高數(shù)同濟(jì)六版課件D7_6高階線性微分方程.ppt

1、,高階線性微分方程,第六節(jié),二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),*四、常數(shù)變易法,一、二階線性微分方程舉例,第七章,一、二階線性微分方程舉例,當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于 平衡狀態(tài),例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動,解:,阻力的大小與運(yùn)動速度,下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向,物體在彈性力與阻,取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.,設(shè)時(shí)刻 t 物位移為 x(t).,(1) 自由振動情況.,彈性恢復(fù)力,物體所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移滿足的微分方程.,據(jù)牛頓第二定律得,則得有阻尼自由振動方程

2、:,阻力,(2) 強(qiáng)迫振動情況.,若物體在運(yùn)動過程中還受鉛直外力,則得強(qiáng)迫振動方程:,求電容器兩兩極板間電壓,例2.,聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,所滿足的微分方程 .,解: 設(shè)電路中電流為 i(t),的電量為 q(t) ,自感電動勢為,由電學(xué)知,根據(jù)回路電壓定律:,設(shè)有一個(gè)電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串,極板上,在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0,串聯(lián)電路的振蕩方程:,化為關(guān)于,的方程:,故有,如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得,n 階線性微分方程的一般形式為,方程的共性,(二階線性微分方程),例1,例2, 可歸結(jié)為同一形式:,

3、時(shí), 稱為非齊次方程 ;,時(shí), 稱為齊次方程.,復(fù)習(xí): 一階線性方程,通解:,非齊次方程特解,齊次方程通解Y,證畢,二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個(gè)解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),定理1.,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無關(guān)概念.,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個(gè)函數(shù),使得,則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).,例如，,在( , )上都有,故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);,又如，,若在某區(qū)間

4、 I 上,則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,必需全為 0 ,可見,在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).,若存在不全為 0 的常數(shù),兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:,線性相關(guān),存在不全為 0 的,使,線性無關(guān),常數(shù),思考:,中有一個(gè)恒為 0, 則,必線性,相關(guān),(證明略),線性無關(guān),定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個(gè)線,性無關(guān)特解,數(shù)) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常數(shù),故方程的通解為,(自證),推論.,是 n 階齊次方程,的 n 個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為,則,三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個(gè)特解,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理

5、 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程左端, 得,是非齊次方程的解,又Y 中含有,兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如, 方程,有特解,對應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而 也是通解 .,定理 4.,分別是方程,的特解,是方程,的特解. (非齊次方程之解的疊加原理),定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程.,定理 5.,是對應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性,無關(guān)特解,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程,的通解為,齊次方程通解,非齊次方程特解,常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).,設(shè)線性無關(guān)函數(shù),都是二階非齊次線,性方程,的解,是任意,例3.,提示:

6、,都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證),例4.,已知微分方程,個(gè)解,求此方程滿足初始條件,的特解 .,解:,是對應(yīng)齊次方程的解,且,常數(shù),因而線性無關(guān),故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,*四、常數(shù)變易法,復(fù)習(xí):,常數(shù)變易法:,對應(yīng)齊次方程的通解:,設(shè)非齊次方程的解為,代入原方程確定,對二階非齊次方程,情形1. 已知對應(yīng)齊次方程通解:,設(shè)的解為,由于有兩個(gè)待定函數(shù), 所以要建立兩個(gè)方程:,令,于是,將以上結(jié)果代入方程 :,得,故, 的系數(shù)行列式,P10,積分得:,代入 即得非齊次方程的通解:,于是得,說明:,將的解設(shè)為,只有一個(gè)必須滿足的條件即,因此必需再附加,一個(gè)條件,方程的引入是為了簡化計(jì)算.,方程3,方程,情形2.,僅知的齊次方程的一個(gè)非零特解,代入 化簡得,設(shè)其通解為,積分得,(一階線性方程),由此得原方程的通解:,方程3,例5.,的通解為,的通解.,解: 將所給方程化為:,已知齊次方程,求,利用,建立方程組:,故所求通解為,積分得,解上述可降階微分方程,可得通解: