斷函數(shù)是否滿足題設條件； （）在區(qū)間1，1上是否存在滿足題設條件的函數(shù)，且使得對任意的 若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.絕密啟用前2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題（文史類）（北京卷）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算. 每小題5分，滿分50分.1A 2D 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9B 10C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題4分,滿分16分.113 12 13 14三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應寫出文字說明，證明過程或演

7、算步驟.15本小題主要考查三角函數(shù)的倍角、和角公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查運算能力，滿分13分. （）解：因為所以的最小正周期（）解：因為所以的最大值為,最小值為16本小題主要考查等差、等比數(shù)列等基本知識，考查綜合運用數(shù)學知識和方法解決問題的能力.滿分13分. （）解：設數(shù)列公差為，則 又所以（）解：由得 將式減去式，得 所以17本小題主要考查直線與平面的位置關系，正棱柱的性質(zhì)，棱錐的體積等基本知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力. 滿分15分.（）證法一：點D是正ABC中BC邊的中點，ADBC，又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. 證法二：連結(jié)A1C1

8、，則A1C=A1B. 點D是正A1CB的底邊中BC的中點， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1.（）解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC，DE平面ACC1于E，即DE的長為點D到平面ACC1的距離. 在RtADC中，AC=2CD=所求的距離解法二：設點D到平面ACC1的距離為，體積 即點D到平面ACC1的距離為. （）答：直線A1B/平面ADC1，證明如下：證法一：如圖1，連結(jié)A1C交AC1于F，則F為A1C的中點，D是BC的中點，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1.證法二：如圖2,取C1B1的中點D1，則ADA1D1，C1DD1B，

9、AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B，平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1.18本小主要考查直線、橢圓和雙曲線等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分15分. （）解：由圖可知,該橢圓的方程為準線方程為（）證明：設K點坐標,點P、P1的坐標分別記為， 其中則 直線A1P，P1A的方程分別為： 式除以式得化簡上式得代入式得于是，直線A1P與AP1的交點M的坐標為因為所以，直線A1P與AP1的交點M在雙曲線.19本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分. （）解：設P的坐標為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方

10、和為 所以，當時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標是（）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得記于是 因為在上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時,函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標是 解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得記于是 函數(shù)的圖象如圖，因此，當時，函數(shù)取得最小值.答:點P的坐標是 解法三：因為在ABC中，AB=AC=13,且，所以ABC的外心M在線段AO上,其坐標為, 且AM=BM=CM. 當P在射線MA上，記P為P1；當P在射線MA的反向延長線上，記P為P2，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小.答:點P的坐標是20本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識，考查綜