數學物理方法課件：場論的基本概念

1、場論的基本概念,數理方法課程必備基礎； 在彈性力學、流體力學、電磁學等學科中具有應用廣泛； 掌握場論基本概念及其計算方法，對數理方程的學習至關重要；,場的概念,場 如果在全空間或部分空間中的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，就稱這空間里確定了該物理量的場。,場的實例 溫度場、密度場、電勢場； 重力場、流場、加速度場；,場的分類：數量場和矢量場 物理量是否具有方向性；,場的分類：穩(wěn)定場和不穩(wěn)定場 物理量是否隨時間改變；如：定常流，非定常流。,數量場的梯度,數量場的記法 u(x, y, z)表示點M(x, y, z)坐標的單值函數，記為u(M). 要求，u存在連續(xù)的一階偏導數。,數量場的梯

2、度,方向導數是否有界？,梯度的概念 數量場u在點M處存在這樣的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向導數最大，以此最大值作為G(M)的模，稱矢量G(M)為函數u在點M處的梯度，記為 G(M)=grad u(M),那么，在什么方向上，方向導數最大呢？,記l0是射線l上的單位矢量。,表示變化率，有界。,數量場的梯度,那么，在什么方向上，方向導數最大呢？ 矢量l和 同方向時。,向量夾角,數量場的梯度,矢量l和 同方向時，方向導數最大，因此，梯度為的方向就確定了。,分別是x, y, z方向的單位矢量。,但是，其長度呢？,梯度的概念 數量場u在點M處存在這樣的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向導數最大，以此

3、最大值作為G(M)的模，稱矢量G(M)為函數u在點M處的梯度,解：,數量場梯度：舉例,方向導數、梯度的數理含義,數學含義： 數量場中每一點M處的梯度，必垂直于過該點的場函數的等值面u(x, y, z)=c（常數）, 并指向函數增大的方向。,例如：梯度在熱傳導中的物理解釋 熱量從溫度值較大的等溫面流向值小的等溫面。,例如：物體在光滑曲面滑落 其經過路徑各點的方向上，重力勢場具有最大的方向導數。,矢量場的散度和旋度,矢量場的記法： A(x, y, z)表示點M(x, y, z)坐標的矢量函數，記為A(M) A(M)P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 其中，P, Q

4、, R稱為矢量場A(M)的坐標。,矢量線 曲線上每一點M處，場矢量A(M)都位于該點的切線上。 例如：流場中的流線，磁場中的磁力線。,通量 矢量場A(M)通過某曲面S的矢量線數， 稱為通量。 例如，通過某曲面的流量，即是通量。,面積微單元矢量,矢量場的散度,散度 在場中M點處，穿出包含M點的任意閉曲面S的通量對體積的變化率 其中， V是S包含的區(qū)域。,記為divA(M),面積微單元矢量,矢量場的散度,因此，散度的微分形式為,矢量場的散度：例,矢量場的旋度,環(huán)量 矢量場A(M)沿有向閉曲線L的曲線積分 稱為矢量場A沿L的環(huán)量。 例如：質點受力場F沿閉曲線L運動所作的功； 速度場的環(huán)流量等。,環(huán)量面密度 在矢量場A(M)中，取過點M0且以給定方向n作為切面法向的微小曲面S，場A在S的邊界L上的環(huán)量對面積S的變化率,矢量場的旋度,環(huán)量面密度 選擇不同的方向n，有不同的微小曲面S，那么有不同的環(huán)量面密度。 總有一個方向