第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

1、創(chuàng)新設(shè)計第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合1創(chuàng)新設(shè)計1.高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位高考定位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的和，難度中檔偏下；2.在考查數(shù)列運算的同時，將數(shù)列與不等式、函數(shù)交匯滲透.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合2創(chuàng)新設(shè)計真題感悟1.(2018全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項和.若Sn2an1，則S6 .法一因為Sn2an1，所以當(dāng)n1時，a12a11，解得a11.解析當(dāng)n2時，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所

2、以an2n1.1（126）所以 S663.12熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合3創(chuàng)新設(shè)計法二由Sn2an1，得S12S11，所以S11，當(dāng)n2時，由Sn2an1得Sn2(SnSn1)1，即Sn2Sn11，Sn12(Sn11)，又S112，Sn1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn122n12n，所以Sn12n，S612663.答案63熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合4創(chuàng)新設(shè)計2.(2017全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項公式；an(2)求數(shù)列的前 n 項和.2n1解(1)因為a13a2(2n1)an2n，故當(dāng)

3、n2時，a13a2(2n3)an12(n1)， 2得(2n1)a 2，所以 a nn2n1 2又 n1 時，a 2 適合上式，從而a 的通項公式為 a .1nn2n1熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合5創(chuàng)新設(shè)計an(2)記的前 n 項和為 Sn，2n1an 2 1 1，由(1)知2n1（2n1）（2n1）2n12n1 1 1111則 S 1n3352n12n1 1 2n1.2n12n1熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合6創(chuàng)新設(shè)計3.(2019天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的

4、通項公式；1，n為奇數(shù)，(2)設(shè)數(shù)列cn滿足 cn求 a1c1a2c2a2nc2n(nN*).nb2，n為偶數(shù).熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合7創(chuàng)新設(shè)計解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q0).3q32d，d3，依題意，得解得23q 154d，q3，故an33(n1)3n，bn33n13n.所以an的通項公式為an3n，bn的通項公式為bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)n（n1）123nn36(63 123 183 6n3 )23n26(131232n3n).熱點聚焦 分類突

5、破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合8創(chuàng)新設(shè)計記Tn131232n3n，則3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n13（13n）（2n1）3n13n3n1.213所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn（2n1）3n13（2n1）3n26n293n23(nN*).22熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合9創(chuàng)新設(shè)計考點 整合S1 （n1），1.(1)數(shù)列通項 an 與前 n 項和 Sn 的關(guān)系，anSnSn1（n2）.(2)應(yīng)用an與Sn的關(guān)系式f(an，Sn)0時，應(yīng)特別注意n1時的情況，防止產(chǎn)生錯誤.2. 數(shù)列求和(1) 分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列既不是等差

6、數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并.(2) 錯位相減法：主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合10創(chuàng)新設(shè)計(3)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中 c間若干項的方法，裂項相消法適用于形如a a(其中an是各項均不為零的等差數(shù)列，nn1c 為常數(shù))的數(shù)列.溫馨提醒 裂項求和時，易把系數(shù)寫成它的倒數(shù)或忘記系數(shù)導(dǎo)致錯誤.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合11創(chuàng)新設(shè)計3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的

7、交匯數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題， 解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系或恒成立問題.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合12創(chuàng)新設(shè)計熱點一an與Sn的關(guān)系問題【例 1】 設(shè)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，對任意的正整數(shù) n，都有 an5Sn1 成立，bn1b 1log |a |，數(shù)列b 的前 n 項和為 T ，c .n2nnnnTnTn1(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 求數(shù)列cn的

8、前 n 項和 An，并求出 An 的最值.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合13創(chuàng)新設(shè)計解(1)因為an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，1兩式相減，得 an14an，1又當(dāng) n1 時，a 5a 1，知 a14111所以數(shù)列a 是公比、首項均為 的等比數(shù)列.n41n所以數(shù)列a a .的通項公式nn4熱點聚焦分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟考點整合14創(chuàng)新設(shè)計(2)由(1)知bn1log2|an|2n1，數(shù)列bn的前n項和Tnn2，bn1 2n1 1 1，c n2（n1）2n2n1）2（nTnTn11所以 A 12.n（n1）因此An是單調(diào)遞增數(shù)列，13當(dāng) n1 時，

