2021學年中考數(shù)學重難題型突破規(guī)律探究含解析

1、中考數(shù)學重難題型突破：規(guī)律探究“規(guī)律探究類問題”是中考中的一棵常青樹，一直受到命題者的青睞。這類試題要求學生有一定的數(shù)感與符號感，學生通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動，得到圖形或數(shù)式內(nèi)在規(guī)律的一般通式。不僅有利于促進數(shù)學知識和數(shù)學方法的鞏固和提高，也有利于自主探索，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。因此規(guī)律探究類問題一直成為命題的熱點。1、規(guī)律探索型問題的特點：基礎知識廣、形式靈活善變、思維量大、解法多樣化2、基本題型：數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)形結合規(guī)律等。多以填空題和選擇題出現(xiàn)，近幾年，解答題的規(guī)律探究題型開始增多。3、規(guī)律探究類問題架構： 規(guī)律探究第一次做差為常數(shù)一階等差規(guī)律意思是第一次做差差

2、為常數(shù)。主要考察對圖形變化的規(guī)律觀察，從圖形變化轉(zhuǎn)化為數(shù)字變化，從數(shù)字變化中去發(fā)掘規(guī)律。這部分內(nèi)容相對簡單，可以直接觀察圖形得出規(guī)律，也可以通過套通項公式的方法找出規(guī)律，考試中單獨考察這部分的概率很小，往往與其它形式一起結合考察。1、規(guī)律分析：問題本質(zhì)：前后的圖形相比較，每一幅圖形以恒定不變的速度保持圖形增加（減少）的個數(shù)。2、一階等差的實質(zhì)： 通過觀察圖形可知：后一幅圖形比前一幅圖形多了一個 在每一幅圖形中，找出個數(shù)，把圖形按規(guī)律表示如下： 由一階等差的實質(zhì)可得規(guī)律為：。為求出的不變差，的求解可帶第一組值求解。3、首差法通項公式（通法）（1）將題目的已知轉(zhuǎn)為一組數(shù)據(jù)，第一個數(shù)記為以此第個數(shù)記

3、為（2）對這組數(shù)據(jù)兩兩之間做差，差為一個固定常數(shù)記為，即后項前項（3）則該類型的規(guī)律為：任意的第項滿足：（4）若記不住公式，上述數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標點，設通項公式為：，代入前2組數(shù)據(jù)，通過解一次函數(shù)方法，即可得到通項公式； 例1 如圖所示，擺第一個“小屋子”要5枚棋子，擺第二個要11枚棋子，擺第三個要17枚棋子，則擺第30個“小屋子”要枚棋子【規(guī)范答題】法一：套通項公式。有圖可得數(shù)據(jù)做差，帶入公式，得到：。法二：用一階等差實質(zhì)進行分析。根據(jù)題意分析可得：第1個圖案中棋子的個數(shù)5個第2個圖案中棋子的個數(shù)個每個圖形都比前一個圖形多用6個第30個圖案中棋子的個數(shù)為個故答案為：179 例2 觀察下列數(shù)：，它

4、們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個數(shù)是A B C D【規(guī)范答題】法一：觀察分析。 ，由上可知，第個數(shù)是故選：法二：賦值思想。令，A，A錯；B，B錯；C ，C對； D，D錯。 1 給定一列按規(guī)律排列的數(shù)：1，則第個數(shù)為A B C D【解答】由已知觀察，分母是自然數(shù)1，2，3，的平方，分子是正奇數(shù)，則第個數(shù)是，故選： 2 已知下列一組數(shù)：1，；用代數(shù)式表示第個數(shù)，則第個數(shù)是A B C D【解答】；第個數(shù)是：故選： 3 按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是、1、按此規(guī)律，這列數(shù)中第100個數(shù)是ABCD【解答】由、可得第個數(shù)為，第100個數(shù)為：故選： 4 如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，

5、第1個圖案中有6根小棒，第2個圖案中有11根小棒，則第個圖案中有根小棒【解答】第1個圖案中有根小棒，第2個圖案中有根小棒，第3個圖案中有根小棒，第個圖案中有根小棒故答案為： 5 如圖是用棋子擺成的“小屋”，按照這樣的方式擺下去，第6個這樣的“小屋”需要枚棋子【解答】第1個“小屋”，下邊正方形棋子，上邊1枚，共，第2個“小屋”，下邊正方形棋子，上邊3枚，共，第3個“小屋”，下邊正方形棋子，上邊5枚，共，第個“小屋”，下邊正方形棋子，上邊枚，共，當時，故答案為：35 6 用形狀和大小相同的黑色棋子按下圖所示的方式排列，按照這樣的規(guī)律，第個圖形需要棋子枚（用含的代數(shù)式表示）【解答】第一個圖需棋子；第

