有限元資料第3講 梁單元

1、第2章桿單元與梁單元2.32.42.5簡單梁單元（彎曲變形）平面內(nèi)一般梁單元三維空間梁單元簡介梁單元的單元特性梁單元的單元?jiǎng)偠染仃囯x散結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及其性質(zhì)單元與節(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)系下的平面梁單元單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換平面剛架的整體分析原理三維空間梁單元?jiǎng)偠染仃嚨诙聴U單元與梁單元2.3簡單梁單元一、離散化，節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷對圖(a)直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為3段，每段為一個(gè)單元。單元之間和端點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)。梁單元節(jié)點(diǎn)的 物理模型是“焊接”。梁上任一節(jié)點(diǎn)i處有2個(gè)位移分量： 撓度 fi 及轉(zhuǎn)角qi。第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移用列陣表示為：f= fqd=iTqiii

2、i di 稱為節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)位移。對應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移分量，梁上任一節(jié)點(diǎn)i的載荷也有2項(xiàng)：橫向力和彎矩，稱為廣義力。MiZi第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元結(jié)構(gòu)上一個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷用列陣表示為：Z= M Q =TiZM iiii Qi 稱為節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)載荷。梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點(diǎn)上。第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元二、單元特性分析建立簡單梁單元的單元?jiǎng)偠确匠?、單元的描述v分析一個(gè)從上述離散梁結(jié)構(gòu)中取出的典型梁單元元長度l，彈性模量E，截面慣性矩為J。e。單v單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)局部編號：i，j 。每節(jié)點(diǎn)有2個(gè)位移分量，單元共有4個(gè)位移分量4個(gè)自由度；第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單

3、元v單元節(jié)點(diǎn)位移：d e= fTqqfiijjd e 稱為單元e的單元節(jié)點(diǎn)位移列陣（向量）。結(jié)構(gòu)中一個(gè)單元在節(jié)點(diǎn)處要受到結(jié)構(gòu)其它部分對該單元的作用力，稱為單元節(jié)點(diǎn)力。該單元每節(jié)點(diǎn)2個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量：剪力q，彎矩m（分別與節(jié)點(diǎn)的2個(gè)位移分量對應(yīng)）。v第二章桿單元與梁單元2.3單元節(jié)點(diǎn)力：簡單梁單元pe= qTmqmiijjpe稱為單元e的單元節(jié)點(diǎn)力列陣（向量）。v1)注意：如圖所示，節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力分量的正方向與單元局部坐標(biāo)軸正方向一致。因此，節(jié)點(diǎn)力正方向與材料力學(xué)中內(nèi)力正方向的定義不同！2)節(jié)點(diǎn)力是梁中的內(nèi)力；節(jié)點(diǎn)載荷是梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)上受到的外力。第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元 2、單元特性（

4、方程）的建立v與桿單元類似，一個(gè)梁單元的變形是由節(jié)點(diǎn)位移決定的，對于一個(gè)受力平衡的單元，一定的節(jié)點(diǎn)位移總是與一定的節(jié)點(diǎn)力對應(yīng)，這個(gè)關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。v下面根據(jù)材料力學(xué)和單元?jiǎng)偠染仃囋匚锢硪饬x建立梁單元特性。在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時(shí)節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間有線性關(guān)系： qia14 fia11a12a13m qaaaaaaai = 24 i 212223 q fa34 j j313233m j a44 q ja41a42a43pe= k e d ev 簡記為：梁單元的剛度方程第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元k e稱為單元?jiǎng)偠染仃?，其中每個(gè)元素都是常數(shù)。 方便起見，

5、節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移分量用新的符號表示，剛度方程為：為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)：剛度方程第1列剛度元數(shù)就是第1個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量為1，其他位移分量皆為0時(shí)所有節(jié)點(diǎn)力分量。第二章桿單元與梁單元s1 a11 s a 2 = 21 s a 3 31 s4 a41 u1 1 u2 0 = u3 0u4 0（這里1，2，3，4是單元自由度序號）s1 a11a12a13a14 u1 s aaaau 2 = 21222324 2 s aaaa 3 31323334 u3 s4 a41a42a43a44 u4 2.3 簡單梁單元按上述物理意義求剛度矩陣元素：10梁單元位移= d e00按材料力學(xué)懸臂梁變形公式求

