2011年上海市高考數(shù)學試卷(理科)答案與解析

1、2011年上海市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題4分，滿分56分）1（4分）（2011上海）函數(shù)的反函數(shù)為f1（x）=，（x0）【考點】反函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】直接利用函數(shù)的表達式，解出用y表示x的式子，即可得到答案【解答】解：設，可得xy2y=1，xy=1+2y，可得，將x、y互換得原函數(shù)的值域為yy|y0，（x0）故答案為：，（x0）【點評】本題考查了求函數(shù)的反函數(shù)的一般步驟，屬于簡單題2（4分）（2011上海）若全集U=R，集合A=x|x1x|x0，則UA=（0，1）【考點】補集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【

2、分析】由已知條件我們易求出集合A，再根據(jù)補集的定義，易求出CUA【解答】解：集合A=x|x1x|x0=x|x1，或x0CUA=x|0x1=（0，1）故答案為：（0，1）【點評】本題考查的知識點是補集及其運算，其中求出滿足條件的集合A是解答的關鍵3（4分）（2011上海）設m是常數(shù)，若點F（0，5）是雙曲線的一個焦點，則m=16【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)雙曲線的焦點坐標判斷雙曲線的焦點位置是解決本題的關鍵，利用雙曲線標準方程中的分母與焦點非零坐標的關系，列出關于m的方程，通過解方程求出m的值【解答】解：由于點F（0，5）是雙曲線的一個焦點

3、，故該雙曲線的焦點在y軸上，從而m0從而得出m+9=25，解得m=16故答案為：16【點評】本題考查雙曲線標準方程中的分母幾何意義的認識，考查雙曲線焦點位置與方程的關系、考查學生對雙曲線中a，b，c關系式的理解和掌握程度，考查學生的方程思想和運算能力，屬于基本題型4（4分）（2011上海）不等式的解為【考點】其他不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】通過移項通分，利用兩個數(shù)的商小于等于0等價于它們的積小于等于0，注意分母不為0；再解二次不等式即可【解答】解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案為：【點評】本題考查將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式、注意：分母不為0；考查二次不等式的解法5

4、（4分）（2011上海）在極坐標系中，直線（2cos+sin）=2與直線cos=1的夾角大小為arctan（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【考點】簡單曲線的極坐標方程；兩直線的夾角與到角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，進行代換即得直角坐標系，再利用直線的直角坐標方程求出它們的夾角即可【解答】解：（2cos+sin）=2，cos=12x+y2=0與x=12x+y2=0與x=1夾角的正切值為直線（2cos+sin）=2與直線cos=1的夾角大小為arctan故答案為：arctan【點評】本題考查點的極坐標和直角坐標的互化

5、，能進行極坐標和直角坐標的互，屬于基礎題6（4分）（2011上海）在相距2千米的A、B兩點處測量目標點C，若CAB=75，CBA=60，則A、C兩點之間的距離為千米【考點】解三角形的實際應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】解三角形【分析】先由A點向BC作垂線，垂足為D，設AC=x，利用三角形內(nèi)角和求得ACB，進而表示出AD，進而在RtABD中，表示出AB和AD的關系求得x【解答】解：由A點向BC作垂線，垂足為D，設AC=x，CAB=75，CBA=60，ACB=1807560=45AD=x在RtABD中，ABsin60=xx=（千米）答：A、C兩點之間的距離為千米故答案為：下由正弦定理求解：CAB=75，

6、CBA=60，ACB=1807560=45又相距2千米的A、B兩點，解得AC=答：A、C兩點之間的距離為千米故答案為：【點評】本題主要考查了解三角形的實際應用主要是利用了三角形中45和60這兩個特殊角，建立方程求得AC7（4分）（2011上海）若圓錐的側(cè)面積為2，底面面積為，則該圓錐的體積為【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】求出圓錐的底面周長，然后利用側(cè)面積求出圓錐的母線，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的底面面積為，則其底面半徑是1，底面周長為2，又，圓錐的母線為2，則圓錐的高，所以圓錐的體積=故答案為【點評】本題是基礎題，考查圓錐的

7、有關計算，圓錐的側(cè)面積，體積的求法，考查計算能力8（4分）（2011上海）函數(shù)的最大值為【考點】三角函數(shù)的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】利用誘導公式和積化和差公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得函數(shù)的最大值【解答】解：=cosxcos（x）=sin（+2x）+故答案為：【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，利用誘導公式和積化和差公式的化簡求值考查了考生對三角函數(shù)基礎公式的熟練記憶9（4分）（2011上海）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表：x123P（=x）？?。空埿∨Ｍ瑢W計算的數(shù)學期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？

