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1、第七章 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論,內(nèi)容: 哈密頓正則方程 哈密頓原理 正則變換 哈密頓雅可比方程 重點(diǎn): 哈密頓正則方程 正則變換 難點(diǎn): 正則變換,在經(jīng)典力學(xué)中,力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)可用各種方法來描述。用牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述,常常要解算大量的微分方程組,對(duì)約束體系更增強(qiáng)了問題的復(fù)雜性。1788年拉格朗日用s個(gè)廣義坐標(biāo)來描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng),導(dǎo)出了用廣義坐標(biāo)表出的拉格朗日方程,其好處是只要知道體系的動(dòng)能和所受的廣義力,就可寫出體系的動(dòng)力學(xué)方程。1834年以后哈密頓提出用s個(gè)廣義坐標(biāo)和s個(gè)廣義動(dòng)量(稱為正則共軛坐標(biāo))描述體系的運(yùn)動(dòng),導(dǎo)出了三種不同形式的方程:哈密頓正則方程、哈密頓原理和哈密頓雅可比方程,稱為經(jīng)典
2、力學(xué)的哈密頓理論。哈密頓理論和拉格朗日理論、牛頓理論是等價(jià)的。哈密頓理論的優(yōu)點(diǎn)在于便于將力學(xué)推廣到物理學(xué)其他領(lǐng)域。,7.1 哈密頓函數(shù)和正則方程,(1)哈密頓函數(shù),拉格朗日函數(shù)是,和t的函數(shù):,,它的全微分為,將廣義動(dòng)量和拉格朗日方程:,,,若L不顯含t,并且約束是穩(wěn)定的,體系的能量守恒,則,H=E=T+V,(2)哈密頓正則方程,哈密頓函數(shù)H=H(p,q,t)的全微分為,(7.3),比較(7.2)和(7.3)式,得,(7.4),(7.5),(7.4)式稱為保守系哈密頓正則方程,它是2s個(gè)一階微分方程,形式對(duì)稱,結(jié)構(gòu)緊湊。,對(duì)于非保守系,正則方程形式為,哈密頓正則方程常用來建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。,
3、解:粒子在中心勢場中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、自由 度、廣義坐標(biāo)如何?,粒子的拉格朗日函數(shù)為,(1),廣義動(dòng)量,(2),哈密頓函數(shù),于是得正則方程,(3),(4),例2 寫出粒子在等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的H函數(shù)和正則方程。,解:取圖7.3所示的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系。粒 子的L函數(shù)為(參見5.12式),(1),所以,則哈密頓函數(shù),(4),(3)式代入(4)式,得,(5),正則方程為,(6),將,代入上式中的第二式,可得粒子的動(dòng)力學(xué)方程,7.2 哈密頓原理,(1)最速落徑問題和變分法,數(shù)學(xué)上的變分法是為了解決最速落徑這一力學(xué)問題而發(fā)展起來的。,如圖7.4所示,鉛直平面內(nèi)在所有連接兩個(gè)定點(diǎn)A和B的曲線中,找出一條曲線來,使得
