常微分方程課件11

1、常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動(dòng)、市場均衡價(jià)格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。,常微分方程,學(xué)習(xí)常微分方程的目的是用微積分的

2、思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。,教材及參考資料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年國家教委一等獎(jiǎng)）， 王高雄等編（中山大學(xué)), 高教出版社。 參考書目：常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，

3、高教出版社。 常微分方程及其應(yīng)用，周義倉等編，科學(xué)出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上?？萍汲霭嫔?。 常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。,第一章 緒論,常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具,它在幾何,力學(xué),物理,電子技術(shù),自動(dòng)控制,航天,生命科學(xué),經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,本章將通過幾個(gè)具體例子,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用,并講述一些最基本概念.,1.1 微分方程模型,微分方程:,聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.,為了定量地研究一些實(shí)際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問題涉及變量的變化率時(shí),該

4、模型就是微分方程,下面通過幾個(gè)典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.,例1 鐳的衰變規(guī)律:,解:,即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.,將某物體放置于空氣中, 在時(shí)刻,時(shí), 測得它的溫度為,10分鐘后測量得溫度為 試決定此物,體的溫度 和時(shí)間 的關(guān)系.,例2 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型,Newton 冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比.,設(shè)物體在時(shí)刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到,其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻

5、過程的數(shù)學(xué)模型.,注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.,解:,例3 R-L-C電路,如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.,電路的Kirchhoff第二定律:,設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后, 電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,因?yàn)?于是得到,這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式.,解:,在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.,例4 傳染病模型: 長期以來,建立傳染病的數(shù)學(xué) 模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關(guān)專 家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的 試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的 方法建立模型.,解:,根據(jù)題設(shè),每個(gè)病人每天可使,由于病人總?cè)藬?shù)為,所以每天共有,于是病人增加率為,思考與練習(xí),1.曲線上任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形 的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.,解:,由題目條件有:,2. 求平面上過點(diǎn)