第七章 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論.ppt

1、第七章 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論,內(nèi)容： 哈密頓正則方程 哈密頓原理 正則變換 哈密頓雅可比方程 重點(diǎn)： 哈密頓正則方程 正則變換 難點(diǎn)： 正則變換,在經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)可用各種方法來描述。用牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述，常常要解算大量的微分方程組，對(duì)約束體系更增強(qiáng)了問題的復(fù)雜性。1788年拉格朗日用s個(gè)廣義坐標(biāo)來描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)出了用廣義坐標(biāo)表出的拉格朗日方程，其好處是只要知道體系的動(dòng)能和所受的廣義力，就可寫出體系的動(dòng)力學(xué)方程。1834年以后哈密頓提出用s個(gè)廣義坐標(biāo)和s個(gè)廣義動(dòng)量（稱為正則共軛坐標(biāo)）描述體系的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)出了三種不同形式的方程：哈密頓正則方程、哈密頓原理和哈密頓雅可比方程，稱為經(jīng)典

2、力學(xué)的哈密頓理論。哈密頓理論和拉格朗日理論、牛頓理論是等價(jià)的。哈密頓理論的優(yōu)點(diǎn)在于便于將力學(xué)推廣到物理學(xué)其他領(lǐng)域。,7.1 哈密頓函數(shù)和正則方程,（1）哈密頓函數(shù),拉格朗日函數(shù)是,和t的函數(shù)：,，它的全微分為,將廣義動(dòng)量和拉格朗日方程：,，,若L不顯含t，并且約束是穩(wěn)定的，體系的能量守恒，則,H=E=T+V,（2）哈密頓正則方程,哈密頓函數(shù)H=H（p，q，t）的全微分為,（7.3）,比較（7.2）和（7.3）式，得,（7.4）,（7.5）,（7.4）式稱為保守系哈密頓正則方程，它是2s個(gè)一階微分方程，形式對(duì)稱，結(jié)構(gòu)緊湊。,對(duì)于非保守系，正則方程形式為,哈密頓正則方程常用來建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。,

3、解：粒子在中心勢(shì)場中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、自由 度、廣義坐標(biāo)如何？,粒子的拉格朗日函數(shù)為,（1）,廣義動(dòng)量,（2）,哈密頓函數(shù),于是得正則方程,（3）,（4）,例2 寫出粒子在等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的H函數(shù)和正則方程。,解：取圖7.3所示的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系。粒 子的L函數(shù)為（參見5.12式）,（1）,所以,則哈密頓函數(shù),（4）,（3）式代入（4）式，得,（5）,正則方程為,（6）,將,代入上式中的第二式，可得粒子的動(dòng)力學(xué)方程,7.2 哈密頓原理,（1）最速落徑問題和變分法,數(shù)學(xué)上的變分法是為了解決最速落徑這一力學(xué)問題而發(fā)展起來的。,如圖7.4所示，鉛直平面內(nèi)在所有連接兩個(gè)定點(diǎn)A和B的曲線中，找出一條曲線來，使得

4、初速度為零的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下，自A點(diǎn)沿它無摩擦地滑下時(shí)，以最短時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)。,設(shè)曲線AB方程為y=y(x)，質(zhì)點(diǎn)沿曲 線運(yùn)動(dòng)速度為,質(zhì)點(diǎn)自A沿曲線y(x)自由滑至B點(diǎn)所需的時(shí)間,（7.6）,顯然J的值與函數(shù)y(x)有關(guān)，最速落徑問題就是求J的極值問題，即y(x)取什么函數(shù)時(shí)，函數(shù)Jy(x)取極小值。Jy(x)稱為函數(shù)y(x)的泛函數(shù)。Jy(x)取極值的條件為,算符稱為變分記號(hào)。,變分運(yùn)算法則和微分運(yùn)算法則相似：,（7.8）,（2）變分問題的歐拉方程,求泛函Jy(x)的變分J = 0的條件：,為普遍起見，將（7.6）式改寫,（7.9）,對(duì)上式求變分，令J=0：,因此，,（7.10）,（7.10

