量子力學(xué)§3.2一維方勢(shì)阱

1、3.2一維方勢(shì)阱,求解 S 方程 分四步： （1）列出各勢(shì)域的一維S方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù),一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱,粒子在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng) 不能到阱外,勢(shì)函數(shù),阱外,定態(tài)薛定諤方程 阱外：,阱內(nèi)：,根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 阱外,阱內(nèi),(為了方便將波函數(shù)腳標(biāo)去掉),令,將方程寫(xiě)成,通解,式中 A 和 B 是待定系數(shù),由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件定特解 通解是,解的形式,解的形式為,能量取值,波函數(shù)的連續(xù)性。,B已經(jīng)為零了 A不能再為零了 即 A0,只能sin ka 等于零,要求,故能量可能值,但,由上式,本征函數(shù)系,由歸一化條件確定常數(shù) A,本征函數(shù),考慮到振

2、動(dòng)因子,定態(tài)波函數(shù),薛定諤方程的一般解：.,1、能量,每個(gè)可能的值叫能量本征值，束縛態(tài)粒子能量取值分立 (能級(jí)概念)。 能量量子化。,體系最低能量的態(tài)稱(chēng)為基態(tài)。其他態(tài)稱(chēng)為激發(fā)態(tài)。 基態(tài)能量不為零量子效應(yīng)，,（1）、能量量子化,（2）、當(dāng)n 趨于無(wú)窮時(shí),能量趨于連續(xù)（對(duì)應(yīng)原理）。,2、波函數(shù),（1）駐波解。,波函數(shù)與橫軸相交次數(shù)（不含兩端）稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)數(shù)，顯然為n-1,（2）、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)和概率密度,o,a,a,o,量子經(jīng)典,符合玻爾對(duì)應(yīng)原理,平均效應(yīng)明顯,3、若勢(shì)阱為,對(duì)于不同的量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點(diǎn)，粒子出現(xiàn)的概率是不同的。,當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， ，即 具有奇宇稱(chēng)。 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)

3、， ，即 具有偶宇稱(chēng)。,本征函數(shù)具有確定宇稱(chēng)是由勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)： 而導(dǎo)致的。,由定態(tài)薛定諤方程求能量本征值和本征函數(shù)的步驟：,第一、確定粒子勢(shì)能表達(dá)式（有的問(wèn)題直接給出）；,第二、寫(xiě)出定態(tài)薛定諤方程，引入?yún)?shù)，把方程化為標(biāo)準(zhǔn)的微分方程，寫(xiě)出通解；,第三、利用波函數(shù)滿(mǎn)足的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)），求能量本征值和本征函數(shù)。,第四、利用波函數(shù)的歸一化條件，將波函數(shù)歸一化。,二、一維有限深方勢(shì)阱,勢(shì)的特點(diǎn)：空間反射對(duì)稱(chēng),寫(xiě)出分區(qū)定態(tài)方程,在阱外(經(jīng)典禁介區(qū)),在阱內(nèi)(經(jīng)典允許區(qū)),令,方程(1)、（2）變?yōu)?有限性：,A2=0，C1=0。,令,V0時(shí)，結(jié)果與無(wú)限深勢(shì)阱的偶宇稱(chēng)態(tài)能量一致。,V0時(shí)，結(jié)果與無(wú)限深勢(shì)阱的奇宇稱(chēng)態(tài)能量一致。,三