9、A有最小值 A 1 ；A沒有最大值.n1n44熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合15創(chuàng)新設(shè)計給出Sn與an的遞推關(guān)系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)探究提高轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合16創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練1】(2019濟南調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項和是Sn，且Sn2an1(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令 bnlog2an，求數(shù)列(1)nb2前 2n 項的和 T.nSn2an1，解 (1)當(dāng) n2 時，由得 an2an1

10、，Sn12an11，又當(dāng)n1得a11，于是an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.所以an2n1.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合17創(chuàng)新設(shè)計(2)由(1)知，bnlog2anlog22n1n1，于是數(shù)列bn是首項為0，公差為1的等差數(shù)列.Tb2b2b2b2b2b212342n12nb1b2b3b2n1b2n，2n（2n1）所以 Tn(2n1).2熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟考點整合18創(chuàng)新設(shè)計熱點二數(shù)列的求和角度1分組轉(zhuǎn)化法求和【例21】(2019石家莊調(diào)研)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a81，S1624.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)若數(shù)列bn是遞增

11、的等比數(shù)列且b1b49，b2b38，求(a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1).a17d1，a16，解 (1)由已知得解得2a115d3，d1.an6(n1)1n7.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟考點整合19創(chuàng)新設(shè)計(2)數(shù)列bn是遞增的等比數(shù)列，由b2b38，得b1b48， 又b1b49，聯(lián)立，得b11，b48. 因此公比q2，則bn2n1，(a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1)(a1a3a2n1)(b1b3b2n1)(6422n8)(14164n1)n（62n8）（14n）4n1n27n.2314熱點聚焦分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考

12、點整合20創(chuàng)新設(shè)計1.在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意運用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和探究提高轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和.在利用分組求和法求和時，常常根據(jù)需要對項數(shù)n的奇偶進行討論.最后再驗證是否可以合并為一個表達式.2.分組求和的策略：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組；(2)根據(jù)正號、負號分組.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合21創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練2】 (2019貴陽診斷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a28，S440.數(shù)列bn的前n項和為Tn，且Tn2bn30，nN*.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；an，n為奇數(shù)，(2)設(shè) cn求數(shù)列cn的前 n 項和 Pn.bn

13、，n為偶數(shù)，熱點聚焦分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合22創(chuàng)新設(shè)計解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a1d8，a14，由題意，得解得所以 an4n，4a16d40，d4，因為Tn2bn30，所以當(dāng)n1時，b13，當(dāng)n2時，Tn12bn130， 兩式相減，得bn2bn1(n2)，則數(shù)列bn為首項為3，公比為2的等比數(shù)列，所以bn32n1.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合23創(chuàng)新設(shè)計4n，n為奇數(shù)，(2)cnn132，n為偶數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時，Pn(a1a3an1)(b2b4bn)（44n4） n6（14n）2 22n1n22.214當(dāng)n為奇數(shù)時，熱點聚焦 分類突破歸

14、納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合24創(chuàng)新設(shè)計法一n1(n3)為偶數(shù)，PnPn1cn2(n1)1(n1)224n2nn22n1，n1時符合上式.法二Pn(a1a3an2an)(b2b4bn1)n1n1（44n）6（14）222nn22n1.2142n1n22，n為偶數(shù)，2 n 2n1，n為奇數(shù).所以 Pnn2熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟考點整合25創(chuàng)新設(shè)計角度2裂項相消法求和【例 22】 (2019西安質(zhì)檢)在公差不為 0 的等差數(shù)列an中，a2a a ，且 a為 a23631與 a11 的等比中項.(1)求數(shù)列an的通項公式； nn*(2)設(shè)b (1)(nN )，求數(shù)列b 的

15、前n項和T .nnn11anan1 22熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合26創(chuàng)新設(shè)計解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，a2a a ，236(a1d)2a12da15d，a2a a，3111即(a12d)2a1( a110d)，d0，由解得a12，d3.數(shù)列an的通項公式為an3n1(nN*).熱點聚焦分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合27創(chuàng)新設(shè)計(2)由題意知，1 1 11 1 1 nbn(1)n(1)n33n(1) 6 3n29 2n12n13 33n23n23n2 1 11111111（1）nTn2n12n191335571n 191（1） 2n1.熱點聚焦分類突

