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文檔簡介
1、中考數(shù)學重難題型突破:規(guī)律探究“規(guī)律探究類問題”是中考中的一棵常青樹,一直受到命題者的青睞。這類試題要求學生有一定的數(shù)感與符號感,學生通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動,得到圖形或數(shù)式內在規(guī)律的一般通式。不僅有利于促進數(shù)學知識和數(shù)學方法的鞏固和提高,也有利于自主探索,創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。因此規(guī)律探究類問題一直成為命題的熱點。1、規(guī)律探索型問題的特點:基礎知識廣、形式靈活善變、思維量大、解法多樣化2、基本題型:數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)形結合規(guī)律等。多以填空題和選擇題出現(xiàn),近幾年,解答題的規(guī)律探究題型開始增多。3、規(guī)律探究類問題架構: 規(guī)律探究第一次做差為常數(shù)一階等差規(guī)律意思是第一次做差差
2、為常數(shù)。主要考察對圖形變化的規(guī)律觀察,從圖形變化轉化為數(shù)字變化,從數(shù)字變化中去發(fā)掘規(guī)律。這部分內容相對簡單,可以直接觀察圖形得出規(guī)律,也可以通過套通項公式的方法找出規(guī)律,考試中單獨考察這部分的概率很小,往往與其它形式一起結合考察。1、規(guī)律分析:問題本質:前后的圖形相比較,每一幅圖形以恒定不變的速度保持圖形增加(減少)的個數(shù)。2、一階等差的實質: 通過觀察圖形可知:后一幅圖形比前一幅圖形多了一個 在每一幅圖形中,找出個數(shù),把圖形按規(guī)律表示如下: 由一階等差的實質可得規(guī)律為:。為求出的不變差,的求解可帶第一組值求解。3、首差法通項公式(通法)(1)將題目的已知轉為一組數(shù)據(jù),第一個數(shù)記為以此第個數(shù)記
3、為(2)對這組數(shù)據(jù)兩兩之間做差,差為一個固定常數(shù)記為,即后項前項(3)則該類型的規(guī)律為:任意的第項滿足:(4)若記不住公式,上述數(shù)據(jù)轉化為坐標點,設通項公式為:,代入前2組數(shù)據(jù),通過解一次函數(shù)方法,即可得到通項公式; 例1 如圖所示,擺第一個“小屋子”要5枚棋子,擺第二個要11枚棋子,擺第三個要17枚棋子,則擺第30個“小屋子”要枚棋子【規(guī)范答題】法一:套通項公式。有圖可得數(shù)據(jù)做差,帶入公式,得到:。法二:用一階等差實質進行分析。根據(jù)題意分析可得:第1個圖案中棋子的個數(shù)5個第2個圖案中棋子的個數(shù)個每個圖形都比前一個圖形多用6個第30個圖案中棋子的個數(shù)為個故答案為:179 例2 觀察下列數(shù):,它
4、們是按一定規(guī)律排列的,那么這一組數(shù)的第個數(shù)是A B C D【規(guī)范答題】法一:觀察分析。 ,由上可知,第個數(shù)是故選:法二:賦值思想。令,A,A錯;B,B錯;C ,C對; D,D錯。 1 給定一列按規(guī)律排列的數(shù):1,則第個數(shù)為A B C D【解答】由已知觀察,分母是自然數(shù)1,2,3,的平方,分子是正奇數(shù),則第個數(shù)是,故選: 2 已知下列一組數(shù):1,;用代數(shù)式表示第個數(shù),則第個數(shù)是A B C D【解答】;第個數(shù)是:故選: 3 按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是、1、按此規(guī)律,這列數(shù)中第100個數(shù)是ABCD【解答】由、可得第個數(shù)為,第100個數(shù)為:故選: 4 如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案,
5、第1個圖案中有6根小棒,第2個圖案中有11根小棒,則第個圖案中有根小棒【解答】第1個圖案中有根小棒,第2個圖案中有根小棒,第3個圖案中有根小棒,第個圖案中有根小棒故答案為: 5 如圖是用棋子擺成的“小屋”,按照這樣的方式擺下去,第6個這樣的“小屋”需要枚棋子【解答】第1個“小屋”,下邊正方形棋子,上邊1枚,共,第2個“小屋”,下邊正方形棋子,上邊3枚,共,第3個“小屋”,下邊正方形棋子,上邊5枚,共,第個“小屋”,下邊正方形棋子,上邊枚,共,當時,故答案為:35 6 用形狀和大小相同的黑色棋子按下圖所示的方式排列,按照這樣的規(guī)律,第個圖形需要棋子枚(用含的代數(shù)式表示)【解答】第一個圖需棋子;第
