2016年浙江省高考數(shù)學試卷(理科)

1、.2016 年浙江省高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本大題共8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的（分）已知集合p= xr| 1 x 3 ，q= xr| x2 4 ，則 p（ ?）（）1 5rq=a 2，3b（ 2，3c 1，2） d（， 2 1， +）2（5 分）已知互相垂直的平面，交于直線 l，若直線 m，n 滿足 m，n，則（）am lbm ncnl d mn3（5 分）在平面上，過點p 作直線 l 的垂線所得的垂足稱為點p 在直線 l 上的投影，由區(qū)域中的點在直線 x+y2=0 上的投影構成的線段記為ab，則 | ab| =（）a2 b

2、4 c3 d64（5 分）命題 “? xr，? nn* ，使得 n x2”的否定形式是（） ，n*，使得 nx2 ，n* ，使得 nx2a ? x r ? nb ? xr ? n ，*，使得 nx2 ，* ，使得 nx2c ? x r ? n nd ? xr ? n n5（5 分）設函數(shù) f（ x）=sin2x+bsinx+c，則 f （x）的最小正周期（）a與 b 有關，且與 c 有關 b與 b 有關，但與 c 無關c與 b 無關，且與 c 無關 d與 b 無關，但與 c 有關6（5 分）如圖，點列 an 、 bn 分別在某銳角的兩邊上，且 | anan+1| =| an +1an+2| ，

3、nn+1， * ，| bn n+1n+1 n+2+，nn* ，（pq 表示點 p 與 q 不aan nb | =| b b | ，bn bn 1重 合 ） 若 dn n n， n 為 n n n+1 的 面 積 ， 則 （）=| a b |sa b ba sn 是等差數(shù)列 b sn2 是等差數(shù)列c dn 是等差數(shù)列 d dn2 是等差數(shù)列.7（5 分）已知橢圓c1：+y2=1（m1）與雙曲線c2： y2=1（n0）的焦點重合， e1，e2 分別為 c1，c2 的離心率，則（）am n 且 e1e21 b mn 且 e1e21 cm n 且 e1e2 1 dmn 且 e1e218（5 分）已知實

4、數(shù) a，b，c（）a若 | a2+b+c|+| a+b2+c| 1，則 a2+b2+c2100b若 | a2+b+c|+| a2+b c| 1，則 a2+b2+c2 100c若 | a+b+c2|+| a+bc2| 1，則 a2+b2+c2100d若 | a2+b+c|+| a+b2 c| 1，則 a2 +b2+c2 100二、填空題：本大題共7 小題，多空題每題6 分，單空題每題4 分，共 36 分9（4 分）若拋物線 y2=4x上的點 m 到焦點的距離為 10，則 m 到 y 軸的距離是10（ 6 分）已知 2cos2x+sin2x=asin（x+） +b（a0），則 a=，b=11（ 6

5、 分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2，體積是cm3（分）已知a ，若abb a，則 a=，b=12 6b1log b+log a=，a =b13（6 分）設數(shù)列 an 的前 n項和為+* ，則 a1=，sn，若 s2=4，an 1=2sn+1，n ns5=14（ 4 分）如圖，在 abc 中， ab=bc=2， abc=120若平面 abc 外的點 p和線段 ac上的點 d，滿足 pd=da，pb=ba，則四面體 pbcd的體積的最大值是.15（4 分）已知向量， ，| =1，| =2，若對任意單位向量，均有 |? |+|? |，則? 的最大值是三、解答題：

6、本大題共 5 小題，共 74 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（14 分）在 abc中，內角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，已知 b+c=2acosb（ ）證明： a=2b；（ ）若 abc的面積 s=，求角 a 的大小17（15 分）如圖，在三棱臺 abcdef中，已知平面 bcfe平面 abc，acb=90，be=ef=fc=1，bc=2，ac=3，（ ）求證： bf平面 acfd；（ ）求二面角 bad f 的余弦值18（ 15 分）已知 a 3，函數(shù) f（ x）=min 2| x1| ， x22ax+4a2 ，其中 min（ p， q） =（ ）求使得等式 f（x

7、）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范圍（ ）（i）求 f（x）的最小值 m（a）（ ii）求 f（x）在 0，6 上的最大值 m （ a）19（ 15 分）如圖，設橢圓c：+y2=1（a1）（ ）求直線 y=kx+1 被橢圓截得到的弦長（用a，k 表示）（ ）若任意以點 a（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍.20（ 15 分）設數(shù)列滿足 | an| 1，nn* （ ）求證： | an| 2n 1（| a1| 2）（ nn* ）（ ）若 | an| （）n， n n* ，證明： | an | 2，nn* .2016 年浙江省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與