5、）是泛函Jy(x)取極值時(shí)函數(shù)y(x)必須滿足條件，稱為歐拉方程， 思考：歐拉方程形式上與拉格朗日方程有無區(qū)別？,（3）哈密頓原理,哈密頓原理提供了確定體系運(yùn)動(dòng)真實(shí)軌道的方法。, 定義：,體系的拉格朗日函數(shù)在,內(nèi)的積分,（7.11）,為哈密頓作用量（或主函數(shù)），是,的泛函數(shù)。, 哈密頓原理,給出哈密頓原理。,對(duì)于非保守系，哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,（7.13）,式中,為廣義力。,由哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日方程、正則方程以及各種動(dòng)力學(xué)方程，因此，哈密頓原理是力學(xué)的第一性原理或最高原理。在力學(xué)中凡能起“幾何公里”作用，可由它導(dǎo)出全部力學(xué)定律的原理或假說，稱為力學(xué)第一性原理或最高原理，如牛頓運(yùn)動(dòng)定

6、律、虛功原理、達(dá)朗貝爾原理等都是力學(xué)第一性原理，所以力學(xué)第一性原理的表述形式是多種多樣的，各有優(yōu)缺點(diǎn)，但都是等價(jià)的。,7.3 正則變換,（1） 選好廣義坐標(biāo)的重要性,選取不同的廣義坐標(biāo)，所得的微分方程的形式不同，求解方程的難易程度不同。如果選取的廣義坐標(biāo)使H函數(shù)中能多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，就能在正則方程中多得出一些積分，對(duì)微分方程的求解就更有利，否則微分方程的求解就變得十分困難，因此，為何選取廣義坐標(biāo)是理論力學(xué)中最富技術(shù)性的環(huán)節(jié)。,（2）正則坐標(biāo)變換的目的和條件,正則坐標(biāo)變換（正則變換）的理論，就是尋找最佳坐標(biāo)，使H函數(shù)中出現(xiàn)更多的循環(huán)坐標(biāo)，求解微分方程組變得更容易的方法。,設(shè)原來的正則變量為p、

7、q，通過變量變換新的正則變量為P、Q，它們的變換關(guān)系為,（7.14）,如果變換后，新的哈密頓函數(shù),仍然滿足正則方程,（7.15）,滿足（7.15）式子的正則坐標(biāo)變換稱為正則變換。,滿足正則變換（7.15）式的具體條件（證明見P.256-257）是：,（7.16）,式中F為正則變換母函數(shù)。,由（7.16）式可得,（7.17）,（7.18）,（3）四種不同類型的正則變換,（7.16）式是正則變換的一種形式，是以（q，Q）為獨(dú)立變量的形式，對(duì)應(yīng)的母函數(shù)F（q，Q，t）為第一類正則變換母函數(shù)。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）為獨(dú)立變量。, 第一類正則變換,（7.19）, 第二類正則變換, 第二

8、類正則變換, 第二類正則變換,（4）正則變換的關(guān)鍵,若變換后新哈密頓函數(shù)只是變量,及t的函數(shù)，即,則由（7.15）式知,可得力學(xué)體系2s個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，于是體系的運(yùn)動(dòng)問題就完全解決了。體系能否有2s積分，全靠母函數(shù)F規(guī)定得如何而定，所以體系的運(yùn)動(dòng)微分方程的積分，從正則變換的眼光看，就變成為何尋找合適的母函數(shù)F的問題了，F(xiàn)規(guī)定適當(dāng)，變換后出現(xiàn)很多循環(huán)坐標(biāo)，問題即可大為簡化。,例1 用正則變換法求平面諧振子的運(yùn)動(dòng),，振,解：設(shè)振子沿x，y方向的動(dòng)量為,動(dòng)頻率為,，哈密頓函數(shù)為,設(shè)母函數(shù),由（7.19）式，得,（2）,將（3）式中的,及,表示代入（1）中，得,（4）,（5）,由（7.15）式，得,（6）