4、初速度為零的質(zhì)點(diǎn),在重力作用下,自A點(diǎn)沿它無摩擦地滑下時(shí),以最短時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)。,設(shè)曲線AB方程為y=y(x),質(zhì)點(diǎn)沿曲 線運(yùn)動(dòng)速度為,質(zhì)點(diǎn)自A沿曲線y(x)自由滑至B點(diǎn)所需的時(shí)間,(7.6),顯然J的值與函數(shù)y(x)有關(guān),最速落徑問題就是求J的極值問題,即y(x)取什么函數(shù)時(shí),函數(shù)Jy(x)取極小值。Jy(x)稱為函數(shù)y(x)的泛函數(shù)。Jy(x)取極值的條件為,算符稱為變分記號(hào)。,變分運(yùn)算法則和微分運(yùn)算法則相似:,(7.8),(2)變分問題的歐拉方程,求泛函Jy(x)的變分J = 0的條件:,為普遍起見,將(7.6)式改寫,(7.9),對(duì)上式求變分,令J=0:,因此,,(7.10),(7.10
5、)是泛函Jy(x)取極值時(shí)函數(shù)y(x)必須滿足條件,稱為歐拉方程, 思考:歐拉方程形式上與拉格朗日方程有無區(qū)別?,(3)哈密頓原理,哈密頓原理提供了確定體系運(yùn)動(dòng)真實(shí)軌道的方法。, 定義:,體系的拉格朗日函數(shù)在,內(nèi)的積分,(7.11),為哈密頓作用量(或主函數(shù)),是,的泛函數(shù)。, 哈密頓原理,給出哈密頓原理。,對(duì)于非保守系,哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,(7.13),式中,為廣義力。,由哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日方程、正則方程以及各種動(dòng)力學(xué)方程,因此,哈密頓原理是力學(xué)的第一性原理或最高原理。在力學(xué)中凡能起“幾何公里”作用,可由它導(dǎo)出全部力學(xué)定律的原理或假說,稱為力學(xué)第一性原理或最高原理,如牛頓運(yùn)動(dòng)定
6、律、虛功原理、達(dá)朗貝爾原理等都是力學(xué)第一性原理,所以力學(xué)第一性原理的表述形式是多種多樣的,各有優(yōu)缺點(diǎn),但都是等價(jià)的。,7.3 正則變換,(1) 選好廣義坐標(biāo)的重要性,選取不同的廣義坐標(biāo),所得的微分方程的形式不同,求解方程的難易程度不同。如果選取的廣義坐標(biāo)使H函數(shù)中能多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo),就能在正則方程中多得出一些積分,對(duì)微分方程的求解就更有利,否則微分方程的求解就變得十分困難,因此,為何選取廣義坐標(biāo)是理論力學(xué)中最富技術(shù)性的環(huán)節(jié)。,(2)正則坐標(biāo)變換的目的和條件,正則坐標(biāo)變換(正則變換)的理論,就是尋找最佳坐標(biāo),使H函數(shù)中出現(xiàn)更多的循環(huán)坐標(biāo),求解微分方程組變得更容易的方法。,設(shè)原來的正則變量為p、
7、q,通過變量變換新的正則變量為P、Q,它們的變換關(guān)系為,(7.14),如果變換后,新的哈密頓函數(shù),仍然滿足正則方程,(7.15),滿足(7.15)式子的正則坐標(biāo)變換稱為正則變換。,滿足正則變換(7.15)式的具體條件(證明見P.256-257)是:,(7.16),式中F為正則變換母函數(shù)。,由(7.16)式可得,(7.17),(7.18),(3)四種不同類型的正則變換,(7.16)式是正則變換的一種形式,是以(q,Q)為獨(dú)立變量的形式,對(duì)應(yīng)的母函數(shù)F(q,Q,t)為第一類正則變換母函數(shù)。也可以(q,P),(p,Q),(p,P)為獨(dú)立變量。, 第一類正則變換,(7.19), 第二類正則變換, 第二
8、類正則變換, 第二類正則變換,(4)正則變換的關(guān)鍵,若變換后新哈密頓函數(shù)只是變量,及t的函數(shù),即,則由(7.15)式知,可得力學(xué)體系2s個(gè)運(yùn)動(dòng)積分,于是體系的運(yùn)動(dòng)問題就完全解決了。體系能否有2s積分,全靠母函數(shù)F規(guī)定得如何而定,所以體系的運(yùn)動(dòng)微分方程的積分,從正則變換的眼光看,就變成為何尋找合適的母函數(shù)F的問題了,F(xiàn)規(guī)定適當(dāng),變換后出現(xiàn)很多循環(huán)坐標(biāo),問題即可大為簡化。,例1 用正則變換法求平面諧振子的運(yùn)動(dòng),,振,解:設(shè)振子沿x,y方向的動(dòng)量為,動(dòng)頻率為,,哈密頓函數(shù)為,設(shè)母函數(shù),由(7.19)式,得,(2),將(3)式中的,及,表示代入(1)中,得,(4),(5),由(7.15)式,得,(6)
