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1、專題(三) 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用 本專題是對(duì)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題進(jìn)行復(fù)習(xí)與深化,這類綜合題考查的知識(shí)點(diǎn)多,能力要求強(qiáng).試題呈現(xiàn)形式活潑多樣,既有一次函數(shù)、反比例函數(shù)與代數(shù)的綜合又有與空間幾何的綜合.解決這類問題首先要理清頭緒,挖掘題目中的已知條件和隱含條件,根據(jù)實(shí)際問題情境或圖象列出相應(yīng)關(guān)系式,從而建立函數(shù)模型.例 (2014成都)如圖,一次函數(shù)y=kx+5(k為常數(shù),且k0)的圖象與反比例函數(shù)y=-的圖象交于A(-2,b),B兩點(diǎn).(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若將直線AB向下平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的值.【思路點(diǎn)撥】(1)將
2、點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得b,將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得k;(2)聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得一元二次方程,有一個(gè)公共解則=0,即可求出m的值.【解答】(1)A(-2,b)在y=-上,-2b=-8,b=4.A(-2,4).A(-2,4)在y=kx+5上,k,一次函數(shù)為yx5.(2)向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后,直線為y=x+5-m,由題意,得整理得x2+(5-m)x+8=0,平移后直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),=(5-m)2-480,解得m1或9.方法歸納:解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)的問題常常從反比例函數(shù)突破,求兩函數(shù)的交點(diǎn)問題通常聯(lián)立成方程組,轉(zhuǎn)化為方程解決.若兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則對(duì)應(yīng)的一元二次
3、方程的0;若兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn),則對(duì)應(yīng)的一元二次方程的=0;若兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn),則對(duì)應(yīng)的一元二次方程的0時(shí),不等式kx+b的解集.2.(2014廣州)已知一次函數(shù)y=kx-6的圖象與反比例函數(shù)y=-的圖象交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.(1)求k的值和點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)判斷點(diǎn)B的象限,并說明理由.3.(2014白銀)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=mx與雙曲線y=相交于A(-1,a)、B兩點(diǎn),BCx軸,垂足為C,AOC的面積是1.(1)求m、n的值;(2)求直線AC的解析式.4.(2014宜賓)如圖,一次函數(shù)y=-x+2的圖象與反比例函數(shù)y=-的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于D點(diǎn),且
4、C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求ABC的面積.5.(2014甘孜)如圖,在AOB中,ABO90,OB4,AB8,反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA,AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D,且BOD的面積SBOD4.(1)求反比例函數(shù)解析式;(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo).6.(2014資陽(yáng))如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象過點(diǎn)P(-,0),且與反比例函數(shù)y=(m0)的圖象相交于點(diǎn)A(-2,1)和點(diǎn)B.(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo),并根據(jù)圖象回答:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí),一次函數(shù)的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的函數(shù)值?參考答案1.(1)把點(diǎn)B(2,1)代入y,得m12
5、=2.一次函數(shù)ykx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(2,1),解得一次函數(shù)的解析式為yx-1.(2)x2.2.(1)當(dāng)x=2時(shí),y=kx-6=2k-6,y=-=-k.由題意,得2k-6=-k.解得k=2.故一次函數(shù)解析式為y=2x-6,反比例函數(shù)解析式為y=-.A(2,-2).(2)B點(diǎn)在第四象限,理由如下:一次函數(shù)y=2x-6經(jīng)過第一、三、四象限,反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限,因此它們的交點(diǎn)都是在第四象限.3.(1)直線y=mx與雙曲線y=相交于A(-1,a)、B兩點(diǎn),B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,即C(1,0).AOC的面積為1,A(-1,2).將A(-1,2)代入y=mx,y=可得m=-2,n=-2.
6、(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2)、C(1,0),解得直線AC的解析式為y=-x+1.4.(1)根據(jù)題意得解方程組得或A(-1,3),B(3,-1).(2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0,解得x=2,D(2,0).C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,C(-2,0),SABC=SACD+SBCD=(2+2)3+(2+2)1=8.5.(1)由SBOD4,得k8.反比例函數(shù)解析式為y=.(2)OB4,AB8,ABO90,A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8).設(shè)直線AO的解析式為ykx,則4k8,解得k2.即直線AO的解析式為y2x.聯(lián)立方程組:解得或(舍去)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4).6.(1)函數(shù)y=kx+b圖象過點(diǎn)P(-,0)和點(diǎn)A(-2,1),解得一次函數(shù)的解析式為y=-
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