單位沖擊函數(shù)_卷積[課資內(nèi)容]

1、0-2 單位沖擊函數(shù) d -Function 一、定義,fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 二維圓域函數(shù)等等. 物理系統(tǒng)已無(wú)法分辨更窄的函數(shù),定義1.,練習(xí): 畫(huà)出rect(x), 10rect(10 x), sinc(x), 10sinc(10 x) 的示意圖.,可描述: 單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的密度, 單位電量點(diǎn)電荷的電荷密度, 單位光通量點(diǎn)光源的發(fā)光度, 單位能量無(wú)限窄電脈沖的瞬時(shí)功率 等等.,1,資料類(lèi),0-2單位沖擊函數(shù) d -Function 一、定義 (續(xù)),d -函數(shù)的圖示:,2,資料類(lèi),0-2 d -函數(shù) 二、性質(zhì),1. 篩選性質(zhì) sift

2、ing (由定義3直接可證) 設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù), 則,證明思路:二者對(duì)檢驗(yàn)函數(shù)在積分中的作用相同.(練習(xí)),推論: d (x)是偶函數(shù),2. 縮放性質(zhì) scaling,與普通函數(shù)縮放性質(zhì)的區(qū)別: 普通函數(shù):因子a不影響函數(shù)的高度,但影響其寬度 d-函數(shù):因子a不影響函數(shù)的寬度,但影響其高度,通過(guò)此積分,可從f(x)中篩選出單一的f(x0)值.,3,資料類(lèi),0-2 d -函數(shù) 二、性質(zhì) (續(xù)),3. 乘積性質(zhì),設(shè)f (x)在x0點(diǎn)連續(xù), 則: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0),任意函數(shù)與d-函數(shù)的乘積,是幅度變化了的d-函數(shù),練習(xí)：計(jì)算 sinc(x)d (x)

3、 2. sinc(x)d (x-0.5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3),4,資料類(lèi),0-2 d -函數(shù) 三、 d -函數(shù) 的陣列-梳狀函數(shù) comb(x),表示沿 x 軸分布、間隔為1的無(wú)窮多脈沖的系列. 例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵.,間隔為t 的脈沖系列:,定義: n為整數(shù),5,資料類(lèi),0-2 d -函數(shù) 三、 d -函數(shù) 的陣列-梳狀函數(shù) comb(x),梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積:,利用comb(x)可以對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行等間距抽樣.,二維梳狀函數(shù): comb(x,y)= comb(x) comb(y),6,資料類(lèi),練習(xí),0-4：已知連續(xù)函

4、數(shù)f(x)，若x0b0,利用d 函數(shù)可篩選出函數(shù)在x= x0+b的值，試寫(xiě)出運(yùn)算式。 0-5: f(x)為任意連續(xù)函數(shù)， a0, 求函數(shù) g(x)= f(x)d(x+a)- d(x-a) 并作出示意圖。 0-6：已知連續(xù)函數(shù)f(x)， a0和b0 。求出下列函數(shù)： (1) h(x)= f(x)d(ax-x0) (2) g(x)= f(x)comb(x- x0)/b,7,資料類(lèi),0-2 d -函數(shù) 練習(xí),0-4:,0-5:,0-6:,g(x) = f(x)d (x+a)-d (x-a),= f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a),= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x

5、-a),h(x) = f(x) d (ax- x0),作圖,8,資料類(lèi),0-2 梳狀函數(shù) 練習(xí) 0-6(2),9,資料類(lèi),練習(xí) 0-7 畫(huà)函數(shù)圖形,(1),(2),10,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution一、概念的引入例題,用寬度為 a 的狹縫，對(duì)平面上光強(qiáng)分布f(x)=2+cos(2pf0 x) 掃描，在狹縫后用光電探測(cè)器記錄。求輸出光強(qiáng)分布。,11,資料類(lèi),卷積 概念的引入,探測(cè)器輸出的光功率分布,12,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution一、概念的引入 (II),設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x),像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果