8、”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E=2【考點】離散型隨機變量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；整體思想【分析】根據(jù)已知設出P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，且根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知2a+b=1，根據(jù)離散型隨機變量分布列的期望求法即可求得結(jié)果在計算過程中注意整體性【解答】解：設P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，則2a+b=1，E=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案為2【點評】此題是個基礎題考查離散型隨機變量的期望和方差，在計算過程中注意離散型隨機變量分布列的性質(zhì)和整體代換10（4分）（2011上海）行列式（a，b，c，d1，1，2）所有可能的值

9、中，最大的是6【考點】二階行列式的定義菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】先按照行列式的運算法則，直接展開化簡得adbc，再根據(jù)條件a，b，c，d1，1，2進行分析計算，比較可得其最大值【解答】解：，a，b，c，d1，1，2ad的最大值是：22=4，bc的最小值是：12=2，adbc的最大值是：6故答案為：6【點評】本題考查二階行列式的定義、行列式運算法則，是基礎題11（4分）（2011上海）在正三角形ABC中，D是BC上的點若AB=3，BD=1，則=【考點】向量在幾何中的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)AB=3，BD=1，確定點D在正三角形ABC中的位置，根據(jù)

10、向量加法滿足三角形法則，把用表示出來，利用向量的數(shù)量積的運算法則和定義式即可求得的值【解答】解：AB=3，BD=1，D是BC上的三等分點，=9=，故答案為【點評】此題是個中檔題考查向量的加法和數(shù)量積的運算法則和定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想12（4分）（2011上海）隨機抽取的9位同學中，至少有2位同學在同一月份出生的概率為0.985（默認每個月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001）【考點】古典概型及其概率計算公式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】概率與統(tǒng)計【分析】本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)129，至少有2位同學在同一個月出生的對立事件是沒有人生日在同一個月，共有A129種結(jié)果，根據(jù)對立事件和

11、古典概型的概率公式得到結(jié)果【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)129，至少有2位同學在同一個月出生的對立事件是沒有人生日在同一個月，共有A129種結(jié)果，要求的事件的概率是1=10.985，故答案為：0.985【點評】本題考查古典概型及其概率計算公式，考查對立事件的概率，是一個基礎題，也是一個易錯題，注意本題的運算不要出錯13（4分）（2011上海）設g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間3，4上的值域為2，5，則f（x）在區(qū)間10，10上的值域為15，11【考點】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值域菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想【

12、分析】根據(jù)已知中g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，由函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間3，4上的值域為2，5，結(jié)合函數(shù)的周期性，我們可以分別求出f（x）在區(qū)間10，9，9，8，9，10上的值域，進而求出f（x）在區(qū)間10，10上的值域法二：可根據(jù)g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，研究函數(shù)f（x）=x+g（x）的性質(zhì)，得f（x+1）f（x）=1，由此關系求出函數(shù)在f（x）在區(qū)間10，10上的值域即可【解答】解：法一：g（x）為R上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1）又函數(shù)f（x）=x+g（x）在3，4的值域是2，5令x+6=t，當x3，4時，t=x+69，10此時，f（t）=t+g

13、（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=x+g（x）+6 所以，在t9，10時，f（t）4，11（1）同理，令x13=t，在當x3，4時，t=x1310，9此時，f（t）=t+g（t）=（x13）+g（x13）=（x13）+g（x）=x+g（x）13 所以，當t10，9時，f（t）15，8（2）由（1）（2）得到，f（x）在10，10上的值域為15，11故答案為：15，11法二：由題意f（x）x=g（x） 在R上成立 故 f（x+1）（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）f（x）=1由此知自變量增大1，函數(shù)值也增大1故f（x）在10，10上的值域為15，11故答案為：15，1

14、1【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的周期性及函數(shù)的值域，其中根據(jù)函數(shù)的周期性利用換元法將區(qū)間10，9上的值域轉(zhuǎn)化為區(qū)間3，4上的值域問題，是解答本題的關鍵14（4分）（2011上海）已知點O（0，0）、Q0（0，1）和點R0（3，1），記Q0R0的中點為P1，取Q0P1和P1R0中的一條，記其端點為Q1、R1，使之滿足（|OQ1|2）（|OR1|2）0，記Q1R1的中點為P2，取Q1P2和P2R1中的一條，記其端點為Q2、R2，使之滿足（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，得到P1，P2，Pn，則=【考點】數(shù)列與解析幾何的綜合；數(shù)列的極限菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】綜合題；壓軸題【分析】由題意（

