信號(hào)處理中常用的數(shù)學(xué)變換.ppt

1、機(jī)械信號(hào)處理與應(yīng)用Mechanical Signal Processing(MSP),教師：郝旺身 Tel:67781792 E_mail:,第2章信號(hào)處理中常用的數(shù)學(xué)變換,2.1傅里葉變換 2.2拉普拉斯變換 2.3Z變換 2.4希爾伯特變換,2.1傅里葉變換,2.1.1傅里葉級(jí)數(shù) 2.1.2傅里葉積分 2.1.3傅里葉變換 2.1.4卷積與相關(guān)函數(shù),1. 傅立葉級(jí)數(shù),2.1.1傅里葉級(jí)數(shù),傅立葉系數(shù) 是第 次諧波的系數(shù)，所以 在頻率坐標(biāo)軸上是離散的，間隔是 。,2. 傅立葉變換：,FT,FS：,若 是非周期信號(hào)，可以認(rèn)為：,由,有,1. 對(duì)應(yīng)連續(xù)非周期 對(duì)應(yīng)連續(xù)周期； 2. 連續(xù) 離散 3

2、. 密度 強(qiáng)度,請(qǐng)深刻理解FS和FT的定義，及它們的區(qū)別與聯(lián)系！,FT存在的必要條件：,說(shuō)法1：,說(shuō)法2：,因?yàn)?因?yàn)?所以，如果 是絕對(duì)可積的，那么它一定 是平方可積的，但是反之不一定成立。例如，,是平方可積的，但不是絕對(duì)可積的。所以，取 更穩(wěn)妥（即更嚴(yán)格）。,周期信號(hào)： 可以實(shí)現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)的分解， 屬于功率信號(hào)； 非周期信號(hào)：可以實(shí)現(xiàn)傅里葉變換， 屬于能量信號(hào)；,在經(jīng)典數(shù)學(xué)的意義上是不可實(shí)現(xiàn)的， 但在引入了奇異函數(shù)后可以實(shí)現(xiàn)。,周期信號(hào),FS,例：令 求其傅立葉變換。,因?yàn)椋?所以，嚴(yán)格意義上的傅立 葉變換不存在，可將其展開為傅立葉級(jí)數(shù)：,現(xiàn)利用 函數(shù) 將 作傅立葉變換：,線 譜,2.1.

3、2傅里葉積分,表達(dá)式是 傅里葉積分存在的條件是x（t）分段連續(xù)，且在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積。,2.1.3傅里葉變換,DTFT和Z變換的關(guān)系！,（一）定義,1. 是離散的，所以變換需要求和；,2. 是 的連續(xù)函數(shù)；,3. 是 的周期函數(shù)，周期為 ；,4. 存在的條件是 空間,（二）特點(diǎn),可以看作是將 在頻域展開為傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉系數(shù)即是 ；,5. DTFT,7. 由 可以得到 的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實(shí)現(xiàn)離散信號(hào)的頻頻分析；,6. 是 在單位圓上取值時(shí)的 變換：,8. 反變換,四種傅立葉變換:,時(shí)域,頻域,1. 連續(xù)非周期 連續(xù)非周期() FT 2. 連續(xù)周期 離散非周期 () FS 3. 離散

4、非周期 連續(xù)周期（ ） DTFT 4. 離散周期 離散周期 DFS,？,切實(shí)理解四種FT之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,四種傅立葉變換,1. 線性,2. 移位,3. 奇偶、虛實(shí)性質(zhì),（三）性質(zhì),如果 是實(shí)信號(hào)，即,4. 如果,則：,時(shí)域卷積定理 頻域卷積定理！,2.1.4卷積與相關(guān)函數(shù),互相關(guān)：,自相關(guān)：,自相關(guān)函數(shù)的 DTFT 始終是 的實(shí)函數(shù)！,2.2拉普拉斯變換,2.2.1拉普拉斯變換的概念 2.2.2拉普拉斯變換的性質(zhì) 2.2.3拉普拉斯變換的應(yīng)用,2.3Z變換,2.3.1離散時(shí)間序列與Z變換 2.3.2Z變換的性質(zhì) 2.3.3Z逆變換,時(shí)域：,復(fù)頻域：,2.3.1離散時(shí)間序列與Z變換,Laplace

5、 變換,所以,Fourier 變換,頻域：,所以，傅里葉變換是 僅在虛軸上取 值的拉普拉斯變換。,因?yàn)?對(duì)離散信號(hào)，可否做拉普拉斯變換,？,令：,則：,關(guān)系 ？,離散時(shí)間序列的傅里葉變換， DTFT,頻率軸定標(biāo),例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z變換。,解：,為保證收斂，則,收斂域,Z平面,若 a = 1, 則,例2：,ROC:,注意：,Z變換的定義,例3：求序列 x (n)= (1/3)|n| 的Z變換。,解：,|z|1/3時(shí)，第二項(xiàng)收斂于 ，對(duì)應(yīng)于右邊序列。,|z|3時(shí)，第一項(xiàng)收斂于 ，對(duì)應(yīng)于左邊序列。,1.,ROC：,右邊有限長(zhǎng)序列,3.,4.,5.,ROC:,右邊無(wú)限長(zhǎng)序