16、破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合28創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.裂項相消求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項.2.消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合29創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練 3】 設(shè)正項等比數(shù)列a ，a 81，且 a ，a的等差中項為32(a1a ).n4232(1)求數(shù)列an的通項公式；，數(shù)列b 的前 n 項為 S ，數(shù)列c 滿足 c 1T為，(2) 若 b log an32n1nnnnn4S 1n數(shù)列cn的前 n 項和，求 Tn.熱

17、點聚焦 分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合30創(chuàng)新設(shè)計解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，a4a1q381，由題意及 a2a33(a1a2)，得2a1qa1q 3（a1a1q）.解得a1q3.所以ana1qn13n.(2)由(1)得bnlog332n12n1，n（b1bn）n1（2n1）n2Sn221 11 1c 22n12n1，4n2n11 1 1111 nTn13.2352n12n12n1熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合31創(chuàng)新設(shè)計角度3錯位相減法求和an112nn1*【例 23】 (2019成都七中診斷)在數(shù)列a a ，且(nN ).中，已知n12an

18、(1) 求an的通項公式；(2) 求an的前 n 項和 Sn.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合32創(chuàng)新設(shè)計an1n1an11 an*解 (1) 由2n ，nN .得，a2nn1nan111又 a ，所以是以 為首項、 為公比的等比數(shù)列.1n222an 1 n*于是，則 a (nN )nnnn22 n*a a ，nN .故的通項公式為2nnn熱點聚焦分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟考點整合33創(chuàng)新設(shè)計n11 2 3 n(2)由 Sn22223 2n1 2n，n11 1 2 3 n得2Sn222324 2nn1，2n2 1 11 1 1 1 n n1兩式相減，得2Sn22223

19、2n n11n1 .nn12222于是a 的前 n 項和 S 2n2N*).(n2nnn熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合34創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比， 然后作差求解.2.在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確地寫出“SnqSn”的表達式.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合35創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練4】 (2019武漢調(diào)研)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)

20、列an的通項公式；bn(2)b n項和為 S ，已知 Sb b為各項非零的等差數(shù)列，其前，求數(shù)列nn2n1nn1an的前 n 項和 Tn.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合36創(chuàng)新設(shè)計a1（1q）6，解(1)設(shè)an的公比為 q，由題意知22a1qa1q ，a12，n又 an0，解得所以 an2 .q2，（2n1）（b1b2n1）(2)由題意知：S2n1(2n1)bn1，2又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.2n1bn令 cnan，則 cn，2n熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合37創(chuàng)新設(shè)計2n12n13 5 7因 此 T c c cn2222

21、3，2n2n1n122n1 2n2n12n1又1T 3 5 7n22232421 1 12n12n5135兩式相減得 Tn n1 ，222n1n12222222n5所以 Tn5.2n熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合38創(chuàng)新設(shè)計熱點三與數(shù)列相關(guān)的綜合問題1【例 3】 設(shè) f(x)2x22x，f(x)是 yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，若數(shù)列a 滿足 af(a )，且首nn1n項 a11.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn中，b1a1，b2a2，數(shù)列bn的前n項和為Tn，請寫出適合條件TnSn的所有n的值.熱點聚焦分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感

22、悟 考點整合39創(chuàng)新設(shè)計1(1)由 f(x)2x22x，得 f(x)x2.解an1f(an)，且a11.an1an2，則an1an2，因此數(shù)列an是公差為2，首項為1的等差數(shù)列.an12(n1)2n1.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié)思維升華真題感悟 考點整合40創(chuàng)新設(shè)計n（12n1）n2，(2)數(shù)列a 的前 n 項和 Snn2等比數(shù)列bn中，b1a11，b2a23，q3.bn3n1.13n3n13n1數(shù)列bn的前 n 項和 Tn 13 31 .23n1n2.TnSn 可化為2又nN*，n1，或n2.故適合條件TnSn的所有n的值為1和2.熱點聚焦分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟 考點整合41創(chuàng)新設(shè)計探究提高1.求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題要注意兩點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別注意；(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件.2.數(shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理.熱點聚焦 分類突破歸納總結(jié) 思維升華真題感悟考點整合42創(chuàng)新設(shè)計【訓(xùn)練5】已