15、|OQ1|2）（|OR1|2）0，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，則Q1、R1；Q2、R2，中必有一點在（）的左側(cè)，一點在右側(cè)，根據(jù)題意推出P1，P2，Pn，的極限為：（），然后求出【解答】解：由題意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，所以第一次只能取P1R0一條，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，則Q1、R1；Q2、R2，中必有一點在（）的左側(cè)，一點在右側(cè)，由于P1，P2，Pn，是中點，根據(jù)題意推出P1，P2，Pn，的極限為：（），所以=|Q0P1|=，故答案為：【點評】本題是基礎題，考查數(shù)列的極限，數(shù)列與解析幾何的綜合，極限的思想的應用，注意分析題意，Pn的規(guī)律是本題

16、解答的關鍵，考查邏輯推理能力二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）15（5分）（2011上海）若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD【考點】基本不等式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】綜合題【分析】利用基本不等式需注意：各數(shù)必須是正數(shù)不等式a2+b22ab的使用條件是a，bR【解答】解：對于A；a2+b22ab所以A錯對于B，C，雖然ab0，只能說明a，b同號，若a，b都小于0時，所以B，C錯ab0故選：D【點評】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時，必須注意滿足的條件：已知、二定、三相等16（5分）（2011上海）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間（0，+）

17、上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）ABy=x3Cy=2|x|Dy=cosx【考點】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】根據(jù)題意，將x用x代替判斷解析式的情況利用偶函數(shù)的定義判斷出為偶函數(shù)；求出導函數(shù)判斷出導函數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性【解答】解：對于函數(shù)的定義域為xR且x0將x用x代替函數(shù)的解析式不變，所以是偶函數(shù)當x（0，+）時，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減的函數(shù)故選A【點評】本題考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義；考查利用導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性17（5分）（2011上海）設A1，A2，A3，A4，A5是平面上給定的5個不同點，則使=成立的點M的個數(shù)為（）A

18、0B1C5D10【考點】向量的加法及其幾何意義菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】根據(jù)題意，設出M與A1，A2，A3，A4，A5的坐標，結(jié)合題意，把M的坐標用其他5個點的坐標表示出來，進而判斷M的坐標x、y的解的組數(shù)，進而轉(zhuǎn)化可得答案【解答】解：根據(jù)題意，設M的坐標為（x，y），x，y解得組數(shù)即符合條件的點M的個數(shù)，再設A1，A2，A3，A4，A5的坐標依次為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，得（x1x，y1y）+（x2x，y2y）+（x3x，y3y）+（x4x，y4y）+（x5x，y5y）=，則有x=，y=；只有一組解，即符合條

19、件的點M有且只有一個；故選B【點評】本題考查向量加法的運用，注意引入點的坐標，把判斷點M的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求其坐標即關于x、y的方程組的解的組數(shù)，易得答案18（5分）（2011上海）設an是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai+1的矩形的面積（i=1，2，），則An為等比數(shù)列的充要條件是（）Aan是等比數(shù)列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題【分析】根據(jù)題意可表示Ai，先看必要性，An為等比數(shù)列推

20、斷出為常數(shù)，可推斷出a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同；再看充分性，要使題設成立，需要為常數(shù)，即a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相等，答案可得【解答】解：依題意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An為等比數(shù)列則=q（q為常數(shù)），則a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比均為q；反之要想An為等比數(shù)列則=需為常數(shù)，即需要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相等；故An為等比數(shù)列的充要條件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同故選

21、D【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，充分條件，必要條件和充分必要條件的判定考查了學生分析問題和基本的推理能力三、解答題（共5小題，滿分74分）19（12分）（2011上海）已知復數(shù)z1滿足（z12）（1+i）=1i（i為虛數(shù)單位），復數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z2【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】利用復數(shù)的除法運算法則求出z1，設出復數(shù)z2；利用復數(shù)的乘法運算法則求出z1z2；利用當虛部為0時復數(shù)為實數(shù)，求出z2【解答】解：z1=2i設z2=a+2i（aR）z1z2=（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是實數(shù)4a=0解得a=4所