6、二個圖需棋子；第三個圖需棋子；第個圖需棋子枚故答案為： 7 如圖所示，是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（1）、（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第個疊放的圖形中，最下面一層小正方體木塊總數(shù)應是【解答】觀察圖形知：第1個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個；第2個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個；第3個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個；第個圖形中最下面一層的小正方體的個數(shù)為個；故答案為： 8 下圖是按一定規(guī)律排列的一組圖形，依照此規(guī)律，第個圖形中的個數(shù)為為正整數(shù)）【解答】第一個圖形有個，第二個圖形有個，第三個圖形有個，第四個圖形有 個，第個圖形共

7、有：故答案為： 9 用同樣大小的黑色五角星按圖所示的方式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第99個圖案需要的黑色五角星個【解答】當為奇數(shù)時：通過觀察發(fā)現(xiàn)每一個圖形的每一行有個，故共有個；當為偶數(shù)時，中間一行有個，故共有個所以當時，共有個 規(guī)律探究再差為常數(shù)再差為常數(shù)涉及二次項，通過觀察數(shù)據(jù)很難觀察出通項公式是多少，需要利用一定的數(shù)據(jù)分析方法轉(zhuǎn)化。1、再差法通項公式（1）將題目的已知轉(zhuǎn)為一組數(shù)據(jù)，第一個數(shù)記為以此第個記為（2）對數(shù)據(jù)求差，第一次做差的第一個結果記為，二次差的結果為一個固定常數(shù)，記為；（3）則該類型的規(guī)律為：任意的第項滿足：（4）若記不住公式，可設為：，代入開始的3組數(shù)據(jù)，即可得到通項

8、公式。 例3 將半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形有6個小圓， 第2個圖形有10個小圓， 第3個圖形有16個小圓， 第4個圖形有24個小圓， ，依次規(guī)律，第6個圖形有個小圓【規(guī)范答題】法一：通項公式法。有圖可得數(shù)據(jù)12346101624第二次做差得常數(shù)，第一次做差的第一個數(shù)帶入公式計算，得到：。法一：二次函數(shù)法。設：，代入、 得：，解方程組，得，所以， 10 如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，第一個圖形需要3個黑色棋子，第二個圖形需要8個黑色棋子，按照這樣的規(guī)律擺下去，第是正整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）【解答】結合圖形，發(fā)現(xiàn)：第1個圖形中的棋子

9、數(shù)是（個；第2個圖形中的棋子數(shù)是（個；第3個圖形中的棋子數(shù)是（個，以此類推，發(fā)現(xiàn)：第是正整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是（個 11 觀察下列砌鋼管的橫截面圖，則第個圖的鋼管數(shù)是（用含的式子表示）【解答】第一個圖中鋼管數(shù)為；第二個圖中鋼管數(shù)為；第三個圖中鋼管數(shù)為；第四個圖中鋼管數(shù)為，依此類推，第個圖中鋼管數(shù)為，故答案為： 12 如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案， 則第個圖案中有根火柴棒。（用含的代數(shù)式表示）【解答】依題意得：，根數(shù)為：；，根數(shù)為：；，根數(shù)為：；時， 根數(shù)為：故答案為： 13 將正整數(shù)按照圖示方式排列，請寫出“2020”在第行左起第個數(shù)【解答】由圖可知，第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三

10、行3個數(shù)，則第行個數(shù)，故前個數(shù)字的個數(shù)為：，當時，前63行共有個數(shù)字，在第64行左起第4個數(shù)，故答案為：64，4 14 按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是【解答】第1個圖案只有1塊黑色地磚，第2個圖案有黑色與白色地磚共，其中黑色的有5塊，第3個圖案有黑色與白色地磚共，其中黑色的有13塊，第個圖案有黑色與白色地磚共，其中黑色的有，當時，黑色地磚的塊數(shù)有故答案為：365 15 當?shù)扔?，2，時，由白色小正方形和黑色小正方形組成的圖形分別如圖所示，則第個圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個數(shù)總和等于（用表示，是正整數(shù)）【解答】第1個圖形：白色正方形1個，