6、節(jié)點(diǎn)力如下：s l 3l 2su1 = 1 =- 1 2撓度：再由梁單元的靜力平衡條件得：3EJ2EJs l 2s l= - 12EJu2 = 0 = - 1+轉(zhuǎn)角： 2EJs= -s= a2EJ3131l 36EJ= 12EJ= ass4 = s1l - s2 = a41111l 36EJ聯(lián)立解出：l 2s= a至此已求出剛度矩陣的第1列元素。221l 2第二章桿單元與梁單元s1 a11 s a 2 = 21s a 3 31 s4 a41 2.3簡單梁單元0梁單元變形1= de再設(shè)：00由剛度方程可得：同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：= 6EJa12l 24EJa=

7、22l第二章桿單元與梁單元a= - 6EJ32l 2a= 2EJ42ls1 a11a12a13a14 u1 s2 a21a22a23a24 u2 s = aaaa 3 31323334 u3 s4 a41a42a43a44 u4 s1 a12 s a 2 = 22 s a 3 32 s4 a42 2.3簡單梁單元同樣的方法可以求出其余2列元素，從而求出單元?jiǎng)偠染仃嚕?12- 6l 12- 6l 126l 4l 2- 6l2l 26l2l 26lEJk e =-12- 6ll 34l 26l顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁單元的剛度矩陣具有如下性質(zhì)：1） 對稱性；2） 奇異性；3） 主對角元素恒正

8、。v剛度矩陣求得后，單元特性就完全確定：第二章桿單元與梁單元pe= k e d e2.3簡單梁單元 3、單元?jiǎng)偠确匠痰姆謮Kv采用矩陣分塊方法和運(yùn)算規(guī)則，對梁單元的剛度方程按節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊。單元節(jié)點(diǎn)位移列陣分塊：單元節(jié)點(diǎn)力列陣分塊：eedp diiee= = pd j pj 上面每一子塊均為21子列陣。分塊形式的單元?jiǎng)偠染仃嚕篹kij kiik= kekjj ji每一子塊均為22子矩陣第二章桿單元與梁單元pe = k e d e2.3簡單梁單元因此，單元?jiǎng)偠确匠谭謮K形式表示為：v將上式按分塊矩陣乘法展開，得兩個(gè)矢量方程（共4個(gè)代數(shù)方程）：d+ ke dep = k eeeiiiiijjpe= ke

9、 de + ke djjiijjej從上面方程可以看出梁單元?jiǎng)偠染仃囎訅K的物理意義：相關(guān)節(jié)點(diǎn)位移對對應(yīng)節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)。v第二章桿單元與梁單元 pekk e de iiiiji= p j k jik jj d j pe= k e d e2.3簡單梁單元v 上面按分塊形式表示的單元?jiǎng)偠确匠坦?jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系在整體分析中集成單元特性時(shí)更加簡潔，在有限元法中廣泛采用。第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元三、梁離散結(jié)構(gòu)的整體分析 首先獲得分塊形式的各單元?jiǎng)偠确匠蹋?1 d1 pkk1 = 11121 k22 d 2 p2 k2122 d2 pkk2 = 22232 k33 d 3 p3 k3233 d3k

10、 pk3 = 33343 k44 d 4 p4 k43第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元 首先以離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)作為隔離體，以節(jié)點(diǎn)2為例，建立其平衡方程。單元節(jié)點(diǎn)力外載荷單元節(jié)點(diǎn)力的反作用力v節(jié)點(diǎn)2的受力分為兩類：1） 外載荷：Z2 , M22） 單元（1）、（2）上節(jié)點(diǎn)力的反作用力：- q 1,-m 1,-q 2,-m22222第二章桿單元與梁單元單元節(jié)點(diǎn)力2.3簡單梁單元v由節(jié)點(diǎn)2的靜力平衡條件得： q21 q22 Z2Q2 = M2 = p2+ p212 = m+1m2 2 2節(jié)點(diǎn)2的外載荷=節(jié)點(diǎn)2對其所有相連單元的節(jié)點(diǎn)力之和（節(jié)點(diǎn)總內(nèi)力）也就是節(jié)點(diǎn)2所受外載荷Q2要 分配到相連的單元上