6、二個圖需棋子;第三個圖需棋子;第個圖需棋子枚故答案為: 7 如圖所示,是一個水平擺放的小正方體木塊,圖(1)、(2)、(3)是由這樣的小正方體木塊疊放而成,按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去,至第個疊放的圖形中,最下面一層小正方體木塊總數(shù)應是【解答】觀察圖形知:第1個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個;第2個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個;第3個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個;第個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個;故答案為: 8 下圖是按一定規(guī)律排列的一組圖形,依照此規(guī)律,第個圖形中的個數(shù)為為正整數(shù))【解答】第一個圖形有個,第二個圖形有個,第三個圖形有個,第四個圖形有 個,第個圖形共
7、有:故答案為: 9 用同樣大小的黑色五角星按圖所示的方式擺圖案,按照這樣的規(guī)律擺下去,第99個圖案需要的黑色五角星個【解答】當為奇數(shù)時:通過觀察發(fā)現(xiàn)每一個圖形的每一行有個,故共有個;當為偶數(shù)時,中間一行有個,故共有個所以當時,共有個 規(guī)律探究再差為常數(shù)再差為常數(shù)涉及二次項,通過觀察數(shù)據(jù)很難觀察出通項公式是多少,需要利用一定的數(shù)據(jù)分析方法轉化。1、再差法通項公式(1)將題目的已知轉為一組數(shù)據(jù),第一個數(shù)記為以此第個記為(2)對數(shù)據(jù)求差,第一次做差的第一個結果記為,二次差的結果為一個固定常數(shù),記為;(3)則該類型的規(guī)律為:任意的第項滿足:(4)若記不住公式,可設為:,代入開始的3組數(shù)據(jù),即可得到通項
8、公式。 例3 將半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放:第1個圖形有6個小圓, 第2個圖形有10個小圓, 第3個圖形有16個小圓, 第4個圖形有24個小圓, ,依次規(guī)律,第6個圖形有個小圓【規(guī)范答題】法一:通項公式法。有圖可得數(shù)據(jù)12346101624第二次做差得常數(shù),第一次做差的第一個數(shù)帶入公式計算,得到:。法一:二次函數(shù)法。設:,代入、 得:,解方程組,得,所以, 10 如圖,把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上,第一個圖形需要3個黑色棋子,第二個圖形需要8個黑色棋子,按照這樣的規(guī)律擺下去,第是正整數(shù))個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是(用含的代數(shù)式表示)【解答】結合圖形,發(fā)現(xiàn):第1個圖形中的棋子
9、數(shù)是(個;第2個圖形中的棋子數(shù)是(個;第3個圖形中的棋子數(shù)是(個,以此類推,發(fā)現(xiàn):第是正整數(shù))個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是(個 11 觀察下列砌鋼管的橫截面圖,則第個圖的鋼管數(shù)是(用含的式子表示)【解答】第一個圖中鋼管數(shù)為;第二個圖中鋼管數(shù)為;第三個圖中鋼管數(shù)為;第四個圖中鋼管數(shù)為,依此類推,第個圖中鋼管數(shù)為,故答案為: 12 如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案, 則第個圖案中有根火柴棒。(用含的代數(shù)式表示)【解答】依題意得:,根數(shù)為:;,根數(shù)為:;,根數(shù)為:;時, 根數(shù)為:故答案為: 13 將正整數(shù)按照圖示方式排列,請寫出“2020”在第行左起第個數(shù)【解答】由圖可知,第一行1個數(shù),第二行2個數(shù),第三
10、行3個數(shù),則第行個數(shù),故前個數(shù)字的個數(shù)為:,當時,前63行共有個數(shù)字,在第64行左起第4個數(shù),故答案為:64,4 14 按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚,則第14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是【解答】第1個圖案只有1塊黑色地磚,第2個圖案有黑色與白色地磚共,其中黑色的有5塊,第3個圖案有黑色與白色地磚共,其中黑色的有13塊,第個圖案有黑色與白色地磚共,其中黑色的有,當時,黑色地磚的塊數(shù)有故答案為:365 15 當?shù)扔?,2,時,由白色小正方形和黑色小正方形組成的圖形分別如圖所示,則第個圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個數(shù)總和等于(用表示,是正整數(shù))【解答】第1個圖形:白色正方形1個,
