§2.6 矩陣的秩.ppt

1、,2.6 矩陣的秩,2.6.1 矩陣的秩的概念,2.6.2 用初等變換求矩陣的秩,定義 2.6.1 在 mn 矩陣 A 中,任取 k 行 k 列, (1 k min m , n ),位于這些行、列交叉處的 k 2 個(gè)元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得到的 k 階行列式,稱為矩陣A的一個(gè)k 階子式.,定義 2.6.2 如果矩陣 A 中有一個(gè) r 階子式 Dr 0，而所有的 r+1 階子式(如果存在的話)都等于 0 ,則稱 Dr 為矩陣 A 的一個(gè)最高階非零子式,其階數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A).,，,，,2.6.1矩陣的秩概念,求秩 例,零矩陣的秩規(guī)定為 0 .易得 (1)

2、R(A mn) min m , n ; (2) R(AT)= R(A).,例2.6.1 求矩陣A、B的秩,解 在A中，有二階子式,而三階子式只有一個(gè)，即,比較 兩矩陣,所以, R(A)= .,在 B中，有二階子式,有三階子式,所有四階子式都為 , R(B)= .,2,0 3,分析:,行階梯形矩陣的秩 = 其非零行的行數(shù).,問題:,把矩陣化為行階梯形,其秩是否改變?,秩概念 結(jié)束,，,，,2.6.2用初等變換求矩陣的秩,求秩的方法,定理 2.6.1 初等變換不改變矩陣的秩.,證明,對矩陣 A 作初等變換時(shí),如果交換A的兩行(列),那么與該兩行(列)有關(guān)的子行列式的值只正負(fù)號有所改變;,如果用非零

3、數(shù) k 乘A的某一行(列),那么與該行(列)有關(guān)的子行列式的值必乘以 k;,如果A的某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上,那么與該兩行(列)有關(guān)的子行列式的值不變;,三種初等變換均不會(huì)改變子行列式的值的“零性”或“非零性”;所以初等變換不改變矩陣的秩.,證畢.,1. 根據(jù)矩陣秩的定義.,2. 根據(jù)定理 2.6.1.,用初等變換把矩陣 A 化成行階梯形矩陣，,行階梯形矩陣的秩 = 其非零行的行數(shù)（定義2.6.2）.,矩陣A 的秩 = 其行階梯形矩陣的秩（據(jù)定理2.6.1 ）,求矩陣的秩的方法,求秩 例,例2.6.2 設(shè)矩陣,解 用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣.,A,因此，R(A) = 3

4、.,求R(A) .,求秩練習(xí),練習(xí) 設(shè)矩陣,解 用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣.,A,因此，R(A) = 2.,求秩 例,求R(A) .,例1 設(shè)矩陣,已知R(A)=2，求與的值.,A,因?yàn)镽(A) = 2，,解 用初等變換把矩陣變成階梯形矩陣.,求秩 例,例2.6.3 設(shè)矩陣,解 用初等行變換將矩陣B化為行階梯形矩陣B 1=(A 1,b),因此，R(A) =2, R(B) = 3.,且B=(A,b),求R(A)及R(B) .,性質(zhì),矩陣的秩的性質(zhì), 若,可逆，則, 若,，則,.,(1) R(A mn) min m , n ; (2) R(AT)= R(A).,應(yīng)用 方程組,*定理 2.6

5、.2 設(shè) mn 矩陣 A ,則齊次方程組Ax =0 有非零解的充分必要條件是R(A) n.,線性方程組,稱為 n 元齊次線性方程組.,記,證明,必要性 設(shè)方程組 Ax = 0 有非零解.,假設(shè) R(A) = n ，,根據(jù) Cramer 法則，D 所對應(yīng)的 n 個(gè)方程構(gòu)成的齊次線性方程組,從而原方程組 Ax = 0也只有零解，,矛盾.,充分性 設(shè) R(A) = r n ,那么 A1 只含 r 個(gè)非零行，,用反證法來證明,R(A) n .,故 R(A) n .,對 A 施行初等行變換得到行階梯形,矩陣 A1 .,那么在 A 中應(yīng)有一個(gè) n 階子式 |D|0.,只有零解，,不妨設(shè)為,證 用高斯消元法

6、解齊次線性方程組Ax = 0 ，就是對系數(shù)矩陣A作初等行變換,將其化為行最簡形,還原 方程組,于是齊次線性方程組 Ax = 0 與,這個(gè)方程組有 n - r 0 個(gè)自由未知量,也有非零解.,同解.,把它改寫成,因此有非零解.,故 Ax = 0,方程組 例,例1 3 元齊次線性方程組,是否有非零解？,解 由系數(shù)矩陣,- r1 +r2 - - 3r1 +r3 - r1 +r4,- r2 +r3 - - 2r2 +r4,r21/2 - r2 + r1,還原方程組,令x3=c,則,因?yàn)镽(A)=23,所以未知量 x 3是自由的,此齊次線性方程組有非零解.,可知R(A)=2.,2.6 小結(jié),矩陣A 1對應(yīng)的齊次方程組為,小 結(jié),1. 什么是矩陣的秩 2. 求矩陣的秩 注意： 1. 最高階非零子式 2. 初等行變換和列變換都不改變矩陣的秩.,2.6 作業(yè)