11、。第二章桿單元與梁單元單元節(jié)外載荷點(diǎn)力單元節(jié)點(diǎn)力的反作用力單元節(jié)點(diǎn)力2.3簡單梁單元v由前面給出的單元（1）、（2）分塊形式單元?jiǎng)偠确匠檀牍?jié)點(diǎn)2的平衡方程：= k21 d + k d11111222p2 1= k d + k p d222222222233Q = p + p =12222k 1+ k2 )d+ k d + (d12k21122222233第二章桿單元與梁單元 p 2kk2 d22 = 2223 2 p3 k32k33 d3 p 1kk1 d11 = 1112 1 p2 k21k22 d 2 2.3簡單梁單元v 同理，由節(jié)點(diǎn)3的平衡可得：Q = p2+ p =3333k2 d+

12、 (k2+ k )d + 3 d3k32233333344v 由節(jié)點(diǎn)1、4的平衡得：Q = p = k d + 1d 11k11111122Q = p = k d + d 333k44433444將上面4個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程合并，寫成矩陣形式得：第二章桿單元與梁單元k1k100 d 1 Q1 1112dk1k1+ k 2k 20 2 Q2 21222223 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.3簡單梁單元上式簡寫為：Kd = Q結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）有限元平衡方程d 結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移列陣（ 8 1）QK 結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)載荷列陣（ 8 1）結(jié)構(gòu)總剛度矩陣

13、（88）第二章桿單元與梁單元k1k100 1112 = k1k1+ k 2k 20 K212222230k 2k 2+ k 3k 332333334 00k 3k 3 43442.3簡單梁單元結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的討論： 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大到整體規(guī)模后疊加而成。單元?jiǎng)偠染仃囎訅K在擴(kuò)大后矩陣中的位置按單元節(jié)點(diǎn)的整體編號安排對號入座。 總剛度矩陣中某些子塊是多個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囎訅K之和，表示對應(yīng)節(jié)點(diǎn)發(fā)生單位位移時(shí)有限元離散結(jié)構(gòu)抵抗這種變形的能力（ 剛度）是相關(guān)單元抵抗這種變形的能力（剛度）之和。第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的討論： 由于單元?jiǎng)偠染仃囋跀U(kuò)大和疊加過程

14、中，其具有的性質(zhì)（對稱、奇異、主對角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持這些性質(zhì)。 總剛度矩陣中有大量元素為0，因此矩陣具有稀疏性 非零元素沿主對角線呈帶狀分布（節(jié)點(diǎn)編號滿足一定條件）。第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元 總之，從彈簧、直桿和梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的特點(diǎn)可以歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的性質(zhì)如下：1） 對稱性；2） 奇異性；3） 稀疏性；4） 非零元素帶狀分布第二章桿單元與梁單元2.3簡單梁單元結(jié)構(gòu)有限元平衡方程的討論：平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的總節(jié)點(diǎn)力（各節(jié)點(diǎn)對相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移對該行對應(yīng)節(jié)點(diǎn)總節(jié)點(diǎn)力的

15、貢獻(xiàn)總剛子塊的物理意義。第二章桿單元與梁單元k1k100 d 1 Q1 1112k1k1+ k 2k 20 d2 Q2 21222223 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.3簡單梁單元平衡方程右端是各節(jié)點(diǎn)外載荷，左端是由單元?jiǎng)偠染仃嚡B加后與節(jié)點(diǎn)位移相乘得到的總節(jié)點(diǎn)力（節(jié)點(diǎn)總內(nèi)力）。因此，系統(tǒng)有限元平衡方程表征了系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)所受外載荷與所受相關(guān)單元總節(jié)點(diǎn)力之間的平衡。結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為：節(jié)點(diǎn)總內(nèi)力 = 節(jié)點(diǎn)外載荷。第二章桿單元與梁單元k1k100 d 1 Q1 1112k1k1+ k 2k 20 d2 Q2 212222

16、23 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.3簡單梁單元對于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進(jìn)行約束處理，分離出關(guān)于未知位移的方程進(jìn)行求解。然后再用求出的位移，通過剩余方程求出支反力。第二章桿單元與梁單元k1k100 d 1 Q1 1112k1k1+ k 2k 20 d2 Q2 21222223 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.4平面內(nèi)一般梁單元一、整體坐標(biāo)系下的單元與節(jié)點(diǎn)模擬平面梁單元平面剛架單元變形特征節(jié)點(diǎn)載