11、黑色正方形個,共有個;第2個圖形:白色正方形個,黑色正方形個,共有個;第3個圖形:白色正方形個,黑色正方形個,共有個;,第個圖形:白色正方形個,黑色正方形個,共有個故答案為: 規(guī)律探究作商為常數(shù)通過作商得到一個固定的值,則可以套通項公式求出規(guī)律。這部分內容亦可以通過觀察題目所給的數(shù)據(jù)分析得到正確答案,運用觀察法分析問題時需注意每一項符號之間的變化規(guī)律。1、商比法規(guī)律探究(1)將題目的已知轉為一組數(shù)據(jù),第一個數(shù)記為以此第個記為(2)對這組數(shù)據(jù)兩兩之間做比,比為一個固定常數(shù),記為;(3)則該類型的規(guī)律為:任意的第項滿足: 例4 按一定規(guī)律排列的單項式:,第個單項式是A B C D【規(guī)范答題】法一:
12、觀察分析。,故選:法一:套公式。可得數(shù)據(jù)12345做比得常數(shù),帶入公式計算,得到:。因為與等價,所以選法三:賦值思想。 例5 如圖,在中,在上,于,且,過作于,過作于,過作于,過作于則有,若在線段的右側,則的最大值為【規(guī)范答題】在中,由的直角三角形的性質可知,由題意,可得的最大值為5,故答案為5 16 按一定規(guī)律排列的單項式:x3,x5,x7,x9,x11,第n個單項式是()A(1)n1x2n1 B(1)nx2n1 C(1)n1x2n+1 D(1)nx2n+1【解答】,由上可知,第個單項式是:,故選: 17 如圖,在中,點,分別是,邊的中點,點,分別是,的中點,點,分別是,的中點,按這樣的規(guī)律
13、下去,的長為為正整數(shù))【解答】 在中,點,分別是,邊的中點,點,分別是,的中點,點,分別是,的中點,可得:,故, 18 如圖所示,下列各三角形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律,根據(jù)此規(guī)律,最后一個三角形中與之間的關系是【解答】觀察可知:左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為:1,2,右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為:2,下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為:, 規(guī)律探究周期性循環(huán)周期性變化規(guī)律是中學階段的中點內容,該部分又主要涉及兩類:圖形的周期性變化及數(shù)字周期重復出現(xiàn)。周期類型的關鍵是找準余數(shù),用余數(shù)對照第一個周期內的變化。題目求的量設為,周期記為,周期數(shù)為,余數(shù)記為。則該類型的規(guī)律為: 例6 在平面直角坐標系中,對于點,我們把點叫
14、做點伴隨點已知點的伴隨點為,點的伴隨點為,點的伴隨點為,這樣依次得到點,若點的坐標為,則點的坐標為,點的坐標為;若點的坐標為,對于任意的正整數(shù),點均在軸上方,則,應滿足的條件為【規(guī)范答題】的坐標為,依此類推,每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán),余2,點的坐標與的坐標相同,為;點的坐標為,依此類推,每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán),對于任意的正整數(shù),點均在軸上方,解得,故答案為:,;且 例7 如圖,在平面直角坐標系中,將繞點順時針旋轉到的位置,點、分別落在點、處,點在軸上,再將繞點順時針旋轉到的位置,點在軸上,將繞點順時針旋轉到的位置,點在軸上,依次進行下去若點,則點的橫坐標為【規(guī)范答題】,的橫坐標為:1
15、2,且,的橫坐標為:,點的橫坐標為:故答案為:12084 19 如圖,在平面直角坐標系內,邊長為4的等邊的頂點與原點重合,將繞頂點順時針旋轉的,將四邊形看作一個基本圖形,將此基本圖形不斷復制并平移,則的坐標為【解答】邊長為4的等邊的頂點與原點重合,如圖,過點作軸于,將繞頂點順時針旋轉的,四邊形是平行四邊形,即,;將四邊形看作一個基本圖形,將此基本圖形不斷復制并平移,即,;,即,;的坐標為,即,;故答案為, 20 如圖,在直角坐標系中,已知點的坐標為,將線段按照逆時針方向旋轉,再將其長度伸長為的2倍,得到線段;又將線段按照逆時針方向旋轉,長度伸長為的2倍,得到線段;如此下去,得到線段,為正整數(shù))
16、,則點的坐標為【解答】由題意可得,每一次都旋轉,每8次變化為一個循環(huán)組,在的正半軸上,故答案為 21 如圖,動點從出發(fā),沿所示方向運動,每當碰到長方形的邊時反彈,反彈后的路徑與長方形的邊的夾角為,第1次碰到長方形邊上的點的坐標為,則第3次碰到長方形邊上的點的坐標為,第2015次碰到長方形邊上的點的坐標為【解答】根據(jù)題意,如下圖示:根據(jù)圖形可知,第3次碰到長方形邊上的點的坐標為;通過上圖觀察可知,每碰撞6次回到始點,第2015次碰到長方形邊上的點的坐標為故答案為:, 22 如圖,在直角坐標系中,已知點,對連續(xù)作旋轉變換,依次得到三角形、,則三角形直角頂點的坐標為的直角頂點的坐標為【解答】求出到軸
17、的距離以及得出的長,即可得出三角形直角頂點的坐標,再利用勾股定理計算出,然后根據(jù)旋轉的性質觀察連續(xù)作旋轉變換,得到每三次旋轉后回到原來的狀態(tài),并且每三次向前移動了個單位,于是判斷三角形和三角形的狀態(tài)一樣,然后可計算出它的直角頂點的橫坐標,從而得到三角形的直角頂點的坐標過點作軸于點,點,點坐標為:,即三角形直角頂點的坐標為:,對連續(xù)作如圖所示的旋轉變換,每三次旋轉后回到原來的狀態(tài),并且每三次向前移動了個單位,而,三角形和三角形的狀態(tài)一樣,則三角形與三角形的直角頂點相同,三角形的直角頂點的橫坐標為,縱坐標為0故答案為:, 23 如圖,中,且邊在直線上, 將繞點順時針旋轉到位置可得到點,此時;將位置
18、的三角形繞點順時針旋轉到位置, 可得到點,此時;將位置的三角形繞點順時針旋轉到位置, 可得到點,此時;,按此規(guī)律繼續(xù)旋轉,直至得到點為止,則【解答】由圖可知, 每旋轉 3 次為一個循環(huán)組依次循環(huán),為 671 個循環(huán)組的長度,故答案為: 規(guī)律探究推理型規(guī)律探究推理型規(guī)律探究中,對恒等式的規(guī)律探究以及證明往往比較容易,這部分規(guī)范性很重要;而針對反比例函數(shù)中的推理規(guī)律數(shù)形結合思想很重要,而且這部分內容綜合性較強,需對函數(shù)知識點、坐標系的知識點、三角形的知識點熟練掌握。1、恒等式推理(1)這部分內容對規(guī)律發(fā)掘不是很難,可以利用前面的一階等差和二階等差綜合分析。(2)這部分內容往往需要證明發(fā)現(xiàn)的恒等式。
19、在證明中主要要體現(xiàn):“左邊= =右邊”的主線2、反比例函數(shù)推理(1)這部分內容實則是考察坐標系中的知識點,對反比例函數(shù),抓住一個原則:只要有點落在反比例函數(shù)上,就需要表示點的坐標,一般先設成未知數(shù),在列方程求解。(2)常用的知識點:三角板中的勾股比例,這部分內容,考試時要能迅速通過成倍放大或縮小得出三邊的邊長。(也可以通過三角函數(shù)求出其它邊長,但是對選擇填空而言,用三角函數(shù)就是在浪費時間) 一次函數(shù)的快速求法:,代表直線的縱截距,看直線與軸相交的點的縱坐標。的幾何意義與面積模型的幾何意義過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線,所得矩形的面積為定值.過雙曲線(0) 上任意一點作一坐標軸的垂線,連接該點
20、和原點,所得三角形的面積為. 例9 觀察下列各個等式的規(guī)律:第一個等式:,第二個等式:,第三個等式 請用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題:(1)直接寫出第四個等式;(2)猜想第個等式(用的代數(shù)式表示),并證明你猜想的等式是正確的【規(guī)范答題】(1)由題目中式子的變化規(guī)律可得,第四個等式是:;(2)猜想第個等式是:,證明:左邊=右邊,第個等式是: 例10 如圖,點,點,點,在函數(shù)的圖象上,都是等腰直角三角形,斜邊、,都在軸上是大于或等于2的正整數(shù)),則點的坐標是;點的坐標是(用含的式子表示)【規(guī)范答題】過點作軸于點,過點作軸于點,過點作軸于點,是等腰直角三角形,設點的坐標為,將點代入,可得,故點的
21、坐標為,則,設點的坐標為,將點代入,可得,故點的坐標為,則,設點的坐標為,將點,代入,可得,故點的坐標為,綜上可得:的坐標為,的坐標為,的坐標為,總結規(guī)律可得:坐標為:, 24 觀察下列等式:;(1)猜想并寫出第個等式;(2)說明你寫出的等式成立的理由【解答】(1)第個等式為(2)理由:左邊,右邊,所以左邊右邊,即 25 觀察下列式子:(1)根據(jù)上述規(guī)律,請猜想,若為正整數(shù),則(2)證明你猜想的結論【解答】(1)根據(jù)題意得:;(2)證明:, 26 如圖,已知等邊,頂點在雙曲線上,點的坐標為過作 交雙曲線于點,過作交軸于點,得到第二個等邊;過作交雙曲線于點,過作交軸于點,得到第三個等邊;以此類推,則點的坐標為 ,點的坐標為,【解答】過作軸交于點,設,則,是等邊三角形,在中,點在上,即,解得或(舍去),經(jīng)檢驗為原方程的解,又,作軸交于點,設,則,是等邊三角形,在中,點在上,即,解得或(舍去),經(jīng)檢驗為原方程的解,坐標為,點的坐標為 27 如圖,已知、均為等腰直角三角形,直角頂點、在函數(shù)圖象上,點、在軸的正半軸上,則點的橫坐標為【解答】 分別過、作軸的垂線,垂足為、,則,為等腰直角三角形,設,則,解得(舍
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