氫原子薛定諤方程的解.ppt

1、定態(tài)薛定諤方程為：,11.9 氫原子的薛定諤方程的解,1、 氫原子的定態(tài)薛定諤方程,氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動，相當(dāng)于核不動，電子繞核作圓周運(yùn)動。若其半徑為r，則其勢能函數(shù)為,由于勢能只與r有關(guān)，是球?qū)ΨQ的，而與方向無關(guān)，為了計算方便，采用球坐標(biāo)。球坐標(biāo)下的拉普拉斯算符為：,在球坐標(biāo)系下：,在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：,此偏微分方程可以用分離變數(shù)法化成常微分方程求解，即設(shè) 代入上式得：,方程（1）的解為,方程（2）的解為,由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：l=0,1,2, , 同時限定給定一 l ml只能取下列2l+1,是連帶的勒讓德函數(shù),角度部 分的解：,方程（3）的解為,其中：Nnl為歸一化常數(shù)， 為一常數(shù)

2、，,為締合勒蓋爾多項式。,同時規(guī)定了 l 的取值范圍，即對于某一確定n ,l可能取n個值：l=0,1,2,n-1,氫原子的波函數(shù)：,討論n、l、ml 參數(shù)的物理意義,為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)。,（1）能量量子化,在求解方程（3）時，電子處于束縛態(tài)時，E只能取 一些分立的負(fù)值，即：,能級公式,n=1的能級稱為基態(tài)能級,n1的能級稱為激發(fā)態(tài)能級,取值如下：,如圖所示，n增大時， 能級間隔減??；n很大時間隔非常小，可看成連續(xù)變化。,（2）角動量量子化,方程（2）得到的波函數(shù)()表明：電子繞核轉(zhuǎn)動的角動量是量子化的，其大小為：,其中：l 稱為角量子數(shù)或稱副量子數(shù)。用來描述波函數(shù) 的空間對稱性。,說明：

3、1、L只能取由l 決定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，則L=0 3、對于同一n值，l 不同時，L有不同的值。所以 氫原子內(nèi)電子的運(yùn)動狀態(tài)必須同時用n, l 才能 確切地表征。 一般s、p、d、f、g等字母表示 l=0,1,2, ，顯然，對于s 態(tài)的電子來說，其動量矩L=0.,（3）角動量的空間取向量子化,方程（1）得到的波函數(shù) ()表明：電子繞核轉(zhuǎn)動的角動量空間取向是量子化的，設(shè)：外磁場方向為Z軸方向，Lz表示L在外場方向投影大小，則,這里的 ml即為前面講的m，稱為磁量子數(shù)。對應(yīng)一個 l，ml有2l+1個值，即角動量的空間取向有2l+1種可能。,索末菲在1915

4、-1916年提出：氫原子中的電子繞核作圓周軌道運(yùn)動，軌道平面在空間的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，這既是軌道空間量子化假設(shè)。,如圖，即為n=4(l=0,1,2,3)電子的角動量空間取向量子化的情形,（4）電子自旋,電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫用實(shí)驗證明的。在相對論動力學(xué)中，由理論推導(dǎo)電子必須具有自旋；但在非相對論動力學(xué)中，電子的自旋是根據(jù)實(shí)驗引進(jìn)的。,K原子射線；B狹縫； NS磁場；P照相板,結(jié)果：無外場時，P上沉積一 條正對B的痕跡；有外 場時，出現(xiàn)幾條不連 續(xù)的線狀痕跡。,此實(shí)驗最初用s態(tài)銀原子進(jìn)行，原子射線分裂為二條，且二者偏轉(zhuǎn)上下對稱。 因 s態(tài)原子l=0本身無動量矩和磁矩

5、。,1925年倫貝克提出：電子不能看成簡單的點(diǎn)電荷，除繞核的磁矩外，還有固有磁矩，該磁矩稱自旋磁矩。 量子力學(xué)的計算：自旋動量矩S為,自旋動量矩也是量子化的，它在外場方向投影Sz 只能有如下兩種取值：,確定氫原子的狀態(tài)的四個量子數(shù),1. 能量量子化,能量,n = 1 ，2 ，3 ， （主量子數(shù)）,電子云,電子在這些地方出現(xiàn)的概率最大,玻爾氫原子理論中，電子的軌道位置 ,重要結(jié)論,2. 角動量量子化,l = 0 ，1 ，2 ， , n-1 角量子數(shù)(副量子數(shù)) ,3. 角動量空間量子化,電子繞核轉(zhuǎn)動的角動量 L 的大小,角動量 L 的在外磁場方向Z 的投影,ml = 0 , 1 , 2 , , l （磁量子數(shù)）,討論: l = 0, L =