9、,積分得,（7）,由（3）式得振子運(yùn)動(dòng)方程,（8）,7.4 哈密頓雅可比方程,（1）方程的推導(dǎo),通過正則變換可使新的哈密頓函數(shù),結(jié)構(gòu)簡化，從而使正則方程,易于求解。最理想的情況是,，這時(shí) （常數(shù)），,（常數(shù)）。,的結(jié)構(gòu)形式與母函數(shù)F有關(guān)。在四類正則變換中，母函數(shù)和新舊,哈密頓函數(shù)的關(guān)系為,（7.23）,取第二類母函數(shù),，則由（7.20）式得,（7.24）,并根據(jù),=0的要求，令,，則（7.23）式為,（7.25）,由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的解，則,（常數(shù)）,（7.26）,也是方程的解，故（7.25）式可改寫成,（7.27）,（7.27）式稱為哈密頓雅可比方程，其中S（q,t）

10、稱為哈密頓主函數(shù)。,從（7.27）式求出S，再由,求出,，由,求出,，就可得出正則方程的全部積分了。這樣，,正則方程的求解問題歸納為為何從哈密頓雅可比方程（7.27）式求S的,問題。,（2）方程的解,為簡單起見，設(shè)H=E（常數(shù)），即討論能量守恒或廣義能量守恒,問題的求解。,哈雅方程為,（7.28）,由于上式是包含s個(gè)q和t的變量的偏微分方程，故對(duì)t積分后得,（7.29）,式中,稱為哈密頓特征函數(shù)，將,（7.30）,代入關(guān)系H=E，得,（7.31）,從（7.31）式可解得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E體系的哈密頓雅可比方程的解，于是正則方程的求解又歸結(jié)到從（7.31）式中求特征函數(shù)W的

11、問題了。通常采用“分離變量法”求（7.31）的解。,7.5 解題指導(dǎo),（1）習(xí)題類型及基本解法,哈密頓理論的三個(gè)重力學(xué)方程（正則方程、哈密頓原理、雅可比方程）,主要用于建立體系的動(dòng)力學(xué)方程，這是本章習(xí)題內(nèi)容和類型。,基本解法：將體系的拉格朗日函數(shù)L或哈密頓函數(shù)H代入相應(yīng)的方程即得,體系的運(yùn)動(dòng)微分方程。解起的要點(diǎn)和步驟是：, 析體系約束類型，主動(dòng)力性質(zhì)； 確定自由度，選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)； 正確寫出體系的L函數(shù)和H函數(shù)； 將L或H代入相應(yīng)的哈密頓理論的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行運(yùn)算，可 得出體系的運(yùn)動(dòng)微分方程； 方程，出要求的量。, 范例,例1 用哈密頓原理建立開普問題的動(dòng)力學(xué)方程。,解：用極坐標(biāo)描述開普

12、勒問題較方便。自由度為2，以r，Q為,廣義坐標(biāo)，拉格朗日函數(shù)為,代入哈密頓原理表達(dá)式，得,例2 用哈密頓雅可比方程解開普勒問題。,解：開普勒問題能量守恒，其哈密頓-雅可比方程形式為,（1）,哈密頓函數(shù),（2）,由,，代入（2）和（1）得哈密頓雅可比方程為,（3）,求出方程（3）的解，代入,（4）,可得,用,乘（3）式兩邊，并移項(xiàng)得,（5）,用分離變量法求解，令,（6）,將（6）代入（5）得,（7）,上式左邊只是r的函數(shù)，右邊只是的函數(shù)，要使其對(duì)任意的r、都成立，,只有當(dāng)它們都等于同一個(gè)常量時(shí)才有可能。這個(gè)常量必為正值，因此把它用,來表示，由此可得,（8）,（9）,積分（8）式得,（10）,（9