三角函數(shù)典型例題分析

1、目 錄0360間的三角函數(shù)典型例題分析2弧度制典型例題分析3任意角的三角函數(shù)典型例題分析一5任意角的三角函數(shù)典型例題精析二8同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式典型例題分析誘導(dǎo)公式典型例題分析用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值典型例題分析三角公式總表正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)典型例題分析3函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象典型例題分析正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)典型例題分析已知三角函數(shù)值求角典型例題分析全章小結(jié)高考真題選講0360間的三角函數(shù)典型例題分析例1 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3a，-4a)(a0，0360)，求解的四個三角函數(shù)解 如圖2-2：x=3a，y=-4a，a0例2 求315的四個三角函數(shù)解

2、 如圖2-3，在315角的終邊上取一點(diǎn)P(x，y)設(shè)OP=r，作PM垂直于x軸，垂足是M，可見POM=45注：對于確定的角，三角函數(shù)值的大小與P點(diǎn)在角的終邊上的位置無關(guān)，如在315的角的終邊上取點(diǎn)Q(1，-1)，計算出的結(jié)果是一樣的弧度制典型例題分析角度與弧度的換算要熟練掌握，見下表例2 將下列各角化成2k+(kZ，02)的形式，并確定其所在的象限。它是第二象限的角注意：用弧度制表示終邊相同角2k+(kZ)時，是的偶數(shù)倍，而不是的整數(shù)倍A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限sin0，tg0 因此點(diǎn)P(sin，tg)在第四象限，故選D解 M集合是表示終邊在第一、二、三、四象限的角平分線上的

3、角的集合N集合是表示終邊在坐標(biāo)軸(四個位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分線上的角的集合任意角的三角函數(shù)典型例題分析一 例1 已知角的終邊上一點(diǎn)P(-15，8)(R，且0)，求的各三角函數(shù)值分析 根據(jù)三角函數(shù)定義來解A1 B0 C2 D-2例3 若sin20，且cos0，試確定所在的象限分析 用不等式表示出，進(jìn)而求解解 sin20，2在第一或第二象限，即2k22k+，kZ)當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k=2m(mZ)，有當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k=2m+1(mZ)有為第一或第三象限的角又由cos0可知在第二或第四象限綜上所述,在第三象限義域為x|xR且xk，kZ函數(shù)y=tgx+ctgx的定義域是說明 本例進(jìn)一

4、步鞏固終邊落在坐標(biāo)軸上角的集合及各三角函數(shù)值在每一象限的符號，三角函數(shù)的定義域例5 計算(1)a2sin(-1350)+b2tg405-(a-b)2ctg765-2abcos(-1080)分析 利用公式1，將任意角的三角函數(shù)化為02間(或0360間)的三角函數(shù)，進(jìn)而求值解 (1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tg(360+45)-(a-b)2ctg(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin90+b2tg45-(a-b)2ctg45-2abcos0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0 任意角的三角函數(shù)典型例題精析二例1 下列說法中，正確的是 A第一象限的角是銳角B銳

5、角是第一象限的角C小于90的角是銳角D0到90的角是第一象限的角【分析】本題涉及了幾個基本概念，即“第一象限的角”、“銳角”、“小于90的角”和“0到90的角”在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關(guān)鍵【解】第一象限的角可表示為|k36090k360，kZ，銳角可表示為|090，小于90的角為|90，0到90的角為|090因此，銳角的集合是第一象限角的集合當(dāng)k=0時的子集，故(A)，(C)，(D)均不正確，應(yīng)選(B)(90)分別是第幾象限角？【分析】 由sincos0，所以在二、四象限；由sintan0，所以在二、三象限因此為第二象限的角，然

6、后由角的【解】(1)由題設(shè)可知是第二象限的角，即90k360180k360(kZ)，的角(2)因為 1802k36023602k360(kZ)，所以2是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角(3)解法一：因為 90+k360180k360(kZ)，所以 180k36090k360(kZ)故 90k36090k360(kZ)因此90是第四象限的角解法二：因為角的終邊在第二象限，所以的終邊在第三象限將的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)90，可知90的終邊在第四象限內(nèi)【說明】在確定形如k180角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；確定象限時，k與k是等效的例3 已知集合E=|cossin，02，F(xiàn)=|tans

7、in，那么EF是區(qū)間 【分析】 解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判斷用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答本題也比較容易【解法一】 由正、余弦函數(shù)的性質(zhì)， 【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對于二、四象限的角，ATMP，即tansin，由正弦線和余弦線可看出，當(dāng)應(yīng)選(A)可排除(C)，(D)，得A.【說明】本題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因為第一、三象限均有ATMP，即tansin，所以(B)，(C)，(D)均不成立用排除法也有些別的方法，可自己練習(xí)例 4 (1)已知角終

8、邊上一點(diǎn)P(3k，4k)(k0)，求sin，cos，tan的值；【分析】利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行三角式的求值、化簡和證明，是三兩個象限，因此必須分兩種情況討論【解】(1)因為x3k，y=4k，例5 一個扇形的周長為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大【分析】解答本題，需靈活運(yùn)用弧度制下的求弧長和求面積公式本題是求扇形面積的最大值，因此應(yīng)想法寫出面積S以半徑r為自變量的函數(shù)表達(dá)式，再用配方法求出半徑r和已知周長l的關(guān)系【解】設(shè)扇形面積為S，半徑為r，圓心角為，則扇形弧長為l2r所以【說明】在學(xué)習(xí)弧度制以后，用弧度制表示的求弧長與扇形面積公形的問題中，中心角用弧度表示較方便本例實際上

9、推導(dǎo)出一個重要公式，即當(dāng)扇形周長為定值時，怎樣選取中心角可使面積得到最大值本題也可將面積表示為的函數(shù)式，用判別式來解【分析】第(1)小題因在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值，但沒有確定角的象限，因此有兩組解；第(3)小題角可能在四個象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論【解】(3)因為sin=m(|m|1)，所以可能在四個象限或的終邊在x軸上例7(1)已知 tan=m，求sin的值；【分析】(1)已知tan的值求sin或cos，一般可將tan母都是sin和cos的同次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的式子求值，轉(zhuǎn)化的方法是將分子、分母同除以cos(或cos2，這里cos0)，即可根據(jù)已

10、知條件求值【說明】 由tan的值求sin和cos的值，有一些書上利用公很容易推出，所以不用專門推導(dǎo)和記憶這些公式，這類問題由現(xiàn)有的關(guān)系式和方法均可解決函數(shù)的定義來證明由左邊=右邊，所以原式成立【證法三】(根據(jù)三角函數(shù)定義)設(shè)P(x，y)是角終邊上的任意一點(diǎn)，則左邊=左邊，故等式成立例9 化簡或求值：【分析】 解本題的關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用正、余弦的誘導(dǎo)公式和記住特殊角的三角函數(shù)值=sincos(因為為第三象限角)例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表達(dá)式； 【分析】在(1)中理解函數(shù)符號的含義，并將f(sin x)化成f(cos(90x)是充分利用已知條件和誘導(dǎo)公式的

11、關(guān)鍵在(2)中必須正確掌握分段函數(shù)求值的方法【解】(1)f(sin x)f(cos(90x)cos9(90x)=cos(2360909x)cos(909x)=sin9x；1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式典型例題分析1已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值解 sin0角在第三或第四象限(不可能在y軸的負(fù)半軸上)(2)若在第四象限，則說明 在解決此類問題時，要注意：(1)盡可能地確定所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號(2)盡可能地避免使用平方關(guān)系(在一般情況下只要使用一次)(3)必要時進(jìn)行討論 例2 已知sin=m(|m|1)，求tg的值(2)當(dāng)m=1時，的終邊在y軸上，tg無意義(3)當(dāng)在

12、、象限時，cos0當(dāng)在第、象限時，cos0，說明 (1)在對角的范圍進(jìn)行討論時，不可遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況(2)本題在進(jìn)行討論時，為什么以cos的符號作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，而不按sin的符號(即m的符號)來分類討論呢？你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎？2三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡的結(jié)果應(yīng)滿足下述要求：(1)函數(shù)種類盡可能地少(2)次數(shù)盡可能地低(3)項數(shù)盡可能地少(4)盡可能地不含分母(5)盡可能地將根號中的因式移到根號外面來化簡的總思路是：盡可能地化為同類函數(shù)再化簡例3 化簡sin2tg+cos2ctg+2sincos=seccsc解2 原式=(sin2tg+sincos)+(cos

13、2ctg+sincos)=tg(sin2+cos2)+ctg(sin2+cos2)=tg+ctg =seccsc說明 (1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函數(shù)種類的思路進(jìn)行的(2)解2中的逆用公式將sincos用tg表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實用例4 化簡：分析 將被開方式配成完全平方式，脫去根號，進(jìn)行化簡 3三角恒等式的證明證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實質(zhì)上的同，這個過程，往往是從化簡開始的這就是說，在證明三角恒等式時，我們可以從最復(fù)雜處開始例5 求證 cos(2sec+tg)(sec-2tg)=2

14、cos-3tg分析 從復(fù)雜的左邊開始證得右邊=2cos-3tg=右邊例6 證明恒等式(1)1+3sin2sec4+tg6=sec6(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析 (1)的左、右兩邊均較復(fù)雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡證明 (1)右邊-左邊=sec6-tg6-3sin2sec4-1=(sec2-tg2)(sec4+sec2tg2+tg2)-3sin2sec4-1=(sec4-2sec2tg2+tg2)-1=(sec2-tg2)2-1=0 等式成立=sin2A+cos2A=1故原式成立在解題時，要全面地理解“繁”與“簡”的關(guān)系實際上，將

15、不同的角化為同角，以減少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類，都是化繁為簡，以上兩點(diǎn)在三角變換中有著廣泛的應(yīng)用分析1 從右端向左端變形，將“切”化為“弦”，以減少函數(shù)的種類 分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，進(jìn)而可以約分，達(dá)到化簡的目的 說明 (1)當(dāng)題目中涉及多種名稱的函數(shù)時，常常將切、割化為弦(如解法1)，或?qū)⑾一癁榍?如解法2)以減少函數(shù)的種類(2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看下列=sec+tg 等式成立說明 以上證明中采用了“1的代換”的技巧，即將1用sec2-tg2代換，可是解題者怎么會想到這種代換的呢？

16、很可能，解題者在采用這種代換時，已經(jīng)預(yù)見到代換后，分子可以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建立在熟悉公式的各種變形的基礎(chǔ)上的，當(dāng)然，對不熟練的解題者而言，還有如下的“一般證法”即證明“左邊-右邊=0” 左邊=右邊誘導(dǎo)公式典型例題分析例1 求下列三角函數(shù)值：解(1)sin(-1200)=-sin1200=-sin(3360+120) =-sin120=-sin(180-60)(2)tg945=tg(2360+225)=tg225=tg(108+45)=tg45=1例4 求證(1)sin(n+)=(-1)nsin；(nZ) (2)cos(n+)=(-1)ncos證明 1當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2k

17、-1(kZ)則(1)sin(n+)=sin(2k-1)+=sin(-+)=-sin=(-1)nsin (-1)n=-1)(2)cos(n+)=cos(2k-1)+=cos(-+)=-cos=(-1)ncos2當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2k(kZ)，則(1)sin(n+)=sin(2k+)=sin=(-1)nsin(-1)n=1)(2)cos(n+)=cos(2k+)=cos=(-1)ncos由1，2，本題得證例5 設(shè)A、B、C是一個三角形的三個內(nèi)角，則在sin(A+B)-sinC cos(A+B)+cosC tg(A+B)+tgC ctg(A+B)-ctgCA1個 B2個 C3個 D4個解 由已知，

18、A+B+C=，A+B=-C，故有sin(A+B)-sinC=sin(-C)-sinC=sinC-sinC=0為常數(shù)cos(A+B)+cosC=cos(-C)+cosC=-cosC+cosC=0為常數(shù) tg(A+B)+tgC=tg(-C)+tgC=-tgC+tgC=0為常數(shù)ctg(A+B)-ctgC=ctg(-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常數(shù)從而選(C)用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值典型例題分析例1 利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角或角的范圍P，則(2)如圖2-11，過點(diǎn)(1，-1)和原點(diǎn)作直線交單位圓于點(diǎn)p和p，則滿足條件的所有角是三角公式總表L弧長=R= S扇=L

