大學(xué)物理演示(量子)3(趙).ppt

1、它必須能把“顆粒性”與 “波動性” 統(tǒng)一起來！,一般用復(fù)函數(shù) 代表微觀粒子的波函數(shù)。,要具體應(yīng)用物質(zhì)波的概念，就要有物質(zhì)波的波函數(shù),24.1、 波函數(shù)及其統(tǒng)計意義,I大 光子出現(xiàn)概率大,I小 光子出現(xiàn)概率小,波動性: 某處明亮則某處光強大 即 I 大 粒子性: 某處明亮則某處光子多 即 N 大,光子數(shù) N I E02,光子在某處出現(xiàn)的概率和該處光振幅的平方成正比,類比光的波粒二象性,代表什么？,24 量子力學(xué)初步,由于進行了量子力學(xué)的基本研究 特別是對波函數(shù)作出的統(tǒng)計解釋,玻恩（M.Born),英籍德國人 (18821970）,1954年獲諾貝爾物理學(xué)獎,24.1.2、波函數(shù)的統(tǒng)計銓釋( 19

2、26 ) 量子力學(xué)的基本原理之一(基本假設(shè)),波函數(shù)的模方代表粒子空間分布的概率密度,空間概率分布的“概率幅”。,物質(zhì)波的波函數(shù) 是描述粒子,1926年6月，玻恩（Born ) 在題為碰撞現(xiàn)象的量子力學(xué)中， 提出了物質(zhì)波的統(tǒng)計意義，他認(rèn)為：,物質(zhì)波的波函數(shù) 是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”。,代表 t時刻，在 點處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率，稱為概率密度。,其模的平方：,t 時刻在 點附近dV 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率：,自由粒子波函數(shù),類比，沿+x傳播的平面波：,可得, 沿+x方向運動的自由粒子波函數(shù)為：,式中,在三維空間中運動的自由粒子波函數(shù)：, 空間波函數(shù),通常寫成：,24.1.4、波函

3、數(shù)的態(tài)疊加原理,這里 c1 c2. cn 是任意復(fù)常數(shù)。,只開上縫 1，屏上概率分布 P1,只開下縫 2，屏上概率分布 P2,雙縫 齊開，屏上概率分布 P12=P1+P2,（1）子彈穿過雙縫,（2）電子雙縫衍射,只開下縫,只開上縫,電子在屏上概率分布為,電子在屏上概率分布為,雙縫 齊開, 電子可通過上縫也可通過下縫, 通過上、下縫各有一定的概率,、 都有,總的概率幅為,出現(xiàn)了雙逢干涉花樣。,是由于概率幅的線性疊加產(chǎn)生的。,即使只有一個電子，當(dāng)雙縫齊開時,兩部分概率幅的疊加就會產(chǎn)生干涉。,微觀粒子是波函數(shù)的疊加，而不是概率的疊加。,它的狀態(tài)就要用 來描述，,2. 波函數(shù)的有限性,粒子在空間某處出

4、現(xiàn)的概率不能無限大,1. 波函數(shù)的單值性,任意時刻粒子在空間出現(xiàn)的概率只可能是一個值,24.1.3、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件,概率不能在某處發(fā)生突變,3. 波函數(shù)的連續(xù)性,以上要求稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件,波函數(shù)的歸一性：,根據(jù)波函數(shù)統(tǒng)計解釋，在全空間各點的概率總和必須為1。,注意, 歸一化條件,波函數(shù)可以允許包含一個任意的常數(shù)因子,對于概率分布來講 重要的是相對概率分布,因為對于空間任意兩點來說概率比值相同：,只要給出了初始條件， 下一時刻粒子的軌跡 是已知的。（決定論的）,經(jīng)典力學(xué),描述粒子：,量子力學(xué),描述粒子：,不能預(yù)言粒子必然在哪里 出現(xiàn)，只能預(yù)言粒子出現(xiàn) 的概率。（非決定論的）,波函數(shù)統(tǒng)計

5、詮釋涉及對世界本質(zhì)的認(rèn)識觀念,哥本哈根學(xué)派-愛因斯坦 著名論戰(zhàn),量子力學(xué)背后隱藏著還沒有被揭示的更基本的規(guī)律，這個規(guī)律對量子力學(xué)有新的解釋。上帝不會擲骰（tou）子,波函數(shù)的概率解釋是自然界的終極實質(zhì),玻爾、波恩、海森伯、費曼等,還有狄拉克、德布羅意等,海森伯 （W. K. Heisenberg，1901-1976）,德國理論物理學(xué)家。為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，25歲時提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。為此，他于1932年獲得諾貝爾物理學(xué)獎金。,24.2 不確定關(guān)系,經(jīng)典力學(xué)中，粒子所在力場的性質(zhì)確定后，物體以后的運動位置就可確定。因此可用軌道來描述粒子的運