8、試題解析一、選擇題：本大題共8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1（5 分）（2016?浙江）已知集合p= xr| 1x3 ，q= x r| x24 ，則 p（ ?rq）=（）a 2，3b（ 2，3c 1，2） d（， 2 1， +）【分析】運用二次不等式的解法， 求得集合 q，求得 q 的補集，再由兩集合的并集運算，即可得到所求【解答】 解： q= xr| x24 = xr| x 2 或 x 2 ，即有 ?rq= xr| 2 x 2 ，則 p（ ?rq） =（ 2， 3 故選： b【點評】 本題考查集合的運算，主要是并集和補集的運算，考查不

9、等式的解法，屬于基礎題2（5 分）（2016?浙江）已知互相垂直的平面， 交于直線 l，若直線 m，n 滿足 m，n，則（）am lbm ncnl d mn【分析】 由已知條件推導出l? ，再由 n，推導出 nl 【解答】 解：互相垂直的平面，交于直線 l，直線 m， n 滿足 m ， m或 m? 或 m 與 相交， l? ， n， n l故選： c【點評】本題考查兩直線關系的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).3（5 分）（2016?浙江）在平面上，過點p 作直線 l 的垂線所得的垂足稱為點p在直線 l 上的投影，由區(qū)域中的點在直線x+y2=0 上的投影構成的線段記為

10、ab，則 | ab| =（）a2b4c3d6【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域， 利用投影的定義， 利用數(shù)形結合進行求解即可【解答】 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： （陰影部分），區(qū)域內的點在直線 x+y2=0 上的投影構成線段 rq，即 sab，而 rq=rq，由得，即 q（ 1，1）由得，即 r（ 2， 2），則 | ab| =| qr| =3，故選： c【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用， 作出不等式組對應的平面區(qū)域， 利用投影的定義以及數(shù)形結合是解決本題的關鍵4（ 5 分）（ 2016?浙江）命題 “? x r，? n n*，使得 nx2”的否定形式是 （）a? x r， ? n

11、n* ，使得 nx2 ，n* ，使得 nx2b ? xr ? n.c? xr， ? nn* ，使得 nx2d? xr，? n n* ，使得 nx2【分析】 直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可【解答】 解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題 “? xr，? nn* ，使得 nx2”的否定形式是： ? xr，? nn* ，使得 nx2故選： d【點評】 本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題5（ 5 分）（2016?浙江）設函數(shù) f（x）=sin2x+bsinx+c，則 f（x）的最小正周期（）a與 b 有關，且與 c 有關 b與 b 有關，但與 c 無關c與

12、b 無關，且與 c 無關 d與 b 無關，但與 c 有關【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質即可判斷【解答】 解：設函數(shù) f（x）=sin2，x+bsinx+c f（x）圖象的縱坐標增加了 c，橫坐標不變，故周期與c 無關，當 b=0 時， f（ x） =sin2cos2x+ +c的最小正周期為t=，x+bsinx+c=當 b0 時， f（x）= cos2x+bsinx+ +c， y=cos2x的最小正周期為 ， y=bsinx 的最小正周期為 2， f（x）的最小正周期為 2，故 f（ x）的最小正周期與 b 有關，故選： b【點評】 本題考查了三角函數(shù)的最小正周期，關鍵掌握三角函數(shù)的圖象和性

13、質，屬于中檔題6（ 5 分）（ 2016?浙江）如圖，點列 an 、 bn 分別在某銳角的兩邊上，且| anan+1| =| an+1an+2| ，an an +1，nn* ，| bnbn+1| =| bn+1bn+2| ，bn bn +1，n n* ，（p q 表示點 p 與 q 不重合）若 dnn n， n 為 n n n +1 的面積，則（）=| a b |sa b b.a sn 是等差數(shù)列 b sn2 是等差數(shù)列c dn 是等差數(shù)列 d dn2 是等差數(shù)列【分析】 設銳角的頂點為o，再設 | oa1| =a， | ob1| =c， | anan +1| =| an+1an+2| =b，

14、| bn n+1n+1 n+2，由于，不確定，判斷，不正確，設n n n+1 的底b | =| b b| =da cc da b b邊 bnbn+1 上的高為 hn，運用三角形相似知識，hn+hn +2=2hn+1，由 sn = d?hn，可得sn+sn+2=2sn+1，進而得到數(shù)列 sn 為等差數(shù)列【解答】 解：設銳角的頂點為o，| oa1| =a， | ob1 | =c，| anan+1| =| an+1an+2| =b，| bnbn+1| =| bn+1bn+2| =d，由于 a，c 不確定，則 dn 不一定是等差數(shù)列， dn2 不一定是等差數(shù)列，設 anbnbn+1 的底邊 bn bn