11、黑色正方形個，共有個；第2個圖形：白色正方形個，黑色正方形個，共有個；第3個圖形：白色正方形個，黑色正方形個，共有個；，第個圖形：白色正方形個，黑色正方形個，共有個故答案為： 規(guī)律探究作商為常數(shù)通過作商得到一個固定的值，則可以套通項公式求出規(guī)律。這部分內(nèi)容亦可以通過觀察題目所給的數(shù)據(jù)分析得到正確答案，運用觀察法分析問題時需注意每一項符號之間的變化規(guī)律。1、商比法規(guī)律探究（1）將題目的已知轉(zhuǎn)為一組數(shù)據(jù)，第一個數(shù)記為以此第個記為（2）對這組數(shù)據(jù)兩兩之間做比，比為一個固定常數(shù)，記為；（3）則該類型的規(guī)律為：任意的第項滿足： 例4 按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是A B C D【規(guī)范答題】法一：

12、觀察分析。，故選：法一：套公式?？傻脭?shù)據(jù)12345做比得常數(shù)，帶入公式計算，得到：。因為與等價，所以選法三：賦值思想。 例5 如圖，在中，在上，于，且，過作于，過作于，過作于，過作于則有，若在線段的右側(cè)，則的最大值為【規(guī)范答題】在中，由的直角三角形的性質(zhì)可知，由題意，可得的最大值為5，故答案為5 16 按一定規(guī)律排列的單項式：x3，x5，x7，x9，x11，第n個單項式是（）A（1）n1x2n1 B（1）nx2n1 C（1）n1x2n+1 D（1）nx2n+1【解答】，由上可知，第個單項式是：，故選： 17 如圖，在中，點，分別是，邊的中點，點，分別是，的中點，點，分別是，的中點，按這樣的規(guī)律

13、下去，的長為為正整數(shù)）【解答】 在中，點，分別是，邊的中點，點，分別是，的中點，點，分別是，的中點，可得：，故， 18 如圖所示，下列各三角形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一個三角形中與之間的關系是【解答】觀察可知：左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：1，2，右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：2，下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：， 規(guī)律探究周期性循環(huán)周期性變化規(guī)律是中學階段的中點內(nèi)容，該部分又主要涉及兩類：圖形的周期性變化及數(shù)字周期重復出現(xiàn)。周期類型的關鍵是找準余數(shù)，用余數(shù)對照第一個周期內(nèi)的變化。題目求的量設為，周期記為，周期數(shù)為,余數(shù)記為。則該類型的規(guī)律為： 例6 在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫

14、做點伴隨點已知點的伴隨點為，點的伴隨點為，點的伴隨點為，這樣依次得到點，若點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為；若點的坐標為，對于任意的正整數(shù)，點均在軸上方，則，應滿足的條件為【規(guī)范答題】的坐標為，依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，余2，點的坐標與的坐標相同，為；點的坐標為，依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，對于任意的正整數(shù)，點均在軸上方，解得，故答案為：，；且 例7 如圖，在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，依次進行下去若點，則點的橫坐標為【規(guī)范答題】，的橫坐標為：1

15、2，且，的橫坐標為：，點的橫坐標為：故答案為：12084 19 如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，邊長為4的等邊的頂點與原點重合，將繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)的，將四邊形看作一個基本圖形，將此基本圖形不斷復制并平移，則的坐標為【解答】邊長為4的等邊的頂點與原點重合，如圖，過點作軸于，將繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)的，四邊形是平行四邊形，即，；將四邊形看作一個基本圖形，將此基本圖形不斷復制并平移，即，；，即，；的坐標為，即，；故答案為， 20 如圖，在直角坐標系中，已知點的坐標為，將線段按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為的2倍，得到線段；又將線段按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，長度伸長為的2倍，得到線段；如此下去，得到線段，為正整數(shù)）

16、，則點的坐標為【解答】由題意可得，每一次都旋轉(zhuǎn)，每8次變化為一個循環(huán)組，在的正半軸上，故答案為 21 如圖，動點從出發(fā)，沿所示方向運動，每當碰到長方形的邊時反彈，反彈后的路徑與長方形的邊的夾角為，第1次碰到長方形邊上的點的坐標為，則第3次碰到長方形邊上的點的坐標為，第2015次碰到長方形邊上的點的坐標為【解答】根據(jù)題意，如下圖示：根據(jù)圖形可知，第3次碰到長方形邊上的點的坐標為；通過上圖觀察可知，每碰撞6次回到始點，第2015次碰到長方形邊上的點的坐標為故答案為：， 22 如圖，在直角坐標系中，已知點，對連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形、，則三角形直角頂點的坐標為的直角頂點的坐標為【解答】求出到軸

