概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第四,五章習(xí)題課大數(shù)定律及中心極限定理

1、1,1.設(shè)十只同種電器元件中有兩件廢品，裝配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只，若仍是廢品，則再扔掉還取一只。求：在取到正品之前，已取出的廢品數(shù)X的概率分布， 數(shù)學(xué)期望及方差。,解: X的分布列表為：,2,3,2. 設(shè)隨機(jī)變量 X U 0, 2，Y E(1)，且X與Y相互獨(dú)立。 求E(XY), D(XY)。,4,3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，XN(1,2),YN(0,1),求Z=2X-Y+3的概率密度。,解：由X與Y相互獨(dú)立，并且XN(1,2)，YN(0,1)， 可知：Z=2X-Y+3N(5, 9)。于是，Z的密度函數(shù)為：,5,4.已知隨機(jī)變量X的概率密度為 其中常數(shù)

2、a0, 0 未知，且知 E(X)=1。 求常數(shù)a, 。,6,解：由 可知 ：,又由 可知 ：,于是， 得到 a1/4， 1/2。,注：這里 用到 N(0,4) 和 E( ) 的密度和期望。,7,5.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個(gè)人中普查這種疾病,為此要化驗(yàn)每個(gè)人的血。方法是，每100個(gè)人一組，把從100個(gè)人抽來的血混在一起化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，則通過；如果混合血樣呈陽性，則再分別化驗(yàn)該組每個(gè)人的血樣。求平均化驗(yàn)次數(shù)。,解： 設(shè)Xj為第j組的化驗(yàn)次數(shù)，j=1,2,10， 則Xj的可能取值為1，101，且,8,設(shè) X 為1000人的化驗(yàn)次數(shù)，則,因此，,9,6. 對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，至

3、命中n次為止。設(shè)每次射擊的命中率為p，且相互獨(dú)立，求消耗的子彈數(shù) X的數(shù)學(xué)期望。,解： 設(shè)Xi 為第i-1次命中后至第i次命中時(shí)所消耗的 子彈數(shù)，則,由于Xi 服從參數(shù)為p的幾何分布，,因此，,10,7袋中有N個(gè)球，其中白球數(shù)X是隨機(jī)變量，且知其數(shù)學(xué)期望 E(X)=n，(n N)。今從袋中隨機(jī)摸一球，求獲得白球的概率。,解：設(shè)A為摸到白球。那么，,11,8袋中有N個(gè)球，其中白球數(shù)X是隨機(jī)變量，且知其數(shù)學(xué)期望E(X)=n,(n N), 方差 D(X)= 。 今從袋中一次摸兩球 ，求這兩球恰有一白球的概率。,解：設(shè)A為摸到的兩球中恰有一白球。,12,13,9現(xiàn)有n個(gè)袋子，每袋裝有 a 只白球和 b

4、 只黑球(a0，b0)，先從第一個(gè)袋中摸出一球， 記下顏色后就把它放入第二個(gè)袋中， 照這種辦法依次摸下去，最后從第n個(gè)袋中摸出一球，并記下顏色。若在這 n 次摸球中所得的白球總數(shù)為 ，求E( )。,14,15,10.已知隨機(jī)變量X與Y分別服從 和 , 且X與Y的相關(guān)系數(shù) ， 設(shè) ， (1)求Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差D(Z)； (2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)； (3)問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？,16,17,18,11設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y服從參數(shù) = 3的泊松分布。 令 U=X，V= X/2+bY。 求常數(shù) b 使 DV=1，且在這種情況下，計(jì)算U和V的相關(guān)系數(shù) 。,1

5、9,20,12.已知隨機(jī)變量(X,Y) 求：E(X)，E(XY)，P(XY)，又問X與Y是否相關(guān)？,解：(一)：利用公式 g(x,y)分別取x，xy，I(xy)直接求解。(略),21,22,13.設(shè)隨機(jī)變量 ， 相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。求數(shù)學(xué)期望E 。,23,注：,24,解：由已知有 Z XY N(0,1) ，于是，,14.設(shè) X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 N(0, 1/2) 的隨機(jī)變量，求E(|X-Y|)和D(|X-Y|)。,25,26,解:,15. 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立且均服從N(0, 1), 。求 E(Z) 和 D(Z).,所以,作坐標(biāo)變換,27,所以,則,28,所以,因?yàn)?X,YN(0,1) ,29,16.設(shè)X服從N(0,1)分布，求 E(Xn)。,解：X的密度函數(shù)為：,30,所以,一般地，,31,17.甲，乙兩個(gè)戲院競(jìng)爭(zhēng)1000名觀眾，假定每位觀眾選擇每個(gè)戲院是等可能的，且觀眾之間選擇哪個(gè)戲院是彼此獨(dú)立的，問每個(gè)戲