19、R=R2=正弦定理：= 2R（R為三角形外接圓半徑）余弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac c=a+b-2ab S=a=ab=bc=ac=2R=pr=(其中, r為三角形內(nèi)切圓半徑) 同角關(guān)系：商的關(guān)系：= 倒數(shù)關(guān)系：平方關(guān)系： （其中輔助角與點(diǎn)（a,b）在同一象限，且）函數(shù)y=k的圖象及性質(zhì)：（）振幅A，周期T=, 頻率f=, 相位，初相五點(diǎn)作圖法：令依次為 求出x與y， 依點(diǎn)作圖誘導(dǎo)公試sincostgctg-+-+-+-+2-+-2k+三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時，原三角函數(shù)值的符號；即：函數(shù)名不變，符號看象限sincontgctg+-+-+-三角函

20、數(shù)值等于的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時，原三角函數(shù)值的符號;即：函數(shù)名改變，符號看象限和差角公式 其中當(dāng)A+B+C=時,有:i). ii).二倍角公式：(含萬能公式) 三倍角公式：半角公式：（符號的選擇由所在的象限確定） 積化和差公式： 和差化積公式： 反三角函數(shù)：名稱函數(shù)式定義域值域性質(zhì)反正弦函數(shù)增 奇反余弦函數(shù)減反正切函數(shù)R 增 奇反余切函數(shù)R 減 最簡單的三角方程方程方程的解集正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)典型例題分析例1 用五點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖象(1)y=2-sinx，x0，2描點(diǎn)法作圖： 例2 求下列函數(shù)的定義域和值域解 (1)要使lgsinx有意義，必須且只須sinx0

21、，解之，得 2kx(2k+1)，kZ又0sinx1， -lgsinx0定義域為(2k，(2k+1)(kZ)，值域為(-，0的取值范圍，進(jìn)而再利用三角函數(shù)線或函數(shù)圖象，求出x的取值范圍。利用單位圓(或三角函數(shù)圖象)解得(2)由讀者自己完成，其結(jié)果為例4 求下列函數(shù)的最大值與最小值： (2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2sinx-1，1，例5 求下列函數(shù)的值域|cosx|1 cox2x1說明 上面解法的實質(zhì)是從已知關(guān)系式中，利用|cosx|1消去x，從而求出y的范圍例6 比較下列各組數(shù)的大小分析 化為同名函數(shù)，進(jìn)而利用增減性來比較函數(shù)值的大小解 (1)sin194

22、=sin(180+14)=-sin14cos160=cos(180-20)=-cos20=-sin700147090，sin14sin70，從而 -sin14-sin70，即 sin194cos160而y=cosx在0，上是減函數(shù)，故由01.391.471.5可得cos1.5cos1.47cos1.39例7 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)設(shè)u=2x當(dāng)u(2k-1)，2k(kZ)時，cosu遞增；當(dāng)u2k，(2k+1)(kZ)時，cosu遞減 例8 下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為(D)為奇函數(shù)，應(yīng)選(D)函數(shù)不具有奇偶性說明 奇(偶)函數(shù)的定義域必須對稱于原點(diǎn)，這是奇(偶)函數(shù)必須滿足的條件，解題時不可忽

23、視函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象典型例題分析例1 已知函數(shù)y=f(x)，將f(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，結(jié)果與D相同，故選D例2(3)函數(shù)f(x)=lg(sin2x)的增區(qū)間為_；(4)函數(shù)f(x)=|sinx|的增區(qū)間為_分析 基本方法是轉(zhuǎn)化為y=sinx與y=cosx的單調(diào)區(qū)間的求法但既要注意定義域，還要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的運(yùn)用解 2A=3-(-5)=8，A=4所得點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A1)或縮短(0A1)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)再將圖象上所有點(diǎn)向上b0或向下b0平移|b|個單位，同一周正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)典型例題分析例2 比較下列各組數(shù)的大小tg1，tg2，t

24、g3 解 (1)tg2=tg(2-)，tg3=tg(3-)tg(2-)tg(3-)tg1 即tg2tg31由于y=ctgx在(0，)內(nèi)是減函數(shù)，所以已知三角函數(shù)值求角典型例題分析2(+)-=4k+-，kZ，從而sin(2+)與sin之間的聯(lián)系被發(fā)現(xiàn)故 sin(2+)=sin2(+)-sin(4k+-)=sin(-) 全章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)二、根據(jù)生產(chǎn)實際和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要，我們引入了任意大小的正、負(fù)角的概念，采用弧度制來度量角，實際上是在角的集合與實數(shù)的集合R之間建立了這樣的一一對應(yīng)關(guān)系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(角的弧度數(shù)等于這個實數(shù))與它對應(yīng)采用弧度