2010-2018全國(guó)卷分類匯編(函數(shù)解答題)

1、2010-2018新課標(biāo)全國(guó)卷分類匯編（函數(shù)解答題）（2018課標(biāo)全國(guó) 21）（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：解：（1）由已知，得令， 當(dāng)，即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增. 當(dāng)，即時(shí)，令，（i）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，滿足，不妨設(shè)，則令由（1）知，在上單調(diào)遞減，即原命題得證，即.法二：由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，滿足，不妨設(shè)，則令，則令則在上單調(diào)遞

2、減，則.原命題得證，即.（2018課標(biāo)全國(guó)理21）（12分）已知函數(shù)（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求21解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減而，故當(dāng)時(shí)，即（2）設(shè)函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)（i）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故是在的最小值若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，所以故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，（2018課標(biāo)全國(guó)理21）（12分）已知函數(shù)（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函

3、數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，且僅當(dāng)時(shí)，從而，且僅當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增 又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，這與是的極大值點(diǎn)矛盾（ii）若，設(shè)函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，故與符號(hào)相同又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)如果，則當(dāng)，且時(shí)，故不是的極大值點(diǎn)如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，所以不是的極大值點(diǎn)如果，則則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上，（2017課標(biāo)全國(guó)21）（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解析】 （1）由于故當(dāng)時(shí)，從而恒成立在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，令，從而，得單調(diào)減極小值單調(diào)增 綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上

4、單調(diào)遞增（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件當(dāng)時(shí)，令令，則從而在上單調(diào)增，而故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)若，則，故恒成立，從而無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件若，則，故僅有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件若，則，注意到故在上有一個(gè)實(shí)根，而又且故在上有一個(gè)實(shí)根又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個(gè)實(shí)根又在及上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故在上恰有兩個(gè)實(shí)根綜上，（2017課標(biāo)全國(guó)理21）（12分）已知函數(shù)，且（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析（2）由（1）知 ，設(shè)，則當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)

5、時(shí)，因?yàn)椋允堑奈ㄒ粯O大值點(diǎn)由得，故由得因?yàn)槭窃冢?，1）的最大值點(diǎn)，由，得所以【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出導(dǎo)數(shù)專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（2017課標(biāo)全國(guó)理21）

6、（12分）已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，求的最小值【解析】 ，則，且當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增，所以時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增若，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)矛盾若，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)矛盾若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增滿足題意綜上所述 當(dāng)時(shí)即則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，一方面：，即另一方面：當(dāng)時(shí)，的最小值為（2016課標(biāo)全國(guó)，理21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（）求的取值范圍；（）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：【解析】：由已知得：若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；若，那么，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;即：極小值故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在上至多

7、一個(gè)零點(diǎn)由于，則，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)而當(dāng)時(shí)，故則的兩根， ，因?yàn)?，故?dāng)或時(shí)，因此，當(dāng)且時(shí)，又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意若，則，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值而極大值故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意若，那么當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意若，則當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值

8、，那么恒成立，即無(wú)解當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，即的取值范圍為由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：, ，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，,則，故單調(diào)遞增，有因此，對(duì)于任意的，由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：（2016課標(biāo)全國(guó)，理21）（本小題滿分12分）()討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；()證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域【解析】試題分析：（）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論；（）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，

9、又用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（）的定義域?yàn)?且僅當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，所以（II）由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調(diào)遞增所以，由得因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是考點(diǎn)： 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.（2016課標(biāo)全國(guó)，理21)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為（）求；（）求；（）證明試題解析：（）（）當(dāng)時(shí)，因此， 4分當(dāng)時(shí)，將變形為令，則是在上的最大值，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為令，解得（舍去），（）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，所以（）由（）得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)

10、，所以.當(dāng)時(shí)，所以.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；3、三角函數(shù)的有界性【歸納總結(jié)】求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式將解析式化為形如的形式；（2）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合正弦曲線與余弦曲線進(jìn)行求解(2015課標(biāo)全國(guó)，理21)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）= ()當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)試題解析：（）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，即，解得.因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線. 5分（）當(dāng)時(shí)，從而， 在（1，+）無(wú)零點(diǎn). 當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不

11、是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).()若或，則在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn). ()若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=.學(xué)優(yōu)高考網(wǎng) 若0，即0，在（0,1）無(wú)零點(diǎn). 若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)； 若0，即，由于，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).10分綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn). 12分(2015課標(biāo)全國(guó)，理21)設(shè)函數(shù)f(x)emx+x2mx.(1)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，