17、荷分量拉壓、彎曲組合節(jié)點(diǎn)位移分量節(jié)點(diǎn)自由度：3整體節(jié)點(diǎn)位移 d 整體節(jié)點(diǎn)載荷 Q第二章桿單元與梁單元ui d = v ii q i X i Q = YiiMi 2.4平面內(nèi)一般梁單元二、局部坐標(biāo)系下平面梁單元?jiǎng)偠确匠虇卧枋觯簡卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)：i，j局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量： 軸向位移：D橫向撓度：fq轉(zhuǎn)角：局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)力分量：軸向力： T橫向剪力：q彎矩：m第二章桿單元與梁單元2.4平面內(nèi)一般梁單元單元描述：單元有6個(gè)位移分量單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：6個(gè)自由度單元節(jié)點(diǎn)力列陣：第二章桿單元與梁單元2.4建立單元?jiǎng)偠确匠唐矫鎯?nèi)一般梁單元v 在小變形假設(shè)下，梁的軸向變形和彎曲變形互不偶合?？梢苑謩e研究

18、兩種變形模式下的剛度特性。v 因此，組合變形下的平面梁單元?jiǎng)偠确匠炭梢杂稍摼植孔鴺?biāo)系下 的軸向變形剛度方程（相當(dāng)于一維桿單元）和彎曲變形剛度方程（相當(dāng)于簡單梁單元）疊加而成：DiqiqDfifjjj第二章桿單元與梁單元2.4平面內(nèi)一般梁單元v 上面剛度方程簡寫為：分塊形式：其中：剛度矩陣一個(gè)子塊：第二章桿單元與梁單元2.4平面內(nèi)一般梁單元三、整體坐標(biāo)系下剛度矩陣：坐標(biāo)變換 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移： 整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移： 節(jié)點(diǎn)位移矢量坐標(biāo)變換：考慮到節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 qi 不變 cosj簡寫sin jcosj 00節(jié)點(diǎn)向量變換矩陣： f = - sin j010第二章桿單元與梁單元2.4平面內(nèi)一般梁單元

19、 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣的變換：簡寫d e = uTvqquviiijjj 單元節(jié)點(diǎn)力列陣的變換：單元坐標(biāo)變換矩陣第二章桿單元與梁單元pe = PPmPPm Txiyiixjyjj節(jié)點(diǎn)力矢量與節(jié)點(diǎn)位移矢量滿足相同的坐標(biāo)變換關(guān)系。2.4平面內(nèi)一般梁單元v單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換：將節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力矢量坐標(biāo)變換式代入局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠确匠蹋旱诙聴U單元與梁單元pe = T e T ke T e d epe= k e d eke = T e T ke T e 2.4平面內(nèi)一般梁單元四、平面剛架的有限元整體分析平面剛架整體分析的原理與彈簧系統(tǒng)、桁架、直梁的整體分析相同。根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)構(gòu)的總節(jié)點(diǎn)力平衡

20、得到系統(tǒng)的有限元平衡方程，再引入約束條件后求解?？倓偠染仃囉煽傮w坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃嚡B加得到：emK = k e=1Kd = Q系統(tǒng)平衡方程：第二章桿單元與梁單元2.5三維空間梁單元簡介一、單元功能：模擬三維剛架二、單元特性分析基本思路與平面梁單元相同：先在局部坐標(biāo)系下建立單元特性方程，再變換到總體坐標(biāo)系下。局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移：總體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移：d = uqqq= d ivwd eiiiixiyizid= d jqxjq yjqzju jv jwjj 單元有12個(gè)自由度第二章桿單元與梁單元2.5三維空間梁單元簡介局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃噕 三維梁單元的變形模式為：軸向拉伸、2個(gè)主平面內(nèi)彎曲、扭轉(zhuǎn)變 形的組合。v 前面已經(jīng)建立了局部坐標(biāo)系下桿、簡單梁的單元特性方程。利用材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)理論，按同樣原理得到下列局部坐標(biāo)系下單元的扭轉(zhuǎn)剛度方程：v 由于在小變形條件下上述變形互不偶合，分別建立這三種變形的剛度特性后進(jìn)行拼裝就可得到局部坐標(biāo)系下三維梁單元的組合剛度 特性。包括：一個(gè)拉壓剛度矩陣、2個(gè)簡單梁剛度矩陣、1個(gè)扭轉(zhuǎn)剛 度矩陣。第二章桿單元與梁單元2.5三維空間