15、+1 上的高為 hn ，由三角形的相似可得=，=，兩式相加可得，=2，即有 hn+hn+2=2hn+1，由 sn= d?hn，可得 sn +sn+2=2sn+1，即為 sn+2sn+1=sn+1sn，則數(shù)列 sn 為等差數(shù)列故選： a【點評】 本題考查等差數(shù)列的判斷，注意運用三角形的相似和等差數(shù)列的性質，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題.7（ 5 分）（2016?浙江）已知橢圓 c ：22+y=1（m1）與雙曲線 c ： y =112（ n 0）的焦點重合， e1， 2 分別為1 ， 2 的離心率，則（）ec cam n 且 e1e21 b mn 且 e1e21 cm n 且 e1e2 1

16、dmn 且 e1e21【分析】 根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點，得到c2=m2 1=n2+1，即 m2n2=2，進行判斷，能得mn，求出兩個離心率，先平方進行化簡進行判斷即可【解答】 解：橢圓 c1 ：+y2 =1（m1）與雙曲線 c2： y2=1（n0）的焦點重合，滿足 c2=m21=n2+1，即 m2 n2=20， m2 n2，則 mn，排除 c，d則 c2=m21m2，c2=n2+1 n2，則 cmcn，e1=，e2=，則 e1?e2= ? = ，則（e1 2）2（）2（）?e=?2=1+=1+=1+ 1， e1e21，故選： a【點評】本題主要考查圓錐曲線離心率的大小關系的判斷， 根據(jù)條

17、件結合雙曲線和橢圓離心率以及不等式的性質進行轉化是解決本題的關鍵 考查學生的轉化能力8（5 分）（2016?浙江）已知實數(shù) a，b，c（）a若 | a2+b+c|+| a+b2+c| 1，則 a2+b2+c2100.b若 | a2+b+c|+| a2+b c| 1，則 a2+b2+c2 100c若 | a+b+c2|+| a+bc2| 1，則 a2+b2+c2100d若 | a2+b+c|+| a+b2 c| 1，則 a2 +b2+c2 100【分析】 本題可根據(jù)選項特點對a，b，c 設定特定值，采用排除法解答【解答】 解： a設 a=b=10， c=110，則 | a2+b+c|+| a+b

18、2+c| =01，a2+b2+c2100；b設 a=10，b= 100，c=0，則 | a2+b+c|+| a2+bc| =01，a2+b2+c2100；c設 a=100， b=100， c=0，則 | a+b+c2|+| a+b c2| =0 1， a2+b2+c2 100；故選： d【點評】本題主要考查命題的真假判斷， 由于正面證明比較復雜， 故利用特殊值法進行排除是解決本題的關鍵二、填空題：本大題共 7 小題，多空題每題 6 分，單空題每題 4 分，共 36 分9（4 分）（2016?浙江）若拋物線 y2=4x 上的點 m 到焦點的距離為 10，則 m 到 y 軸的距離是 9 【分析】

19、根據(jù)拋物線的性質得出m 到準線 x=1 的距離為 10，故到 y 軸的距離為 9【解答】 解：拋物線的準線為x=1，點 m 到焦點的距離為10，點 m 到準線 x=1 的距離為 10，點 m 到 y 軸的距離為 9故答案為： 9【點評】 本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題10（6 分）（2016?浙江）已知 2cos2x+sin2x=asin（x+）+b（a0），則 a=，b=1【分析】 根據(jù)二倍角的余弦公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡左邊，即可得到答案【解答】 解： 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）.= sin（2x+ ）+1， a= ，b=1，

20、故答案為： ； 1【點評】本題考查了二倍角的余弦公式、 兩角和的正弦函數(shù)的應用， 熟練掌握公式是解題的關鍵11（ 6 分）（ 2016?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是72cm2，體積是32cm3【分析】 由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2cm 的小正方體所構成的，代入體積公式和面積公式計算即可【解答】 解：由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2cm 的小正方體所構成的，則其表面積為 22（ 246）=72cm2，其體積為 423 =32，故答案為： 72， 32【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積和表面積， 解題的關鍵是判斷幾何體的形狀及相關數(shù)據(jù)所對