6、列,ROC：,左邊無(wú)限長(zhǎng)序列,ROC:,雙邊無(wú)限長(zhǎng)序列,思考：什么信號(hào)的z變換的收斂域是整個(gè)z平面？,Z變換的收斂域,Z變換的收斂域,對(duì)于任意給定的序列 ，使其Z變換收斂的所有z值的集合稱為 的收斂域。,其收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即：,根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的阿貝爾定理,對(duì)于不同的序列 ，可求得相應(yīng)的收斂域。,Z變換的收斂域,收斂域內(nèi)不包含任何極點(diǎn)，在極點(diǎn)處，X(z)為無(wú)窮大，Z變換不收斂。 有限長(zhǎng)序列的收斂域?yàn)檎麄€(gè)Z平面, 可能除開z=0, z=。 右邊有限長(zhǎng)序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+ |z|0 左邊有限長(zhǎng)序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|也位

7、于收斂域內(nèi)。,如果是左邊序列，并且|z|=位于收斂域內(nèi)，那么， 0|z| 的全部 z 值也位于收斂域內(nèi)。,所以，收斂域在圓內(nèi)。,如果是雙邊序列，收斂域由圓環(huán)組成。,Z變換的收斂域,逆Z變換,當(dāng) 時(shí)，只有一個(gè)單階極點(diǎn)z=a, 其圍線積分為：,當(dāng)n0時(shí)，被積函數(shù)在圍線內(nèi)除了在z=a處有一個(gè)單階極點(diǎn)，在z=0處為高階極點(diǎn)，因?yàn)檫@時(shí)在圍線外X(z)zn-1只有一個(gè)單極點(diǎn)z=a-1 ，因此有:,線性性,2.3.2Z變換的性質(zhì),序列的移位,序列乘指數(shù)序列（尺度性）,返回,返回,Z變換的性質(zhì)與定理,序列的反褶,序列的共軛,Z域微分性,返回,Z變換的性質(zhì)與定理,卷積定理,返回,Z變換的性質(zhì)與定理,序列相乘（復(fù)

8、卷積定理）,Parseval定理,返回,Z變換的性質(zhì)與定理,逆Z變換,2.3.3Z逆變換,從給定的Z變換表達(dá)式(包括收斂域)求原序列的過(guò)程稱為逆z變換。其實(shí)質(zhì)是求X(z)的冪級(jí)數(shù)展開式各項(xiàng)的系數(shù)。,逆Z變換的三種基本方法 圍線積分法 部分分式展開法 長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開法）,圍線積分法,式中C為收斂域中的一條逆時(shí)針環(huán)繞原點(diǎn)的閉合曲線。,逆Z變換,是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C內(nèi)的一組極點(diǎn) 是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C外的一組極點(diǎn),逆Z變換,在具體利用留數(shù)定理進(jìn)行圍線積分計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)及n值靈活選用公式來(lái)計(jì)算，可使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。 例如，在n小于某一值時(shí)，被積函數(shù)在圍線內(nèi)部z

9、=0處可能具有高階極點(diǎn)，這時(shí)采用圍線外部的極點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算將方便得多。,如果 為單階極點(diǎn)，按留數(shù)定理:,如果 為 階極點(diǎn)，則其留數(shù)為:,解:,例1:,逆Z變換,逆Z變換,例2：,解：,|z|=|a|,圍線C, 所給收斂域 為環(huán)域 原序列 必為雙邊序列,|z|=|1/a|,在收斂域內(nèi)作包圍原定的圍線C,部分分式展開法,逆Z變換,1、單極點(diǎn),若序列為因果序列，且NM，當(dāng)X(z)的N個(gè)極點(diǎn)都是單極點(diǎn)時(shí)，可以展開成以下的部分分式的形式：,則其逆Z變換為：,逆Z變換,說(shuō)明：1、X(z)較簡(jiǎn)單時(shí)可按算術(shù)展開求各系數(shù)Ak(k=0,1,N) 。 2、X(z)較復(fù)雜時(shí)可按留數(shù)定理求各系數(shù)Ak(k=0,1,N)，此時(shí)

10、為了方便通常利用X(z)/z的形式求?。?逆Z變換,2、高階極點(diǎn),當(dāng)上述有理分式中的MN且具有高階極點(diǎn)時(shí)，若設(shè)除單極點(diǎn)外，在zi處還有一個(gè)s階的極點(diǎn)，則其展開式修改為：,式中Bk(k=0,1,N)為X(z)整式部分的系數(shù)，可用長(zhǎng)除法求得。Ak仍按上面的方法計(jì)算，Ck的計(jì)算公式為：,逆Z變換,例： 已知 ，求X(z)的原序列。,解：,由求系數(shù)Ak的公式求得,因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)?，為因果序列， 從而求得,將X(z)變?yōu)閄(z)/z的形式并化為部分分式,逆Z變換,長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開法）,若把X(z)展開成z-1的冪級(jí)數(shù)之和，則該級(jí)數(shù)的各系數(shù)就是序列 x(n) 的值。,典型例題,由收斂域知，這是一右邊序列。用長(zhǎng)除法將其展開成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)時(shí)應(yīng)將分母多項(xiàng)式按降冪排列。,例:,解：,即：,逆Z變換,逆Z變換,例:,收斂域 為環(huán)域， x(n)必為雙邊序列。,解：,對(duì)右邊序列,右邊序列為:,對(duì)左邊序列,左邊序列為:,綜上可得:,逆Z變換,例:,求 的逆Z變換。,由收斂域 知原序列應(yīng)為因果序列。,的冪級(jí)數(shù)展開式為,解：,2.4希爾伯特變換,2.4.1希