17、的距離以及得出的長，即可得出三角形直角頂點的坐標，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)觀察連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，得到每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來的狀態(tài)，并且每三次向前移動了個單位，于是判斷三角形和三角形的狀態(tài)一樣，然后可計算出它的直角頂點的橫坐標，從而得到三角形的直角頂點的坐標過點作軸于點，點，點坐標為：，即三角形直角頂點的坐標為：，對連續(xù)作如圖所示的旋轉(zhuǎn)變換，每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來的狀態(tài)，并且每三次向前移動了個單位，而，三角形和三角形的狀態(tài)一樣，則三角形與三角形的直角頂點相同，三角形的直角頂點的橫坐標為，縱坐標為0故答案為：， 23 如圖，中，且邊在直線上， 將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置可得到點，此時；將位置

18、的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置， 可得到點，此時；將位置的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置， 可得到點，此時；，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點為止，則【解答】由圖可知， 每旋轉(zhuǎn) 3 次為一個循環(huán)組依次循環(huán)，為 671 個循環(huán)組的長度，故答案為： 規(guī)律探究推理型規(guī)律探究推理型規(guī)律探究中，對恒等式的規(guī)律探究以及證明往往比較容易，這部分規(guī)范性很重要；而針對反比例函數(shù)中的推理規(guī)律數(shù)形結合思想很重要，而且這部分內(nèi)容綜合性較強，需對函數(shù)知識點、坐標系的知識點、三角形的知識點熟練掌握。1、恒等式推理（1）這部分內(nèi)容對規(guī)律發(fā)掘不是很難，可以利用前面的一階等差和二階等差綜合分析。（2）這部分內(nèi)容往往需要證明發(fā)現(xiàn)的恒等式。

19、在證明中主要要體現(xiàn)：“左邊= =右邊”的主線2、反比例函數(shù)推理（1）這部分內(nèi)容實則是考察坐標系中的知識點，對反比例函數(shù)，抓住一個原則：只要有點落在反比例函數(shù)上，就需要表示點的坐標，一般先設成未知數(shù)，在列方程求解。（2）常用的知識點：三角板中的勾股比例，這部分內(nèi)容，考試時要能迅速通過成倍放大或縮小得出三邊的邊長。（也可以通過三角函數(shù)求出其它邊長，但是對選擇填空而言，用三角函數(shù)就是在浪費時間） 一次函數(shù)的快速求法：，代表直線的縱截距，看直線與軸相交的點的縱坐標。的幾何意義與面積模型的幾何意義過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為定值.過雙曲線(0) 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點

20、和原點，所得三角形的面積為. 例9 觀察下列各個等式的規(guī)律：第一個等式：，第二個等式：，第三個等式 請用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：（1）直接寫出第四個等式；（2）猜想第個等式（用的代數(shù)式表示），并證明你猜想的等式是正確的【規(guī)范答題】（1）由題目中式子的變化規(guī)律可得，第四個等式是：；（2）猜想第個等式是：，證明：左邊=右邊，第個等式是： 例10 如圖，點，點，點，在函數(shù)的圖象上，都是等腰直角三角形，斜邊、，都在軸上是大于或等于2的正整數(shù)），則點的坐標是；點的坐標是（用含的式子表示）【規(guī)范答題】過點作軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，是等腰直角三角形，設點的坐標為，將點代入，可得，故點的

21、坐標為，則，設點的坐標為，將點代入，可得，故點的坐標為，則，設點的坐標為，將點，代入，可得，故點的坐標為，綜上可得：的坐標為，的坐標為，的坐標為，總結規(guī)律可得：坐標為：， 24 觀察下列等式：；（1）猜想并寫出第個等式；（2）說明你寫出的等式成立的理由【解答】（1）第個等式為（2）理由：左邊，右邊，所以左邊右邊，即 25 觀察下列式子：（1）根據(jù)上述規(guī)律，請猜想，若為正整數(shù)，則（2）證明你猜想的結論【解答】（1）根據(jù)題意得：；（2）證明：， 26 如圖，已知等邊，頂點在雙曲線上，點的坐標為過作 交雙曲線于點，過作交軸于點，得到第二個等邊；過作交雙曲線于點，過作交軸于點，得到第三個等邊；以此類推，則點的坐標為 ，點的坐標為，【解答】過作軸交于點，設，則，是等邊三角形，在中，點在上，即，解得或（舍去），經(jīng)檢驗為原方程的解，又，作軸交于點，設，則，是等邊三角形，在中，點在上，即，解得或（舍去），經(jīng)檢驗為原方程的解，坐標為，點的坐標為 27 如圖，已知、均為等腰直角三角形，直角頂點、在函數(shù)圖象上，點、在軸的正半軸上，則點的橫坐標為【解答】 分別過、作軸的垂線，垂足為、，則，為等腰直角三角形，設，則，解得（舍