9、,積分得,(7),由(3)式得振子運(yùn)動(dòng)方程,(8),7.4 哈密頓雅可比方程,(1)方程的推導(dǎo),通過正則變換可使新的哈密頓函數(shù),結(jié)構(gòu)簡化,從而使正則方程,易于求解。最理想的情況是,,這時(shí) (常數(shù)),,(常數(shù))。,的結(jié)構(gòu)形式與母函數(shù)F有關(guān)。在四類正則變換中,母函數(shù)和新舊,哈密頓函數(shù)的關(guān)系為,(7.23),取第二類母函數(shù),,則由(7.20)式得,(7.24),并根據(jù),=0的要求,令,,則(7.23)式為,(7.25),由(7.25)式知:如果F(q,t)是方程的解,則,(常數(shù)),(7.26),也是方程的解,故(7.25)式可改寫成,(7.27),(7.27)式稱為哈密頓雅可比方程,其中S(q,t)
10、稱為哈密頓主函數(shù)。,從(7.27)式求出S,再由,求出,,由,求出,,就可得出正則方程的全部積分了。這樣,,正則方程的求解問題歸納為為何從哈密頓雅可比方程(7.27)式求S的,問題。,(2)方程的解,為簡單起見,設(shè)H=E(常數(shù)),即討論能量守恒或廣義能量守恒,問題的求解。,哈雅方程為,(7.28),由于上式是包含s個(gè)q和t的變量的偏微分方程,故對(duì)t積分后得,(7.29),式中,稱為哈密頓特征函數(shù),將,(7.30),代入關(guān)系H=E,得,(7.31),從(7.31)式可解得W,再代入(7.29)式,就可得到H=E體系的哈密頓雅可比方程的解,于是正則方程的求解又歸結(jié)到從(7.31)式中求特征函數(shù)W的
11、問題了。通常采用“分離變量法”求(7.31)的解。,7.5 解題指導(dǎo),(1)習(xí)題類型及基本解法,哈密頓理論的三個(gè)重力學(xué)方程(正則方程、哈密頓原理、雅可比方程),主要用于建立體系的動(dòng)力學(xué)方程,這是本章習(xí)題內(nèi)容和類型。,基本解法:將體系的拉格朗日函數(shù)L或哈密頓函數(shù)H代入相應(yīng)的方程即得,體系的運(yùn)動(dòng)微分方程。解起的要點(diǎn)和步驟是:, 析體系約束類型,主動(dòng)力性質(zhì); 確定自由度,選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo); 正確寫出體系的L函數(shù)和H函數(shù); 將L或H代入相應(yīng)的哈密頓理論的動(dòng)力學(xué)方程,并進(jìn)行運(yùn)算,可 得出體系的運(yùn)動(dòng)微分方程; 方程,出要求的量。, 范例,例1 用哈密頓原理建立開普問題的動(dòng)力學(xué)方程。,解:用極坐標(biāo)描述開普
12、勒問題較方便。自由度為2,以r,Q為,廣義坐標(biāo),拉格朗日函數(shù)為,代入哈密頓原理表達(dá)式,得,例2 用哈密頓雅可比方程解開普勒問題。,解:開普勒問題能量守恒,其哈密頓-雅可比方程形式為,(1),哈密頓函數(shù),(2),由,,代入(2)和(1)得哈密頓雅可比方程為,(3),求出方程(3)的解,代入,(4),可得,用,乘(3)式兩邊,并移項(xiàng)得,(5),用分離變量法求解,令,(6),將(6)代入(5)得,(7),上式左邊只是r的函數(shù),右邊只是的函數(shù),要使其對(duì)任意的r、都成立,,只有當(dāng)它們都等于同一個(gè)常量時(shí)才有可能。這個(gè)常量必為正值,因此把它用,來表示,由此可得,(8),(9),積分(8)式得,(10),(9
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