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1、.第四章 力學量的算符表示4.1 設、為矢量算符,其直角坐標系分量為等等。、的標記和矢積定義為 等等。試驗證下列各式: 與余作東同學討論得出:其實是個標量,然后再由分開證式左端寫成分量形式為其中為levi-civita符號,即 ,有兩個或三個相同式右端寫成分量形式為故得 驗證式,以第一分量為例,左端為相等,得證而式右端第一分量為驗證式,以第一分量為例,左端為精品.而式右端第一分量為式和有時可以寫成下列矢量形式:、對易、對易與間聯(lián)線表示和取標積。(但是的位置在、之間。)如果、互相對易,上兩式就可以寫成這正是經(jīng)典物理中的三重矢積公式4.2 設、為矢量算符,為標量算符,證明 證式右端等于 得證式右端
2、等于 得證精品.4.3 以、表示位置和動量算符,為軌道角動量算符,為由、構(gòu)成的標量算符。證明 證利用對易式【】【】以及題4.2式 得證4.4 計算、。解利用對易式【如上題所證的,可以是的函數(shù)】即得精品.最后,利用對易式電動力學,郭碩鴻,電子書,p45精品.精品.4.5 定義徑向動量算符試求其球坐標表達式,并求及。解在經(jīng)典力學中,徑向動量就是動量的徑向投影,定義為過渡到量子力學,動量算符為精品.由于和不對易,為了保證徑向動量算符是hermite算符,應取利用,易得【】利用,容易算出4.6 證明 證選一個分量證明即可,選:利用基本對易式即得精品.因此其次,由于和對易,所以因此4.7 證明 計算或和
3、及的標積【即: 】證利用題4.1證明過的三重積公式 以及【 】【 】【 】等基本對易式,即得當、為hermite算符,即 容易驗證 因此,式取共軛,即得 精品.類似地,可證取共軛即得 【對其共軛,】【對其共軛,】的另一種證明其中等是對易的4.8 證明,進而再證明證【的證明,】【】精品.【其中,】此即要證明的第一個公式,其中因而4.9 化簡和的證明4.10 證明【的證明,】【曾謹言,量子力學卷一,p191,是三維轉(zhuǎn)動的無窮小算符,而是轉(zhuǎn)動下的標量,所以精品.不要忘記,和對易。因為】4.11 證明 證搞清楚這種形式的實質(zhì)!【】,類似地,可得精品.【的證明,】【注意,和對易?!?.12 證明 目標應
4、該向兩個存在的三個乘利用公式將兩個靠近,這樣的好處是和能對易與對易精品.4.13 證明證取分量加以證明【】因此精品.類似地,可得到分量和分量的公式。4.14 對于任何兩個代表不同狀態(tài)的態(tài)矢量余作東同學說,不代表兩個本征態(tài),即是兩個波函數(shù)及(未歸一化),試證明下列schwarz等式:證一令并令由于代表不同狀態(tài),所以,?,即所以亦即證二對于任何復數(shù),顯然有但因代入上式,即得精品.令4.15 利用schwarz不等式證明測不準關(guān)系式。證對于任何歸一化的態(tài)矢量和hermite算符及實參數(shù)!,作則為hermite算符分析式子為實數(shù)其中平均值都是都是對態(tài)而言。注意均為實數(shù)厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值為實數(shù)
5、,也可以說厄米算符的本征值為實數(shù)。根據(jù)上題證明的schwarz不等式,應有等號成立的條件為代表同一個狀態(tài),即精品.由,即得其中由于為hermite算符,為實數(shù)。在式中,取如,取負值;如,取正值。以式代入式即得測不準關(guān)系式:等號成立的條件為,即為的本征態(tài)。4.16 設為正定曾謹言,量子力學教程第二版,p164,為正定厄米算符,的本征值為非負實數(shù),的hermite算符,、為任意態(tài)矢量,證明證精品.如;或,命題顯然成立。一下只討論及均不為0的情形。由于是正定的,必有,對于任何復數(shù),作則由于是正定的,應有,即取代入上式這正是所要證明的。等號成立的條件為或或,即例如(為常數(shù))就屬于這種特例。如的本征值譜中不包含0,則式中等號能夠成立的條件是,即。4.17 證明:為了保證是herimite算符,波函數(shù)必須滿足單值性條件證精品.作為herimite算符,對于任意兩個波函數(shù)和,應有(積分范圍
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