22、以z2=4+2i【點評】本題考查復數(shù)的除法、乘法運算法則、考查復數(shù)為實數(shù)的充要條件是虛部為020（12分）（2011上海）已知函數(shù)f（x）=a2x+b3x，其中常數(shù)a，b滿足ab0 （1）若ab0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若ab0，求f（x+1）f（x）時的x的取值范圍【考點】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】（1）先把ab0分為a0，b0與a0，b0兩種情況；然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可作出判斷（2）把ab0分為a0，b0與a0，b0兩種情況；然后由f（x+1）f（x）化簡得a2x2b3x，再根據(jù)a的正負性得或；最后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求

23、出x的取值范圍【解答】解：（1）若a0，b0，則y=a2x與y=b3x均為增函數(shù)，所以f（x）=a2x+b3x在R上為增函數(shù)；若a0，b0，則y=a2x與y=b3x均為減函數(shù)，所以f（x）=a2x+b3x在R上為減函數(shù)（2）若a0，b0，由f（x+1）f（x）得a2x+1+b3x+1a2x+b3x，化簡得a2x2b3x，即，解得x；若a0，b0，由f（x+1）f（x）可得，解得x【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的方法21（14分）（2011上海）已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點（1）設AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，

24、二面角AB1D1A1的大小為求證：；（2）若點C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）此題由題意畫出圖形因為ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點，且設AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，二面角AB1D1A1的大小為，所以應先利用線面角及二面角的定義求出，即可得證；（2）由圖形借助面面垂直找到點C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出【解答】解：（1）由題意畫出圖形為：ABCDA1B1C1D1是底面邊長

25、為1的正四棱柱，底面為正方形且邊長為1，又因為AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，又因為二面角AB1D1A1的大小為，且底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點，AO1A1=，而底面A1B1C1D1為邊長為1的正方形，（2）O1為B1D1的中點，而AB1D1是以B1D1為底邊的等腰三角形，AO1B1D1B1D1平面ACC1A1平面AB1D1平面ACC1A1且交線為AO1，點C到平面AB1D1的投影點必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用RtAA1O1RtCHA 得到，而，AA1=2，故正四棱錐的高為AA1=2【點評】此題重點考查了線面角，二面角，點到面的距離這

26、些定義，還考查了學生的空間想象能力及計算能力22（18分）（2011上海）已知數(shù)列an和bn的通項公式分別為an=3n+6，bn=2n+7（nN*）將集合x|x=an，nN*x|x=bn，nN*中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，cn，（1）寫出c1，c2，c3，c4；（2）求證：在數(shù)列cn中，但不在數(shù)列bn中的項恰為a2，a4，a2n，；（3）求數(shù)列cn的通項公式【考點】等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的概念及簡單表示法菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】綜合題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）利用兩個數(shù)列的通項公式求出前3項，按從小到大挑出4項（2）對于數(shù)列an，對n從奇數(shù)與偶數(shù)進行分類

27、討論，判斷是否能寫成2n+7的形式（3）對an中的n從從奇數(shù)與偶數(shù)進行分類討論，對bn中的n從被3除的情況分類討論，判斷項的大小，求出數(shù)列的通項【解答】解：（1）a1=31+6=9； a2=32+6=12 a3=33+6=15b1=21+7=9 b2=22+7=11 b3=23+7=13 c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解對于an=3n+6，當n為奇數(shù)時，設為n=2k+1則3n+6=2（3k+1）+7bn當n為偶數(shù)時，設n=2k則3n+6=6k1+7不屬于bn在數(shù)列cn中，但不在數(shù)列bn中的項恰為a2，a4，a2n，；（3）b3k2=2（3k2）+7=a2k1b3k1=6k+

28、5 a2k=6k+6b3k=6k+76k+36k+56k+66k+7當k=1時，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4【點評】本題考查利用數(shù)列的通項公式求數(shù)列的項、考查判斷某項是否屬于一個數(shù)列是看它是否能寫出通項形式、考查分類討論的數(shù)學數(shù)學方法23（18分）（2011上海）已知平面上的線段l及點P，任取l上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d（P，l）（1）求點P（1，1）到線段l：xy3=0（3x5）的距離d（P，l）；（2）設l是長為2的線段，求點的集合D=P|d（P，l）1所表示的圖形面積；（3）寫出到兩條線段l1，l2距離相等的點的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），其中l(wèi)1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三組點中的一組對于下列三種情形，只需選做一種，滿分分別是2分，6分，8分；若選擇了多于一種情形，則按照序號較小的解答計分A（1，