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1、第3章 曲線擬合的最小二乘法,給出一組離散點(diǎn),確定一個(gè)函數(shù)逼近原函數(shù),插值是這樣的一種手段。在實(shí)際中,數(shù)據(jù)不可避免的會(huì)有誤差,插值函數(shù)會(huì)將這些誤差也包括在內(nèi)。,因此,我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段: 不要求過所有的點(diǎn)(可以消除誤差影響); 盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢,靠近這些點(diǎn)。,有時(shí)候,問題本身不要求構(gòu)造的函數(shù)過所有的點(diǎn)。如:5個(gè)風(fēng)景點(diǎn),要修一條公路S使得S為直線,且到所有風(fēng)景點(diǎn)的距離和最小。,先講些預(yù)備知識,對如上2類問題,有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)提法:找函數(shù)空間上的函數(shù)g,使得g到f的距離最小。,向量范數(shù),映射:,滿足:,非負(fù)性,齊次性,三角不等式,稱該映射為向量的一種范數(shù),預(yù)備知識,我們定義兩點(diǎn)的
2、距離為:,定義,常見的范數(shù)有:,常用范數(shù)的等價(jià)關(guān)系:,定義:函數(shù) f 的離散范數(shù)為,提示:該種內(nèi)積,范數(shù)的定義與向量的 2 范數(shù)一致,我們還可以定義函數(shù)的離散范數(shù)為:,f(x)為定義在區(qū)間a,b上的函數(shù), 為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn), 為給定的某一函數(shù)類。求 上的函數(shù) g(x) 滿足 f(x) 和 g(x) 的距離最小,如果這種距離取為2范數(shù)的話,稱為最小二乘問題,曲線擬合的最小二乘問題,定義,下面我們來看看最小二乘問題:,求 使得 最小,設(shè),最小,則,即,關(guān)于系數(shù),即,寫成矩陣形式有:,法方程,第一步:函數(shù)空間的基,,然后列出法方程,第一步:函數(shù)空間的基,,然后列出法方程,例:,第一步:函
3、數(shù)空間的基,,然后列出法方程,由,,可以先做,求解一個(gè)矛盾方程組,計(jì)算的是在均方誤差,極小意義下的解,也就是最小二乘問題。,我們有:,矛盾方程組恒有解,且,矛盾方程組的求解,定義:矩陣范數(shù),矩陣范數(shù),是由向量的范數(shù)定義的,矩陣范數(shù)和條件數(shù),矩陣范數(shù)也是等價(jià)的,對應(yīng)于3種常見的向量范數(shù),有3種矩陣范數(shù),列和的最大值,行和的最大值,定理:,若,為,的特征值,則,證:,x為A的特征值,#證畢,定義:,譜半徑,易知:,條件數(shù)和病態(tài)矩陣,注意到,因?yàn)椋?條件數(shù),很小,條件數(shù)表示了對誤差的放大率,同樣,類似有,注:一般判斷矩陣是否病態(tài),并不計(jì)算A1,而由經(jīng)驗(yàn)得出。 行列式很大或很?。ㄈ缒承┬?、列近似相關(guān)); 元素間相差大數(shù)量級,且無規(guī)則; 主元消去過程中出現(xiàn)小主元; 特征值相差大數(shù)量級。,精確解為,A1 =,解:考察 A 的特征根,39206 1, 測試病態(tài)程度:,此時(shí)精確解為
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