21、應的幾何量，考查空間想象能力12（ 6 分）（2016?浙江）已知 ab1，若 logab+logba= ，ab=ba，則 a=4，b=2.【分析】 設 t=logb并由條件求出t的范圍，代入ab化簡后求出t的alog b+log a=值，得到 a 與 b 的關系式代入 ab=ba 化簡后列出方程，求出 a、b 的值【解答】 解：設 t=logb ，由 1知t ，aa b1代入 logab得，b+log a=即 2t2 5t+2=0，解得 t=2 或 t= （舍去），所以 logba=2，即 a=b2，因為 ab=ba，所以 b2b=ba，則 a=2b=b2，解得 b=2， a=4，故答案為：

22、 4；2【點評】本題考查對數(shù)的運算性質， 以及換元法在解方程中的應用， 屬于基礎題13（ 6 分）（2016?浙江）設數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn，若 s2=4，an+1 =2sn+1，n n* ，則 a1= 1， 5121s =【分析】 運用 n=1 時， a11，代入條件，結合2 ，解方程可得首項；再由n=ss =4 1 時， an+1=sn+1sn ，結合條件，計算即可得到所求和【解答】 解：由 n=1 時， a1=s1，可得 a2 =2s1+1=2a1+1，又 s2=4，即 a1+a2=4，即有 3a1+1=4，解得 a1=1；由 an+1 =sn+1 sn，可得sn+1=3sn

23、+1，由 s2=4，可得 s3 =34+1=13，s4=313+1=40，s5=340+1=121故答案為： 1，121【點評】本題考查數(shù)列的通項和前 n 項和的關系： n=1 時，a1=s1，n1 時，an=sn sn1，考查運算能力，屬于中檔題14（ 4 分）（2016?浙江）如圖，在 abc 中， ab=bc=2， abc=120若平面.abc外的點 p 和線段 ac上的點 d，滿足 pd=da，pb=ba，則四面體 pbcd的體積的最大值是【分析】由題意， abd pbd，可以理解為 pbd是由 abd 繞著 bd 旋轉得到的，對于每段固定的 ad，底面積 bcd為定值，要使得體積最大

24、， pbd必定垂直于平面 abc，此時高最大，體積也最大【解答】 解：如圖， m 是 ac的中點當 ad=tam=時，如圖，此時高為 p 到 bd的距離，也就是 a 到 bd 的距離，即圖中 ae，dm= t ，由 ade bdm，可得， h=，v=，t （ 0，）當 ad=tam=時，如圖，此時高為 p 到 bd的距離，也就是 a 到 bd 的距離，即圖中 ah，dm=t，由等面積，可得， h=， v=， t（， 2）.綜上所述， v=，t （ 0，2）令 m= 1，2），則 v=， m=1 時， vmax=故答案為：【點評】本題考查體積最大值的計算， 考查學生轉化問題的能力， 考查分類討論

25、的數(shù)學思想，對思維能力和解題技巧有一定要求，難度大15（ 4 分）（ 2016?浙江）已知向量， ，| =1，| =2，若對任意單位向量，均有 |? |+|? | ，則? 的最大值是【分析】根據(jù)向量三角形不等式的關系以及向量數(shù)量積的應用進行計算即可得到結論【解答】解：由絕對值不等式得|? |+| ? | | ? + ? | =| （ + ）? | ，于是對任意的單位向量，均有 | （ + ） ? | ， | （ +）| 2=| 2+| 2+2 ?=5+2 ?， | （ +）| =，因此 | （+ ）?| 的最大值，則 ? ，下面證明：? 可以取得，（ 1）若 | ? |+| ? | =| ?

26、+ ? | ，則顯然滿足條件（ 2）若 |? |+|? | =|? ? | ，此時 | | 2=| 2 +| 22 ? =51=4，此時 | =2 于是 |? |+|? | =|? ? | x2，符號題意，綜上? 的最大值是，故答案為：【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，根據(jù)絕對值不等式的性質以及向.量三角形不等式的關系是解決本題的關鍵綜合性較強，有一定的難度三、解答題：本大題共 5 小題，共 74 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（ 14 分）（2016?浙江）在 abc中，內角 a，b，c 所對的邊分別為a，b，c，已知 b+c=2acosb（ ）證明： a=2b；（ ）

27、若 abc的面積 s=，求角 a 的大小【分析】（ ）利用正弦定理，結合和角的正弦公式，即可證明a=2b（ ）若 abc的面積 s= ，則 bcsina= ，結合正弦定理、二倍角公式，即可求角 a 的大小【解答】（ ）證明： b+c=2acosb， sinb+sinc=2sinacosb， sinb+sin（a+b） =2sinacosb sinb+sinacosb+cosasinb=2sinacosb sinb=sinacosb cosasinb=sin（ a b） a， b 是三角形中的角， b=ab， a=2b；（ ）解： abc的面積 s=， bcsina= ， 2bcsina=a2，