6、. 需用卷積運(yùn)算來(lái)描述,13,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution一、概念的引入,物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x),像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果. 需用卷積運(yùn)算來(lái)描述,x,14,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution二、定義,若f(x)與h(x)有界且可積, 定義,*: 卷積符號(hào),g(x)是f(x)與h(x)兩個(gè)函數(shù)共同作用的結(jié)果.對(duì)于給定的x,第一個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是f(x),則第二個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是h(x- x).需要對(duì)任何可能的x求和.,g(x)稱(chēng)為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積.,二維函數(shù)的卷積:,15,資料類(lèi),0-3 卷積 convolut

7、ion三、計(jì)算方法-借助幾何作圖,練習(xí): 計(jì)算rect(x)*rect(x),1.用啞元t 畫(huà)出函數(shù)f(t)和h(t);,2.將h(t)折疊成h(-t);,3.將h(-t)移位至給定的x, h-(t -x)= h(x -t);,4.二者相乘;,5. 乘積函數(shù)曲線下面積 的值即為g(x).,步驟:,16,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution三、計(jì)算方法-幾何作圖法,練習(xí): 計(jì)算rect(x) *rect(x),1.用啞元t畫(huà)出 二個(gè) rect(t),2.將rect(t)折疊后不變;,3.將一個(gè)rect(-t)移位至給定的x0, rect-(t -x0)= rect(x0 - t);,4.

8、二者相乘;乘積曲線下面積的值 即為g(x0).,|x| 1; g(x) = 0 -1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x 0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1- x,rect(x)*rect(x) = tri(x),17,資料類(lèi),卷積 概念的引入：回到前面的例題,探測(cè)器輸出的光功率分布:,18,資料類(lèi),計(jì)算這個(gè)卷積:,討論這個(gè)結(jié)果,f(x)=2+cos(2pf0 x),19,資料類(lèi),練習(xí),若,證明：,令 x-x = x,證:,20,資料類(lèi),作業(yè) 0-8,若,證明：,21,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution四、性質(zhì),1. 卷積滿足交換律

9、Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x),推論:卷積是線性運(yùn)算 Linearity av(x) + bw(x)*h(x) = av(x)* h (x) + bw(x )* f (x),2. 卷積滿足分配律 Distributive Property v(x) + w(x) * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x),3.卷積滿足結(jié)合律 Associative Property v(x) * w(x)*h(x) = v(x) * h(x) *w(x)= v(x)*w(x)* h(x),22,資料類(lèi),0-3 卷積 con

10、volution四、性質(zhì) (續(xù)),4. 卷積的位移不變性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 則 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0),5. 卷積的縮放性質(zhì) Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 則,23,資料類(lèi),0-3 卷積 convolution五、包含脈沖函數(shù)的卷積,即任意函數(shù)與d(x) 卷積后不變,根據(jù) 1. d-函數(shù)是偶函數(shù), 2. d-函數(shù)的篩選性質(zhì), 有:,任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果, 是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置.,f(x)*d(x - x0)

11、 = f (x - x0),f(x)與脈沖陣列的卷積可在每個(gè)脈沖位置產(chǎn)生f(x)的函數(shù)波形,用于描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu).,=,*,利用卷積的位移不變性可得:,24,資料類(lèi),作業(yè),0-9. 利用梳函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示線光柵的透過(guò)率。假定縫寬為a，光柵常數(shù)為d，縫數(shù)為N. 0-10. 利用包含脈沖函數(shù)的卷積表示下圖所示雙圓孔屏的透過(guò)率。若在其中任一圓孔上嵌入p位相板，透過(guò)率怎樣變化？,(透 過(guò)率=輸出/輸入),25,資料類(lèi),利用卷積性質(zhì)求卷積的例子作業(yè) 0-11 ：用圖解法求圖示兩個(gè)函數(shù)的卷積f(x) * h(x),若要求寫(xiě)出解析運(yùn)算式: f(x) = ? +? 寫(xiě)成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 寫(xiě)成d(x)的平移式 利用卷積的線性性質(zhì) 利用d函