12、在(0，+)單調(diào)遞增;(2)若對(duì)于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.解：(1)f(x)m(emx1)+2x.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)0;當(dāng)x(0，+)時(shí)，emx10，f(x)0.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)0;當(dāng)x(0，+)時(shí)，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，+)單調(diào)遞增.(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值.所以對(duì)于任意x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是f(1)-f(0)e-1，f(-1)-f

13、(0)e-1，即em-me-1，e-m+me-1.設(shè)函數(shù)g(t)ette+1，則g(t)et1.當(dāng)t0時(shí)，g(t)0;當(dāng)t0時(shí)，g(t)0.故g(t)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，+)單調(diào)遞增.又g(1)0，g(1)e1+2e0，故當(dāng)t1，1時(shí)，g(t)0.當(dāng)m1，1時(shí)，g(m)0，g(m)0，即式成立;當(dāng)m1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)0，即emme1;當(dāng)m1時(shí)，g(m)0，即em+me1.綜上，m的取值范圍是1，1.(2014課標(biāo)全國(guó)，理21)設(shè)函數(shù)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.分析：(1)由已知可得f(1)e(1

14、1)22，切線斜率kef(1)，由此可求出a，b.(2)由(1)可求f(x)，結(jié)合不等式的特點(diǎn)將之轉(zhuǎn)化為g(x)h(x)的形式，通過(guò)比較g(x)的最小值與h(x)的最大值進(jìn)行證明解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，.由題意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)由(1)知，從而f(x)1等價(jià)于.設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當(dāng)時(shí)，g(x)0；當(dāng)時(shí)，g(x)0.故g(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)的最小值為.設(shè)函數(shù)，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.故h(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1，)

15、單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)的最大值為.綜上，當(dāng)x0時(shí)，g(x)h(x)，即f(x)1.(2014課標(biāo)全國(guó)，理21)已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 21.414 3，估計(jì)ln 2的近似值(精確到0.001)分析：在第(1)問(wèn)中，利用求導(dǎo)公式求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)可討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；在第(2)問(wèn)中，先根據(jù)條件求出g(x)表達(dá)式，然后對(duì)其求導(dǎo)，其次利用分類討論的思想討論b，進(jìn)而求出b的最大值；在第(3)問(wèn)中，由第(2)問(wèn)可求出的表達(dá)式，再通過(guò)特殊值法

16、，取b的兩個(gè)值使與，由此確定出表達(dá)式中l(wèi)n 2的范圍上限與下限，最后求得ln 2的近似值解：(1)f(x)exex20，等號(hào)僅當(dāng)x0時(shí)成立，所以f(x)在(，)單調(diào)遞增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)當(dāng)b2時(shí)，g(x)0，等號(hào)僅當(dāng)x0時(shí)成立，所以g(x)在(，)單調(diào)遞增而g(0)0，所以對(duì)任意x0，g(x)0；當(dāng)b2時(shí)，若x滿足2exex2b2，即0xln(b1)時(shí)，g(x)0.而g(0)0，因此當(dāng)0xln(b1)時(shí)，g(x)0.綜上，b的最大值為2.(3)由(2)知

17、，.當(dāng)b2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以ln 2的近似值為0.693.(2013課標(biāo)全國(guó)，理21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2

18、，則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.若1ke2，則2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x(x1，)時(shí)，F(xiàn)(x)0.即F(x)在(2，x1)單調(diào)遞減，在(x1，)單調(diào)遞增故F(x)在2，)的最小值為F(x1)而F(x1)2x124x12x1(x12)0.故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)單調(diào)遞增而F(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則F(2)2ke222e2

19、(ke2)0.從而當(dāng)x2時(shí)，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2(2013課標(biāo)全國(guó)，理21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.解：(1)f(x).由x0是f(x)的極值點(diǎn)得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域?yàn)?1，)，f(x).函數(shù)f(x)在(1，)單調(diào)遞增，且f(0)0.因此當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(1,0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增(2)當(dāng)m2，x(m，)時(shí)，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)在(2，)單調(diào)遞增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一實(shí)根x0，且x0(1,0)當(dāng)x(2，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值由f(x0)0得，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.綜上，當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.(2012課標(biāo)全國(guó)，理21)已知函數(shù).() 求的解析式及單調(diào)區(qū)間；() 若，求的最大值解: () ,令得,再由,令得.所以的解析式為.,易知是上的增函數(shù),且.