28、 2sinbsinc=sina=sin2b， sinc=cosb， b+c=90，或 c=b+90， a=90或 a=45【點評】本題考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面積的計算，考查二倍角公式的運用，屬于中檔題.17（ 15 分）（2016?浙江）如圖，在三棱臺 abc def中，已知平面 bcfe平面abc， acb=90，be=ef=fc=1，bc=2，ac=3，（ ）求證： bf平面 acfd；（ ）求二面角 bad f 的余弦值【分析】（i）先證明 bf ac，再證明 bfck，進而得到 bf平面 acfd（ ii）方法一：先找二面角 b ad f 的平面角，再在 rtbqf中計算

29、，即可得出；方法二：通過建立空間直角坐標系，分別計算平面 ack與平面 abk 的法向量，進而可得二面角 bad f 的平面角的余弦值【解答】（i）證明：延長 ad， be，cf相交于點 k，如圖所示，平面 bcfe平面 abc， acb=90， ac平面 bck， bf ac又 efbc，be=ef=fc=1，bc=2， bck為等邊三角形，且 f 為 ck的中點，則bfck， bf平面 acfd（ ii）方法一：過點f 作 fq ak，連接 bq， bf平面 acfd bf ak，則ak平面 bqf， bqak bqf是二面角 badf 的平面角在 rtack中， ac=3， ck=2，可

30、得 fq=在 rtbqf中， bf=，fq=可得： cosbqf=二面角 bad f 的平面角的余弦值為方法二：如圖，延長ad，be，cf相交于點 k，則 bck為等邊三角形，取 bc的中點，則 kobc，又平面 bcfe平面 abc， ko平面 bac，以點 o 為原點，分別以 ob，ok 的方向為 x，z 的正方向，建立空間直角坐標系.oxyz可得：b（1，0，0），c（ 1，0，0），k（0，0，），a（ 1， 3，0），=（ 0， 3， 0），=，=（ 2， 3， 0）設平面 ack的法向量為=（x1， y1，z1），平面 abk的法向量為=（ x2，y2，z2），由，可得，取 =由，

31、可得，取=二面角 bad f 的余弦值為【點評】本題考查了空間位置關系、法向量的應用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題.18（ 15 分）（2016?浙江）已知 a3，函數(shù) f（x）=min 2| x 1| ，x2 2ax+4a2 ，其中 min（p，q）=（ ）求使得等式 f（x）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范圍（ ）（i）求 f（x）的最小值 m（a）（ ii）求 f（x）在 0，6 上的最大值 m （ a）【分析】（ ）由 a3，討論 x1 時， x 1，去掉絕對值，化簡x22ax+4a2 2| x 1| ，判斷符號，即可得到 f（x）=x22ax+

32、4a2 成立的 x 的取值范圍；（ ）（i）設 f（x）=2| x 1| ，g（x）=x22ax+4a2，求得 f （x）和 g（x）的最小值，再由新定義，可得 f（x）的最小值；（ ii）分別對當 0x2 時，當 2x6 時，討論 f（x）的最大值，即可得到 f（ x）在 0，6 上的最大值 m （a）【解答】 解：（）由 a3，故 x1 時，x2 2ax+4a 2 2| x1| =x2 +2（ a1）（2x）0；當 x1 時， x2 2ax+4a22| x1| =x2（ 2+2a） x+4a=（x2）（ x2a），則等式 f（x）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范圍是 2，2a ；

33、（ ）（i）設 f （x） =2| x 1| ，g（x）=x2 2ax+4a2，則 f（ x）min =f（1）=0，g（ x） min=g（ a） = a2 +4a2由 a2+4a2=0，解得 a=2+ （負的舍去），由 f（x）的定義可得 m（a）=min f（1）， g（ a） ，即 m（a）=；（ ii）當 0x2 時， f（ x） f（x） max f（0），f（ 2） =2=f（2）；當 2x 6 時， f（x） g（x） max g（2），g（6）=max 2， 348a =max f（2），f（6） 則 m （a）=【點評】本題考查新定義的理解和運用， 考查分類討論的思想方法， 以及二次函數(shù)的最值的求法，不等式的性質，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.19（ 15 分）（ 2016?浙江）如圖，設橢圓c：+y2=1（a1）（ ）求直線 y=kx+1 被橢圓截得到的弦長（用a，k 表示）（ ）若任意以點 a（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍【分析】（ ）聯(lián)立直線 y=kx+1 與橢圓方程，利用弦長公式求解即可（ ）寫出圓的方程， 假設圓 a 與橢圓有 4 個公共點，再利用對稱性有解已知條件可得任意一 a（ 0， 1）為圓心的