2015學年余姚自主招生數(shù)學試題

1、2015學年余姚自主招生數(shù)學試題一、選擇題（共7題，每題5分，共35分）1二次函數(shù)的圖像如右圖所示，則化簡二次根式 的結(jié)果是（ ）Aa+b B-a-b Ca-b+2c D-a+b-2c2.有4支隊伍進行4項比賽，每項比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到5、3、2、1分。每隊的4項比賽得分之和算作總分，如果已知各隊的總分不相同，并且其中一隊獲得了三項比賽的第一名，問總分最少的隊伍最多得多少分？（ ）A7 B8 C9 D103已知a是方程的一個實數(shù)根，則直線不經(jīng)過（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4有一種長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，高4.5米，寬3.4米，用這樣的集裝箱運長為

2、5米，橫截面的外圓直徑為0.8米的圓柱形鋼管，最多能運（ ）根。A20根 B21根 C24根 D25根5將5個相同的球放入位于一排的8個格子中，每格至多放一個球，則3個空格相連的概率是（ ）A B C D 6用x表示不大于x的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4 7. 對每個x，y是,三個值中的最小值，則當x變化時，函數(shù)y的最大值是（ ）A 4 B 6 C 8 D 二、填空題（共7題，每題5分，共35分）8. 已知，且a0,則= 。9G是ABC的重心，過G的直線交AB于M，交AC于N，則= 。10. 已知a、b、c都是實數(shù)，且滿足abc,a+b+c=0.那么，的取值范圍是

3、。11.在ABC中，AB=AC，且過ABC某一頂點的直線可將ABC分成兩個等腰三角形，則各內(nèi)角的度數(shù)為 。12對于一切不小于2的自然數(shù)n，關于x的一元二次方程的兩個根記作(n2),則= 。 13. 設拋物線的圖象與x軸只有一個交點，則= 。14.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 3、 解答題（本題有4小題，共60分）15. （10分）試求實數(shù)（ 1），使得方程 的兩根都是正整數(shù)。16.（12分）如圖1, 矩形鐵片ABCD的長為, 寬為; 為了要讓鐵片能穿過直徑為的圓孔, 需對鐵片

4、進行處理 (規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔); (1)如圖2, M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點, 若將矩形鐵片的四個角去掉, 只余下四邊形MNPQ, 則此時鐵片的形狀是_, 給出證明, 并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔; (2)如圖3, 過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F(不與端點重合), 沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片;當BE=DF=時, 判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔, 并說明理由;為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔, 請直接寫出線段BE的長度的取值范圍 圖2圖1圖317.（14分）喜歡鉆研的小亮對75

5、角的三角函數(shù)發(fā)生了興趣，他想：75度雖然不是特殊角，但和特殊角有著密切的關系，能否通過特殊角的三角函數(shù)值求75的正弦值呢？經(jīng)研究，他發(fā)現(xiàn)：sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30,于是他大膽猜想：（為銳角）。將圖1（a）等積變形為圖1（b）可用于勾股定理的證明，現(xiàn)將這兩幅圖分別“壓扁”成圖2（a）和圖2（b）。如圖,銳角為的直角三角形斜邊為m，銳角為的直角三角形斜邊為n，請你借助圖2（a）和圖2（b）證明上述結(jié)論能成立。18.（14分）已知菱形ABCD的邊長為1ADC=60，等邊AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊

6、DC、CB的中點求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動記等邊AEF的外心為點P猜想驗證：如圖2猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由自主招生模擬答卷（數(shù)學卷） 班級 姓名 學號一、選擇題（每小題5分，共35分）題號1234567答案二、填空題（每小題6分，共35分）8 9 10 11 12 13 14 三、解答題（第15題10分，第16題12分，第17、18每題14分

7、，共50分）1516圖2圖1圖317 18重點中學提前招生試卷（數(shù)學）答案一、 選擇題1. C 2. B 3. D 4.B 5. A 6. C 7. B二、 填空題8. 2 ；9. 1； 10. ；11. （45、45、90）（36、36、108）（36、72、72）（、）；12.； 13. 5796 14.三、 解答題15. ，16. 解：（1）是菱形，如圖，過點M作MGNP于點G，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，AMNBPNCPQDMQ，MN=NP=PQ=QM，四邊形MNPQ是菱形，能穿過圓孔（2）如圖，過點A作AHEF于點H，過點E作EKAD于點K顯然AB=a，故沿著與

8、AB垂直的方向無法穿過圓孔，過點A作EF的平行線RS，故只需計算直線RS與EF之間的距離即可，AHF=EKF=90，AFH=EFK，AHFEKF，該直角梯形鐵片不能穿過圓孔；17.如圖2(a)，原來內(nèi)部的正方形變成了一個平行四邊形，m，n為相鄰兩邊，其夾角為，得它的面積是mnsin()（其中m 、n 分別是相鄰兩個直角三角形斜邊的長度）如圖2(b)，原來的兩個小正方形變成了兩個矩形，其面積之和是msinncosmcosnsin與上面一樣，圖2(a)與圖2(b)中空白部分的面積相等，所以有mnsin()msinncosmcosnsin，化簡得sin()sincossincos。18（1）證明：如圖1，連接OE、0F，四邊形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ADC，AD=DC=BC，COD=COB=AOD=90又E、F分別為DC、CB中點，,點O即為AEF的外心；猜想：外心P一定落在直線DB上理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI