量子力學(xué)導(dǎo)論Chap7-1.ppt

1、第七章 帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng),內(nèi)容提要 1、電磁場中的帶電粒子薛定諤方程和兩類動(dòng)量 經(jīng)典力學(xué)下的哈密頓量 量子力學(xué)下的哈密頓量、兩類動(dòng)量 2、正常塞曼(Zeeman)效應(yīng) 實(shí)驗(yàn)描述 量子力學(xué)解釋 3、朗道能級 垂直外磁場面內(nèi)哈密頓量 能量本征值和簡并度,1、經(jīng)典力學(xué)下的哈密頓量,7.1 電磁場中的帶電粒子 薛定諤方程和兩類動(dòng)量,2、量子力學(xué)下的哈密頓量和薛定諤方程 哈密頓量 薛定諤方程,一般情況下，p與A不對易 但電磁波是橫波，借用橫波條件 知 p 與A 對易。 薛定諤方程化為,3、兩類動(dòng)量 1）電中性粒子的動(dòng)量 2）帶電粒子的動(dòng)量,1、實(shí)驗(yàn)描述 原子中的電子能級一般有簡并。 當(dāng)把原子置于

2、強(qiáng)磁場中，原子發(fā)出的每條譜線都分裂成 3 條 正常塞曼效應(yīng)。Na (鈉) 原子 物理上認(rèn)為：譜線的分裂是原子能級簡并的被解除或部分被解除所致。,7.2 正常塞曼(Zeeman)效應(yīng),B = 0,B 很大,2、量子力學(xué)解釋 原子很小，在其尺度內(nèi)，外加磁場近視為勻強(qiáng)磁場，記為 B，與電子的空間坐標(biāo)無關(guān)。 矢勢 A 就取為,近似條件：堿金屬原子，如 Na，每個(gè)原子最外層只有一個(gè)電子，稱為價(jià)電子。在原子核及內(nèi)層滿殼電子所產(chǎn)生的屏蔽庫侖勢場 V(r) 中運(yùn)動(dòng)。 價(jià)電子的哈密頓量寫為(注意電子的電量為-e) 其中：,對哈密頓量作近似處理： 原子尺度很小，(x2+y2) a2 (10-8cm)2，另外，實(shí)驗(yàn)

3、室用于正常塞曼效應(yīng)的磁場 B 104 Gauss 可以估算出哈密頓量中的 B2 項(xiàng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 B 項(xiàng)。 略去 B2 項(xiàng)后,電子的軌道磁矩 z 與沿 z 軸的外磁場 B 的相互作用能,物理分析： 沿 z 軸外加勻強(qiáng)磁場，原子的球?qū)ΨQ性遭到破壞，l 不再是守恒量。但 l2 和 lz 仍然是守恒量，這點(diǎn)可從它們與 H 之間的對易運(yùn)算得知。 守恒量完全集選為(H, l2, lz)，共同本征函數(shù)為：,徑向方程的能量本征值為：,屏蔽庫侖勢和純庫侖勢不同，前者只具有后者的空間轉(zhuǎn)動(dòng)幾何對稱不變性，能量本征值與徑向量子數(shù) nr 和角動(dòng)量量子數(shù) l 都有關(guān)。 記為 ，其簡并度為 (2l+1)。 加磁場后，球?qū)ΨQ性被

4、破壞，能級簡并度被全部解除，能量本征值與 nr，l 和 m 都有關(guān)。原來的能級分裂成 (2l+1) 條。,分裂后相鄰的能級間距為L， L稱為拉莫爾 (Larmor) 進(jìn)動(dòng)頻率。 對應(yīng)能級分裂，相應(yīng)的光譜線也會(huì)發(fā)生分裂。,Na 原子為例： 該原子的零場中的單一黃色譜線在強(qiáng)磁場中的正常塞曼分裂后為三條譜線，B越大，分裂越厲害！,1、垂直外磁場面內(nèi)哈密頓量 研究對象：質(zhì)量為M，電量為 -e 的電子，處在只有均勻的外磁場 B 中時(shí)的運(yùn)動(dòng)。,7.3 朗道(Landau)能級,電子哈密頓量 (取 B 沿 z 軸方向)： 其中： 可見，z 軸方向的運(yùn)動(dòng)與 B 無關(guān)，自由運(yùn)動(dòng)?？蓮?H 中分離出去。我們只研究

5、 xy 平面內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)。這樣，HHxy+Hz,xy 平面內(nèi)電子哈密頓量 Hxy： 令 則 Hxy中與磁場有關(guān)各項(xiàng)的物理意義： B 的一次方項(xiàng)是電子在 xy 平面內(nèi)的軌道磁矩與 z 方向磁場 B 的相互作用項(xiàng)； B 的平方項(xiàng)是抗磁項(xiàng)。,B2 項(xiàng),B 一次方 項(xiàng),2、能量本征值和簡并度 物理分析： 在塞曼效應(yīng)中，電子局限在原子內(nèi)部非常狹小的空間運(yùn)動(dòng)，并且所加磁場也不是特別強(qiáng)，那時(shí)的抗磁項(xiàng)的貢獻(xiàn)很小，基本可以忽略不計(jì)。 但現(xiàn)在是自由電子，電子的運(yùn)動(dòng)空間變得無限大；或者磁場極強(qiáng)(例如中子星內(nèi)部，有103107 Tesla的磁場)，抗磁項(xiàng)不可忽略。 H0 的形式與二維各向同性諧振子哈密頓量相同。 注：

6、,可以驗(yàn)證Hxy, lz0，對易。 守恒量完全集 可取為 (Hxy, lz) 取柱坐標(biāo)很方便，z 軸沿 B 的方向，xy 平面內(nèi)就是極坐標(biāo)系。在此坐標(biāo)系下，共同本征態(tài)記為 帶入能量本征方程 HxyE，得到徑向方程,解出能量本征值 (朗道能級)： 相應(yīng)的徑向能量本征函數(shù)(朗道波函數(shù)),諧振子特征長度的倒數(shù),能級簡并度： 對二維各向同性諧振子，設(shè)其自然頻率為 0，能級為 EN(N+1)0，N = 2n+|m| = 0,1,2,，簡并度 fN = (N+1)。(因?yàn)?當(dāng)nx+ny= N, 二者的取值有 N+1 中組合)。 對于均勻磁場中的自由電子，在垂直于磁場平面內(nèi)其哈密頓分量出現(xiàn)了Lz項(xiàng)，于是能量本征值中出