6、動。 微觀粒子，具有顯著的波動性，我們不能用經(jīng)典的方法來描述它的粒子性。,以電子束單縫衍射為例,只計中央明紋區(qū), 角寬度,一、位置和動量的不確定關(guān)系,位置不確定量：,電子如何進入中央明紋區(qū)的？,考慮次級極大：,位置和動量的不確定關(guān)系,1927年, 海森伯,一個微觀粒子不能同時具有確定的坐標(biāo)和確定的動量,1932年 Nobel Prize,h 經(jīng)典和量子的分水嶺,說明：,1） 微觀粒子運動過程中，其坐標(biāo)的確定程度與該方向上動量分量的確定程度相互制約,設(shè)有一個速度為V，質(zhì)量為m的粒子，其能量,考慮到E的增量：,能量與時間不確定關(guān)系式,即：,二、能量與時間不確定關(guān)系,光譜研究證實了這一點,寬度越小的

7、能級越穩(wěn)定,三、 不確定關(guān)系的意義 1. 波粒二象性的必然結(jié)果. 2. 說明經(jīng)典描述手段對微觀粒子不適用.,4. 不確定關(guān)系是統(tǒng)計關(guān)系的必然結(jié)果,5. 宏觀與微觀的分界線,經(jīng)典.,注意：不確定關(guān)系不是實驗誤差，不是由于理論不完善或儀器不準(zhǔn)確引起的。,解 ： 子彈的動量,例 1 一顆質(zhì)量為10 g 的子彈，具有 的速率 . 若其動量的不確定范圍為動量的 則該子彈位置的不確定量范圍為多大?,動量的不確定范圍,位置的不確定量范圍,例2 一電子具有 的速率, 動量的不確范圍為動量的 0.01% 則該電子的位置不確定范圍有多大?,解 電子的動量,動量的不確定范圍,位置的不確定量范圍,解：,例：光譜線的自

8、然寬度,譜線的自然寬度,若原子處于激發(fā)態(tài)能級的壽命,則,例：氦氖激光器發(fā)光的波長632.8nm, 譜線寬度 , 求光子沿運動方向的位置不確定量 .,例：電子在顯像管中的運動,加速電壓U=102V，電子準(zhǔn)直直徑為0.1mm,可看成經(jīng)典粒子,奧地利物理學(xué)家，1887年8月12日出生在奧地利首都維也納。父親是漆布廠廠主。幼年時受到了良好的教育，由于他聰明過人，基礎(chǔ)好，上學(xué)時成績一直名列前茅。23歲時獲哲學(xué)博士。1921年受聘于瑞士的蘇黎世大學(xué)任數(shù)學(xué)物理教授，在那里工作了6年，薛定諤方程就是那時提出的。1933年。薛定諤和狄拉克分享了該年度的諾貝爾獎金。薛定諤除了在物理，特別是量子力學(xué)方面的貢獻(xiàn)外，還

9、把量子力學(xué)理論應(yīng)用于生命現(xiàn)象，發(fā)展了生物物理這一邊緣科學(xué)。他還發(fā)表過詩集。,24.3 薛定諤方程 (量子力學(xué)基本原理之二）,24.3.1.1 自由粒子的薛定諤方程,具有一定能量和動量的粒子相聯(lián)系的是一個單色平面波：,質(zhì)量為m,動量為p,能量為E的自由粒子沿x軸運動,其波函數(shù),利用在非相對論下能量和動量的關(guān)系,可得,一維運動自由粒子的含時薛定諤方程,- 自由粒子的含時薛定諤方程,三維,24.3.1. 2 在保守力場中粒子的薛定諤方程,一維,可得,勢場中一維運動粒子的含時薛定諤方程,三維,三維勢場中運動粒子的含時薛定諤方程,討論: 1) 薛定諤方程是量子力學(xué)中的一項基本假設(shè)。,2) 薛定諤方程是線

10、性齊次微分方程，保證了態(tài)的線性疊加性在時間進程中保持不變。,3) 薛定諤方程是關(guān)于時間的一階偏微分方程；知道初始時刻波 函數(shù)，就可以確定以后任何時刻的波函數(shù)。,24.3.2.定態(tài)薛定諤方程,則代入薛定諤方程的一般表達(dá)式,得：,令上式兩邊同時等于一常數(shù) E , 則,左邊:,特解,右邊:,- 一般的定態(tài)薛定諤方程,一維,勢阱內(nèi),則,其通解,勢阱外,（有限條件）,三 一維無限深方勢阱問題,式中 A, 為待定系數(shù),與本征值 En 對應(yīng)本征函數(shù),（單值，連續(xù)條件）,（歸一化條件）,E1,a,0,X,勢阱內(nèi),阱外,討論：,(1) 無限深方勢阱中粒子能量量子化 n是量子數(shù)，En 是能量本征值，又稱能級.,(

