多元函數(shù)的極值與最優(yōu)化問題.ppt

1、第十一章,第八節(jié),一、多元函數(shù)的無條件極值,二、多元函數(shù)的最值,三、多元函數(shù)的條件極值、 拉格朗日乘數(shù)法,多元函數(shù)的極值 與最優(yōu)化問題,一、 多元函數(shù)的無條件極值,1. 極值定義,若函數(shù),極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn),的某鄰域,則稱函數(shù)在點(diǎn) 取得極大值,內(nèi)有定義且滿足,稱為極值點(diǎn).,推廣：n 元函數(shù) f (P ),(極小值),定義11.10,(1),(2),(3),例2,例3,例1,2. 多元函數(shù)取得極值的條件,定理11.10 (必要條件),設(shè)函數(shù),且在該點(diǎn)取得極值，則有,具有偏導(dǎo)數(shù)，,注. 1,2 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為多元函數(shù)的駐點(diǎn).,駐點(diǎn),可導(dǎo)

2、函數(shù)的極值點(diǎn),問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？,定理11.11(充分條件),若函數(shù),某鄰域內(nèi),具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,記,則,A0 時(shí)是極大值;,A0 時(shí)是極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時(shí), 不能確定 , 需另行討論.,時(shí), 不是極值.,即有,例4,例5-1,求函數(shù),解 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步,解方程組,的極值.,求A、B、C的值，并列表判別,12,0,6,極小，,72,-5,解,例5,故,二、多元函數(shù)的最值,函數(shù) f 在有界閉區(qū)域D上連續(xù),函數(shù) f 在該區(qū)域D上一定取得最值,依據(jù),假設(shè): 目標(biāo)函數(shù)可微且

3、只有有限個(gè)駐點(diǎn).,(這實(shí)際上是條件極值問題，邊界方程即為條件方程),D是有界閉區(qū)域，,求最值的一般方法：,例6 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 ,把它折起來,解 設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積,做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,使斷面面積最大.,為,問怎樣折法才能,令,解得,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有,一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.,解,如圖,例7,實(shí)例 小王有2000元錢，他決定用來購買 兩種 急需物品：CD和U盤， 設(shè)他購買 x 張CD，y 個(gè)U盤達(dá) 到最佳效果，效果函數(shù)為：,三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法,設(shè)每張CD 28 元，每個(gè)U盤 80 元，問他

4、如何分配這 2000 元以達(dá)到最佳效果,一般地，所謂條件極值，就是求,在附加條件：,問題的實(shí)質(zhì)：求,求條件極值的方法主要有兩種：,的無條件極值.,2. 拉格朗日乘數(shù)法,1. 將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值,下的可能極值點(diǎn).,1 構(gòu)造函數(shù),解出 x, y, ,2 解方程組,3 判斷,，得極值可疑點(diǎn)：,拉格朗日函數(shù),(1),拉格朗日乘數(shù),步驟：,注 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩 個(gè)的情形：,1 構(gòu)造拉格朗日函數(shù),如：,目標(biāo)函數(shù),得極值可疑點(diǎn)：,3 判斷.,2 解方程組,例8,解,設(shè)長(zhǎng)方體位于第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y, z), 則長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為,2x,故長(zhǎng)方體的體積,2y,

5、h - z.,目標(biāo)函數(shù),由實(shí)際問題存在最大值,及可疑的極值點(diǎn)唯一,有,這種解法具有一般性,例9,解,目標(biāo)函數(shù),約束條件,注意常用解題技巧,注意常用解題技巧,例10,著點(diǎn) A(1,1,1) 到點(diǎn) B(2,0,1)的方向?qū)?shù)具有最大值.,解,目標(biāo)函數(shù)：,條件：,解方程組：,(1) (2) (3) (4),由(1) y (2) x, 得,由(3)，得,代入(4)，得,極值可疑點(diǎn)：,內(nèi)容小結(jié),1. 如何求函數(shù)的無條件極值,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).,解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .,2.如何求函數(shù)的條件極值,(1) 簡(jiǎn)單問題用代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題求解,如對(duì)二元

6、函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法求解,先作拉格朗日函數(shù),例如求二元函數(shù),下的極值,然后解方程組,第二步 作拉格朗日函數(shù)，求駐點(diǎn)并判別, 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小(閉區(qū)域), 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值(實(shí)際問題),第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件),3. 函數(shù)的最值應(yīng)用問題,在條件,求出駐點(diǎn) .,已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓周,上求一點(diǎn) C, 使,ABC 面積 S最大.,解答提示:,設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí),則,作拉格朗日函數(shù),解方程組,得駐點(diǎn),對(duì)應(yīng)面積,而,比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形

7、,面積最大.,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn) 動(dòng)畫開始或暫停,例5-2,解,1 求駐點(diǎn), ：,當(dāng) a=0 時(shí)，有唯一駐點(diǎn)：(0,0),當(dāng) a 0 時(shí)，,代入，,2 判斷,(1) 當(dāng)a 0 時(shí)，,備用題 例4-1 討論函數(shù),及,是否取得極值.,解 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負(fù),0,在 (0,0)點(diǎn),并且在 (0,0) 都有,可能為,(2) 當(dāng)a =0 時(shí)，在唯一駐點(diǎn)(0,0)處，,充分判別法失效！,x,y,o,+,當(dāng)a =0 時(shí)，,-,解,例6,根據(jù)問題的性質(zhì)知,設(shè)(x,y)為該三角形內(nèi),所求點(diǎn)一定在x=0,y=0,x

8、+2y-16=0,三直線所圍三角形的內(nèi)部.,則它到三直線的距離平方和為:,任一點(diǎn),目標(biāo)函數(shù),x+2y-16=0,而駐點(diǎn)唯一,由問題性質(zhì)知存在最小值,例6-1,解,其次考慮f(x,y)在D的邊界上的取值情況.,比較上述各點(diǎn)的函數(shù)值可知,函數(shù)的最大值是,函數(shù)的最小值是,例6-2,解 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為,水箱所用材料的面積為,令,得駐點(diǎn),某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2,的有蓋,長(zhǎng)方體水箱,問：當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?,根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).,即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為,高為,時(shí), 水箱所用材料最省.,解,由,例7-1

9、,無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.,解,例8-1,例8-2,解 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x , y , z ,這三個(gè)角所對(duì)應(yīng)的三角形的面積分別為,作拉格朗日函數(shù),求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.,則,解方程組, 得,故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為,為邊的面積最大的,四邊形 ,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件 .,提示:,目標(biāo)函數(shù) :,約束條件 :,答案:,即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大 .,例8-3 求平面上以,設(shè)四邊形的 一對(duì)內(nèi)角分別為,例8-4,要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為,則問題為求,令,解方程組,解 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積,最小.,x , y , z 使在條件,試問水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？,的長(zhǎng)方體開口水箱,得唯一駐點(diǎn),由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高為,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對(duì)稱性可知,2) 當(dāng)開口水