幾何與代數(shù)課件：lec11-空間向量的向量積和混合積

1、,幾何與代數(shù),2010年國(guó)家級(jí)精品課程,第三章 幾何空間,1. 如何判別兩個(gè)向量共線、三個(gè)向量共面？,2. 向量的各種運(yùn)算以及相應(yīng)的幾何意義？,3. 如何求投影直線方程？,問(wèn)題式預(yù)習(xí)、思考題,1. 向量的向量積的兩種計(jì)算方法？,2. 向量的混合積的幾何含義？,3. 平面和直線的方程都有哪幾種？,1. Suppose in R2 I measure the x direction in centimeter (cm) (or Kilometer) and the y direction in meters. (a). Approximately what is the real-world an

2、gle between the vectors (0,1)T and (1,1)T? (b). What is the angle between these two vectors according to the dot-product? (c). Give a definition for an inner product so that the angles produced by the inner product are the actual angles between vectors.,acos, acosd,思考題,Suppose in R2 I measure the x

3、direction in centimeter (cm) and the y direction in meters. (a). Approximately what is the real-world angle between the vectors (0,1)T and (1,1)T? (b). What is the angle between these two vectors according to the dot-product? (c). Give a definition for an inner product so that the angles produced by

4、 the inner product are the actual angles between vectors.,(a). In the real-world, the vectors should be (0,100)T and (1,100)T,(b).,(c).,思考題,Suppose in R2 I measure the x direction in Kilometer (km) and the y direction in meters. (a). Approximately what is the real-world angle between the vectors (0,

5、1)T and (1,1)T? (b). What is the angle between these two vectors according to the dot-product? (c). Give a definition for an inner product so that the angles produced by the inner product are the actual angles between vectors.,(a). In the real-world, the vectors should be (0,1)T and (1000,1)T,(b).,(

6、c).,1. 如何判別兩個(gè)向量共線、三個(gè)向量共面？,2. 向量的數(shù)量積都有什么性質(zhì)？,3. 向量的數(shù)量積與投影之間的關(guān)系是什么？,3.1-2 空間向量及空間坐標(biāo)系,1,2,3共面存在不全為零的實(shí)數(shù)k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = . 1,2,3 線性相關(guān). r(A) 3, = x1x2+y1y2+z1z2,=T,設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn)，力 作用于杠桿上P點(diǎn)，力 與 的夾角為，力 對(duì)支點(diǎn)O的力矩是向量 ，則力矩的模為,向量積的物理意義,力矩 = 力力臂,3.3 空間向量的向量積和混合積,一. 空間向量的向量積(叉積、外積),1. 物理背景,2. 向量積的定義,3. 向量

7、積的模的幾何意義,4. 外積的性質(zhì),5. 直角坐標(biāo)系 下外積的坐標(biāo)計(jì)算,二. 空間向量的混合積,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,一. 兩個(gè)向量的向量積(叉積,外積),1. 物理背景:,2. 向量積的定義:,| | = | | |sin,其中 =( , ).,3. 模的幾何意義：,力矩 = 力力臂, 是一個(gè)向量.,當(dāng) , ，且 , 不平行時(shí)，,正弦值等于邊長(zhǎng)為1菱形的面積.,4. 外積的性質(zhì),(3)反對(duì)稱(chēng)性: = ,(1) = =或=或(,/), / (規(guī)定 /),| | = | | |sin,(4) (m) = m() = (m),第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積

8、,4. 外積的性質(zhì),(3)反對(duì)稱(chēng)性: = ,(4) (m) = m() = (m),(5) (+) = + ,(6) ( )2+()2 = 2 2,例7. 已知| = 3, | = 11, 且 = 30. 求| |.,(1) =, /,| | = | | |sin,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,5. 直角系 下外積的坐標(biāo)計(jì)算,(2)設(shè) = (a1, a2 , a3), = (b1 , b2 , b3), 則,(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),(1),第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積, = i + j + k,注: = (a1, a

9、2, a3)與 = (b1, b2, b3)共線 = , = , ,注: 為任意值, 不共線,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,例8. 求點(diǎn)P(4,4,1)到點(diǎn)A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直線的距離.,A,分析: P到AB的距離可看作底邊AB上的高.,解1：,解2：,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,例9. 已知向量 = (1, 2,1), =(1, 1, 1), 且 = 8, 其中 = (1, 2,1), 求 .,解法1：,設(shè) = (x,y,z), 由題設(shè)知，,解法2：,解得 = (x,y,z)=(1,-2,3).,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量

10、積和混合積,例10. 已知向量, , 有共同起點(diǎn)但不共面, 求以它們?yōu)槔獾钠叫辛骟w的體積V.,V = (),S = |,h = (),解：,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,二. 三個(gè)向量的混合積,1. , , 的混合積: (, , ) = (),2. 幾何意義,設(shè), , 為不共面的三個(gè)向量, 將它們平 移到同一起點(diǎn).若它們符合右手法則, 則 與()在與 所 成平面的同側(cè), 于是,V = ( ) ,若與()在與 所成平面的兩側(cè), 則, V = ( ) ,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,二. 三個(gè)向量的混合積,1. , , 的混合積: (, , ) = (),2.

11、 幾何意義,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,注: 輪換對(duì)稱(chēng)性,() = ( ) = (),|() | =以, 為相對(duì)棱的平行六面體的體積,=以, 為相對(duì)棱的四面體體積的6倍, = i + j + k,設(shè) = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),4. 直角系下混合積的坐標(biāo)計(jì)算,() = A31 c1+A32 c2+A33 c3,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,=,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,注: 對(duì)于向量 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), 和 = (c1,

12、 c2, c3), 采用行列式的記號(hào), 我們有,() =, =,三個(gè)向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要條件是, () = 0,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積, (),三個(gè)向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要條件是, () = 0,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,推論3.2 向量, , R3共面 存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2 ,k3, 使得 k1 +k2 +k3 =. 存在一個(gè)向量可由其余向量線性表示. 齊次線性方程組(

13、T, T , T ) = 有非零解. r(A) = r(T, T , T ) 3 , , 線性相關(guān)., (),3. 性質(zhì)（即行列式的性質(zhì)）,(1) (, , ) = 0,(2) (, , ) = (, , ),(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ),(4) (m, , ) = m(, , )=(, m, )=(, , m),(5) (, , +m) = (, , ), 其中m為一實(shí)數(shù).,注: 結(jié)合輪換對(duì)稱(chēng)性,由這些性質(zhì)還可派生出更 多類(lèi)似的性質(zhì). 如: (, 1+2, ) = (, 1, ) + (, 2, ); ( +m, , ) = (, , ), 等等.,=

14、(, , ) = (, , ),= (, ,) = (, , ),輪換對(duì)稱(chēng)性,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,例11.試證(2, + +3, + ) = 6(, , ).,證明：,(2, + + 3, + ) = (2, 3 , + ),= 6(, , + ),= 6(, , ),= 6(, , ),第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,向量的數(shù)量積、向量積和混合積,| |=| | |sin =S,正定性,線性性, Schwartz不等式,反對(duì)稱(chēng)性 = , =0 , = /, = a1b1+ a2b2+a3b3,(, , ) = () =V(平行六面體),輪換對(duì)稱(chēng)性,

15、 行列式的性質(zhì),(, , ) =0 共面,第三章 幾何空間,例12.由定理3.3可知, 在空間中任取三個(gè)不共面 的, , 后, 空間中任一向量 都可以由, , 唯一的線性表示, 即存在唯一的實(shí)數(shù) 組(x, y, z), 使得 = x + y + z. 下面我們?nèi)デ髕, y, z的值.,(, , ) = (x + y + z, , ),= (x, , )+ (y , , )+ (z, , ),= x(, , )., , 不共面，則(, , ) 0.,解：,Cramer法則,第三章 幾何空間,3.3 向量的向量積和混合積,3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點(diǎn)法式方程,2. 一般方程

16、,3. 特殊位置的平面方程,4. 三點(diǎn)式方程,5. 截距式方程,二. 空間直線的方程,1. 參數(shù)方程,2. 標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱(chēng))方程,4. 兩點(diǎn)式方程,3. 一般方程,三. 與直線、平面有關(guān)的一些問(wèn)題,1. 夾角,2. 距離,3.平面束方程,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點(diǎn)法式方程,P,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0,2. 一般方程,Ax+By+Cz+D = 0,平面方程是三元一次方程, 而三元一次方程必然表示一個(gè)平面.,P0(x0, y0, z0),P(x, y, z),其中D= Ax0 By0 Cz0,第三章 幾何空間,第一章 向量代數(shù) 平面

17、與直線,1.4 空間的平面和直線,3. 特殊位置的平面方程,(1)過(guò)原點(diǎn)的平面: Ax+By+Cz = 0,(2)平行于x軸的平面:,平行于y軸的平面: Ax+Cz+D = 0,平行于z軸的平面: Ax+By+D = 0,(3)平行于xoy面的平面:,平行于yoz面的平面: Ax+D = 0,平行于xoz面的平面: By+D = 0,Ax+By+Cz+D = 0,若A0，則A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0) = 0,P0(-D/A,0,0),By+Cz+D = 0,Cz+D = 0,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,例13. 求通過(guò)點(diǎn)P0(1,2,3), 且,注: 確定A,

18、 B, C, D的值;,作圖時(shí)應(yīng)標(biāo)注一些特殊點(diǎn), 如與坐標(biāo)軸 或坐標(biāo)平面的交點(diǎn).,(1)通過(guò)x軸;,(2)平行于yoz平面,的平面方程, 并且分別作出它們的圖形.,By+Cz=0,2B+3C=0,3y-2z=0,Ax+D=0,A+D=0,x 1=0,4. 三點(diǎn)式方程,經(jīng)過(guò)不共線三點(diǎn)P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面, 的方程,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,4. 三點(diǎn)式方程,5. 截距式方程,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點(diǎn)法式方程,2. 一般方程,3.

19、特殊位置的平面方程,4. 三點(diǎn)式方程,5. 截距式方程,二. 空間直線的方程,1. 參數(shù)方程,2. 標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱(chēng))方程,4. 兩點(diǎn)式方程,3. 一般方程,三. 與直線、平面有關(guān)的一些問(wèn)題,1. 夾角,2. 距離,3.平面束方程,重要信息:,第三章 幾何空間,二. 空間直線的方程,1. 參數(shù)方程,P,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt.,2. 標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱(chēng))方程,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,二. 空間直線的方程,1. 參數(shù)方程,P,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt.,2. 標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱(chēng))方程,zR,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,3. 一般方程,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2x+B2y+C2z+D2 = 0,4. 兩點(diǎn)式方程,過(guò)兩點(diǎn)P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) 的直線L的方程為,第三章 幾何空間,