11、2) 無限深方勢阱粒子能譜為離散能譜，能級分布不均勻 n越大,能級間隔越大。,其余稱為激發(fā)態(tài),(3) 概率密度分布不均勻,當(dāng) n 時過渡到 經(jīng)典力學(xué),在某些極限條件下,量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律。,量子物理的對應(yīng)原理,四 對應(yīng)原理,在某些極限條件下,量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律,量子物理的對應(yīng)原理,相鄰能級間隔,能級的相對間隔,能量連續(xù),量子規(guī)律轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律,例,五 一維方勢壘 隧道效應(yīng),1. 散射問題和勢壘穿透,定態(tài)問題有兩種態(tài),束縛態(tài)： (一維 ) x時 ,(x)0，EU(x), 離散能量,散射態(tài)： (一維 ) x 時, (x)0，能量連續(xù),對散射問題,已知粒子能量 E, 求解定態(tài)薛定諤方

12、程解. - 粒子受勢場作用被散射到個方向去的概率,2 .勢壘 隧道效應(yīng),考慮 EEp0 的情況 研究穿透問題,Ep0 0 ,Ep(x),x,0,a,Ep0,上述各方程的解,入射 反射,衰減,入射 (反射),無反射,求 A1 ,B1 ,-.,入射波的概率密度,透射波的概率密度,連續(xù)條件,由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：,穿透系數(shù),Ep(x),x,0,a,Ep0,考慮,討論(1) 設(shè)粒子為 e Ep-E=1ev 則當(dāng) a = 2x10-10m D 0.44 a = 5x10-10 m D 0.016 質(zhì)子 Ep-E = 1ev a = 2x10-10 m D 2x10-38,當(dāng) m, Ep-E 及 a 為微觀

13、尺度時,(特別對于 e )穿透系數(shù)有一定值. 若為宏觀尺度 D 0,勢壘穿透(隧道效應(yīng))是一種微觀現(xiàn)象,是粒子波動性的表現(xiàn) .,穿透系數(shù),(2) 從經(jīng)典力學(xué)的觀點看,在勢壘區(qū),動能為負(fù)值,動量將為虛數(shù), (經(jīng)典理論不允許,稱隧道效應(yīng)佯繆).,佯繆不存在：能量不能分離成動能和勢能(測不準(zhǔn)關(guān)系),經(jīng)典理論不適用于微觀現(xiàn)象.,(3) 當(dāng) E Ep或E Ep 經(jīng)典 粒子一定越過或不越過勢壘 量子力學(xué) 有透射與反射,勢壘穿透隧道效應(yīng)：,粒子將部分被勢壘反射, 部分穿透勢壘, - 隧道效應(yīng)或勢壘貫穿,隧道特征長度,隧道效應(yīng)已完全被實驗證實, 并制成掃描隧道顯微鏡,例,對電子計算,m=9.110-31kg,

14、則對不同的勢壘寬度a,D的數(shù)量級,掃描隧道顯微鏡年由 G.Binig 和H.Rohrer 首先研制成功,針尖非常尖銳,接近原子尺寸. 針尖與表面接近到零點幾毫米時,電子波 函數(shù)重疊,若加一小的直流電位差,出現(xiàn) 隧道電流 I ,電流對針尖 表面距離 d 十分敏感, d 增加0.1 nm , I 減小一個數(shù)量級.保持 I 不變,針尖的軌道提供了表面電子云分布或原子分布狀況.,橫向分辨率達(dá)到 0.1 nm, 縱向分辨率達(dá)到 0.001 nm 可以分辨出表面單個原子和原子臺階,原子結(jié)構(gòu),超晶格結(jié)構(gòu),表面缺陷細(xì)節(jié),觀測活體 DNA 基因,病毒.,六 諧振子,1. 線性諧振子定態(tài)薛定諤方程,2. 波函數(shù)

15、在 的漸進行為,很大時，,2,取,3. 滿足束縛態(tài)邊界條件的級數(shù)解,代入方程， 得到 u() 所滿足的厄米微分方程：,通解可寫成,u() 必須中斷為有限項多項式, 必要條件 =2n+1(奇數(shù)) , n=0,1,2,-,- 厄米多項式,4. 能量本征值的零點能,零點能(基態(tài)能量)為:,5. 能量本征函數(shù)和宇稱,線性諧振子定態(tài)波函數(shù)為,4. 能量本征值的零點能,圖 線性諧振子的位置概率密度分布,圖 線性諧振子的波函數(shù),討論,1.由圖可見,2. 量子力學(xué)n較小時, 位置的概率密度分布與經(jīng)典完全不同. 隨著 n, 如n=11時量子和經(jīng)典在平均上比較符合.,3. 一維諧振子能級和概率密度分布,可以看出,U=U(x)以外概率密度不為0,隧道效應(yīng),相對能級間隔,當(dāng),能量