多元函數(shù)積分方法技巧

1、.多元函數(shù)積分方法技巧摘要：對于不同的背景，如討論一般形狀的物體的體積、質(zhì)量、重心等問題的時候我們一般就要運(yùn)用多元積分的內(nèi)容。多元函數(shù)有各種不同的概念，因而多元函數(shù)積分學(xué)具有十分豐富的內(nèi)容，其中最重要的還是多元函數(shù)積分的計算方法。關(guān)鍵詞：多元函數(shù) 積分技巧提到積分，首先想到的應(yīng)該就是二重積分了。這類積分實際上是通過計算曲頂柱體的體積來引出的。若f(x,y)=1則f(x,y)d=a(d),即積分區(qū)域的面積。計算方法如下：1、二次積分在直角坐標(biāo)系兩種不同次序積分：一是先積y后積x的累次積分，即：若在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分其存在，則累次積分也存在，且：其二是先積后積的累次積分，即：若在矩形區(qū)

2、域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且：2、二次積分在極坐標(biāo)系下的積分： 當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示比較簡單,或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無法計算時,我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計算問題.精品.例如:等.用極坐標(biāo)計算二重積分的步驟 (1)畫出積分區(qū)域的草圖; (2)將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)積分區(qū)域的草圖確定和的積分范圍; (3)將轉(zhuǎn)化為二次定積分,并計算得出結(jié)果.三重積分的計算方法介紹：三重積分的計算是化為三次積分進(jìn)行的。其實質(zhì)是計算一個定積分（一重積分）和一個二重積分。從順序看：如果先做定積分，再做二重積分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步驟為：找及在xoy面投

3、影域d。多d上一點（x,y）“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步（定積分）；進(jìn)而按二重積分的計算步驟計算投影域d上的二重積分，完成“后二”這一步。如果先做二重積分再做定積分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步驟為：確定位于平面之間，即，過z作平行于xoy面的平面截，截面。區(qū)域的邊界曲面都是z的函數(shù)。計算區(qū)域上的二重積分，完成了“先二”這一步（二重積分）；進(jìn)而計算定積分，完成“后一”這一步。精品.當(dāng)被積函數(shù)f（z）僅為z的函數(shù)（與x,y無關(guān)），且的面積容易求出時，“截面法”尤為方便。為了簡化積分的計算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計算的問題?？梢园匆韵聨c考慮：將積分區(qū)域投影到xoy面，得

4、投影區(qū)域d(平面)：（1）d是x型或y型，可選擇直角坐標(biāo)系計算（當(dāng)?shù)倪吔缜嬷杏休^多的平面時，常用直角坐標(biāo)系計算）；（2）d是圓域（或其部分），且被積函數(shù)形如時，可選擇柱面坐標(biāo)系計算（當(dāng)為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標(biāo)計算）；（3）是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如時，可選擇球面坐標(biāo)系計算計算積分應(yīng)該注意以下幾點: 首先,選擇坐標(biāo)系.先要考慮積分區(qū)域的形狀,看其邊界曲線用直系方程表示簡單還是極系方程表示簡單,其次要看被積函數(shù)的特點,看使用極坐標(biāo)后函數(shù)表達(dá)式能否簡化并易于積分.對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法（先一后二）：較直觀易掌握；截面法（先二后一）： 是在z處的截面，其邊界曲線方程易寫錯，故較難一些。特殊地，對積分時，f(x,y,z)與x,y無關(guān)，可直接計算。因而中只要, 且f(x,y,z)僅含z時，選取“截面法”更佳。精品.2.對坐標(biāo)系的選取，當(dāng)為柱體，錐體，