常微分方程課件11

1、常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫(yī)學、經(jīng)濟和金融領域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠蹋缗ｎD運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數(shù)學模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學的各個領域。,常微分方程,學習常微分方程的目的是用微積分的

2、思想，結合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學理論本身和其它學科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學生學會和掌握常微分方程的基礎理論和方法，為學習其它數(shù)學理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎；同時，通過這門課本身的學習和訓練，使學生學習數(shù)學建模的一些基本方法，初步了解當今自然科學和社會科學中的一些非線性問題，為他們將來從事相關領域的科學研究工作培養(yǎng)興趣，做好準備。,教材及參考資料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年國家教委一等獎）， 王高雄等編（中山大學), 高教出版社。 參考書目：常微分方程,東北師大數(shù)學系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，

3、高教出版社。 常微分方程及其應用，周義倉等編，科學出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上海科技出版社。 常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學出版社。,第一章 緒論,常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支,是人們解決各種實際問題的有效工具,它在幾何,力學,物理,電子技術,自動控制,航天,生命科學,經(jīng)濟等領域都有著廣泛的應用,本章將通過幾個具體例子,粗略地介紹常微分方程的應用,并講述一些最基本概念.,1.1 微分方程模型,微分方程:,聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導數(shù)的關系式.,為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進行適當?shù)暮喕图僭O,建立數(shù)學模型,當問題涉及變量的變化率時,該

4、模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.,例1 鐳的衰變規(guī)律:,解:,即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.,將某物體放置于空氣中, 在時刻,時, 測得它的溫度為,10分鐘后測量得溫度為 試決定此物,體的溫度 和時間 的關系.,例2 物理冷卻過程的數(shù)學模型,Newton 冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導; 2. 在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質的溫度之差成正比.,設物體在時刻 的溫度為 根據(jù)導數(shù)的物理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到,其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學關系式就是物體冷卻

5、過程的數(shù)學模型.,注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關系,而只是給出了未知函數(shù)的導數(shù)與未知函數(shù)之間的關系式.如何由此式子求得 與 之間的關系式, 以后再介紹.,解:,例3 R-L-C電路,如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的已知函數(shù).試求當開關K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關系.,電路的Kirchhoff第二定律:,設當開關K合上后, 電路中在時刻t的電流強度為I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,因為 于是得到,這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學關系式.,解:,在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.,例4 傳染病模型: 長期以來,建立傳染病的數(shù)學 模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關專 家和官員關注的課題.人們不能去做傳染病傳播的 試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的 方法建立模型.,解:,根據(jù)題設,每個病人每天可使,由于病人總人數(shù)為,所以每天共有,于是病人增加率為,思考與練習,1.曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形 的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.,解:,由題目條件有:,2. 求平面上過點