第二節(jié) 平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程.ppt

1、機(jī)械波,振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做波動(dòng),波動(dòng)的形式是多種多樣的，一般可分為：,機(jī)械波： 機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。,電磁波： 電磁振動(dòng)在空間的傳播。,物質(zhì)波： 運(yùn)動(dòng)物體伴隨的波動(dòng)。,各種類型的波有其特殊性，例如:聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時(shí)可以直接把它看作粒子光子的運(yùn)動(dòng)，但各種類型的波也有普遍的共性 。,彈性介質(zhì)和波源（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）,縱波和橫波：,(1) 質(zhì)元并未“隨波逐流” 波的傳播不是媒 質(zhì)質(zhì)元的傳播,(2) “上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng),(3) 某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻 于“下游”某處出現(xiàn)-波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播,波長(zhǎng)、頻率、和波速之

2、間的關(guān)系,平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù),一、波函數(shù)（定量描述波在空間的傳播）,數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系.,二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù),平面簡(jiǎn)諧波：,波面為平面的簡(jiǎn)諧波.,平面簡(jiǎn)諧波傳播時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)相位一般不同，它們的位移也不相同。據(jù)波陣面的定義可知，任一時(shí)刻在同一波陣面上的各點(diǎn)有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相同的位移。,t,O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：,P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t 的位移為：,波動(dòng)表式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系.,P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t 的位移為：,因此，波線上任一點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿x

3、 軸正方向前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。,波函數(shù),沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：,沿x軸正方向傳播,沿x軸負(fù)方向傳播,P點(diǎn)落后o點(diǎn),P點(diǎn)超前o點(diǎn),時(shí)間,時(shí)間,波函數(shù)為：,上述過(guò)程給出了一個(gè)寫出簡(jiǎn)諧波方程的步驟：, 已知某點(diǎn)的振動(dòng)方程（不一定是波源）, 根據(jù)波的傳播方向，判斷各點(diǎn)振動(dòng)的先后次序, 找出時(shí)間差 ( 0), 將時(shí)間差 代入已知振動(dòng)方程，即可得波動(dòng)方程：,波函數(shù)其它形式,角波數(shù)：表示單位長(zhǎng)度上波的相位變化,波動(dòng)表式的意義：,上式代表x1處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率w 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,即,x 一定：令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是時(shí)間t 的函數(shù)。,即,以y為縱坐標(biāo)、x 為橫坐標(biāo)，得到一

4、條余弦曲線，它是t1時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線(波形圖)。,t 一定:令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是x 的函數(shù)。,沿波線方向，任意兩點(diǎn)x1、x2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位差為：,x、t 都變化:,實(shí)線：t1 時(shí)刻波形；虛線：t2 時(shí)刻波形,當(dāng)t=t1時(shí)，,當(dāng)t2= t1+t時(shí)，,在t1和t1+t時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)平衡位置用x1和x2表示，則,令 ，得,在t 時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形向波的傳播方向移動(dòng)了 ，波速u 是整個(gè)波形向前傳播的速度。,坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為,試求：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；,（2） 波函數(shù)（向右傳播）；,（3）離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；,

5、（4）離原點(diǎn)20cm和30cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；,（5）在原點(diǎn)振動(dòng)0.0021s時(shí)的波形；,解：,由題意,波長(zhǎng),周期,（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式,（2）波函數(shù),（3）原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式,（4）兩點(diǎn)間距離,相位差,y,y,例2一橫波沿一弦線傳播。設(shè)已知t =0時(shí)的波形曲線如下圖中的虛線所示。波速u為12m/s，求(1)振幅；(2)波長(zhǎng)；(3)波的周期；(4)弦上任一質(zhì)點(diǎn)的最大速率；(5)圖中a、b兩點(diǎn)的相位差；(6)3T/4時(shí)的波形曲線.（a、b兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為15和35cm）,解: 由波形曲線圖可看出：,(2) =40cm；,(1) A=0.5cm；,(3)波的周期,t

6、 =0,(4)質(zhì)點(diǎn)的最大速率,(5)a、b兩點(diǎn)相隔半個(gè)波長(zhǎng)，b點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)比a點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位落后 。,(6)3T/4時(shí)的波形如下圖中實(shí)線所示，波峰M1和M2已分別右移 而到達(dá) 和 處。,例3 ：如圖是一平面余弦橫波在時(shí)刻t=0的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿ox軸正向傳播。 求：(1) a、b兩點(diǎn)振動(dòng)方向; (2) O點(diǎn)振動(dòng)方程; (3) 波動(dòng)表式,解： 由于波沿x正向傳播，因此任意時(shí)刻任意點(diǎn)都將重復(fù)其前的點(diǎn)（圖中左側(cè)點(diǎn)）的振動(dòng)，由此可知：,這個(gè)問(wèn)題也可以由下一時(shí)刻的波形曲線得到，如左圖黃線示，而且比較直觀。,此外：,a點(diǎn)將向下振動(dòng)； b點(diǎn)將向上振動(dòng)。, 由已知圖可得：, 至此可寫出波動(dòng)方程為：,例4：一列沿ox正向傳播的簡(jiǎn)諧波，在時(shí)刻t1=0,t2=0.25s的兩個(gè) 波形如圖所示。求：(1)P的振動(dòng)表達(dá)式，(2)此波的波動(dòng)表式，(3)畫出O點(diǎn)的振動(dòng)曲線。,解： 由已知圖分析可得：,當(dāng)t=0時(shí),對(duì)P點(diǎn)有：, 任意位置x與P點(diǎn)的距離為(x-OP) 由圖可知：, 當(dāng)t=0時(shí)，O點(diǎn)有：,（或不判斷初相而直接由原圖分析）,則有O點(diǎn)振動(dòng)曲線如下:,例5：平面簡(jiǎn)諧波某時(shí)刻波形如圖。求：OP點(diǎn)距離。設(shè)此波向右傳播,解